高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案
展开如图是一种折叠扇.折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小.那么在这个过程中,扇形的什么量在发生变化?什么量没发生变化?由此你能想到度量角的其他办法吗?
知识点1 角度制与弧度制
(1)度量角的两种制度
(2)弧度数的计算
比值eq \f(l,r)与所取的圆的半径大小是否有关?
[提示] 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.
(3)角度制与弧度制的换算
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)1弧度的角是周角的eq \f(1,360).( )
(2)1弧度的角大于1度的角.( )
[答案] (1)× (2)√
2.一些特殊角与弧度数的对应关系
3.(1)eq \f(7π,5) rad化为角度是________.
(2)105°的弧度数是________.
(1)252° (2)eq \f(7π,12) [(1)eq \f(7π,5) rad=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,5)×\f(180,π)))°=252°;
(2)105°=105×eq \f(π,180) rad=eq \f(7π,12) rad.]
知识点2 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则
(1)弧长公式:l=αR.
(2)扇形面积公式:S=eq \f(1,2)lR=eq \f(1,2)αR2.
4.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)扇形的半径为1 cm,圆心角为30°,则扇形的弧长l=R|α|=1×30=30(cm).( )
(2)若扇形的半径不变,圆心角扩大为原来的2倍,则扇形的弧长也扩大为原来的2倍.( )
(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍,则扇形的面积变为原来的2倍.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
5.半径为2,圆心角为eq \f(π,6)的扇形的面积是________.
eq \f(π,3) [由已知得S扇=eq \f(1,2)×eq \f(π,6)×22=eq \f(π,3).]
类型1 角度与弧度的互化与应用
【例1】 (1)①将112°30′化为弧度为________.
②将-eq \f(5π,12)rad化为角度为________.
(2)已知α=15°,β=eq \f(π,10) rad,γ=1 rad,θ=105°,φ=eq \f(7π,12) rad,试比较α,β,γ,θ,φ的大小.
(1)①eq \f(5π,8)rad ②-75° [(1)①因为1°=eq \f(π,180)rad,
所以112°30′=eq \f(π,180)×112.5 rad=eq \f(5π,8)rad.
②因为1 rad=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°,
所以-eq \f(5π,12)rad=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°=-75°.]
(2)[解] 法一(化为弧度):
α=15°=15×eq \f(π,180) rad=eq \f(π,12) rad,θ=105°=105×eq \f(π,180) rad=eq \f(7π,12) rad.
显然eq \f(π,12)<eq \f(π,10)<1<eq \f(7π,12).故α<β<γ<θ=φ.
法二(化为角度):
β=eq \f(π,10) rad=eq \f(π,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°=18°,γ=1 rad≈57.30°,
φ=eq \f(7π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°=105°.
显然,15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ=φ.
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键.
(2)方法:度数×eq \f(π,180)=弧度数;弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°=度数.
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1.(1)将-157°30′化成弧度为________.
(2)将-eq \f(11π,5) rad化为度是________.
(1)-eq \f(7,8)π rad (2)-396° [(1)-157°30′=-157.5°=-eq \f(315,2)×eq \f(π,180) rad=-eq \f(7,8)π rad.
(2)-eq \f(11π,5) rad=-eq \f(11π,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°=-396°.]
2.在[0,4π]中,与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)
eq \f(2,5)π,eq \f(12,5)π [因为终边与72°角相同的角为θ=72°+k·360°(k∈Z).
当k=0时,θ=72°=eq \f(2,5)π rad;
当k=1时,θ=432°=eq \f(12,5)π rad,
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有eq \f(2,5)π,eq \f(12,5)π.]
类型2 用弧度数表示角
【例2】 (1)终边经过点(a,a)(a≠0)的角α的集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(5π,4)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α=\f(π,4)+2kπ,k∈Z))))D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α=\f(π,4)+kπ,k∈Z))))
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.
[解] (1)D [因为角α的终边经过点(a,a)(a≠0),
所以角α的终边落在直线y=x上,
所以角α的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α=\f(π,4)+kπ,k∈Z)))).]
(2)[解] 因为30°=eq \f(π,6) rad,210°=eq \f(7π,6) rad,
这两个角的终边所在的直线相同,因为终边在直线AB上的角为α=kπ+eq \f(π,6),k∈Z,而终边在y轴上的角为β=kπ+eq \f(π,2),k∈Z,从而终边落在阴影部分内的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ+\f(π,6)<θ
在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
提醒:角度制与弧度制不能混用.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3.下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中,正确的是( )
A.2kπ+45°(k∈Z)
B.k·360°+eq \f(9π,4)(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+eq \f(5π,4)(k∈Z)
C [A,B中弧度与角度混用,不正确.
eq \f(9,4)π=2π+eq \f(π,4),所以eq \f(9,4)π与eq \f(π,4)终边相同.-315°=-360°+45°,所以-315°也与45°终边相同.故选C.]
4.用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合.
[解] 30°=eq \f(π,6) rad,150°=eq \f(5π,6) rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+kπ<β<\f(5π,6)+kπ,k∈Z)))).
类型3 弧长公式与扇形面积公式的应用
【例3】 已知扇形的周长为8 cm.
(1)若该扇形的圆心角为2 rad,求该扇形的面积;
(2)求该扇形的面积的最大值,并指出对应的圆心角.
以扇形的面积和弧长公式为切入点,建立面积与变量r或l的关系式,并思考最值的求解方法.
[解] 设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S.
(1)由题意得:2r+l=8,l=2r,
解得r=2,l=4,S=eq \f(1,2)lr=4(cm2).
(2)由2r+l=8得l=8-2r,r∈(0,4),
则S=eq \f(1,2)lr=eq \f(1,2)(8-2r)r=4r-r2
=-(r-2)2+4,
当r=2时,Smax=4,此时l=4,圆心角α=eq \f(l,r)=2.
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式:弧度制下扇形的面积公式是S=eq \f(1,2)lR=eq \f(1,2)αR2(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π).
(2)找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
提醒:看清角的度量制,恰当选用公式.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
5.求半径为1 cm,圆心角为120°的扇形的弧长及面积.
[解] 因为r=1,α=120×eq \f(π,180)=eq \f(2π,3),
所以l=αr=eq \f(2π,3) cm,S=eq \f(1,2)lr=eq \f(π,3) cm2.
1.与1°角终边相同的角的集合是( )
A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α=k·360°+\f(π,180),k∈Z))))
B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α=k·360°+\f(π,180°),k∈Z))))
C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α=2kπ+\f(π,180),k∈Z))))
D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α=2kπ+\f(π,180°),k∈Z))))
C [角度制与弧度制不能混用,故选C.]
2.圆的半径为r,该圆上长为eq \f(3,2)r的弧所对的圆心角是( )
A.eq \f(2,3) rad B.eq \f(3,2) rad
C.eq \f(2π,3) radD.eq \f(3π,2) rad
B [由弧度数公式|α|=eq \f(l,r),得|α|=eq \f(\f(3,2)r,r)=eq \f(3,2),因此圆弧所对的圆心角是eq \f(3,2) rad.]
3.(多选)下列转化结果正确的是( )
A.60°化成弧度是eq \f(π,3) rad
B.-eq \f(10,3)π rad化成度是-600°
C.-150°化成弧度是-eq \f(7,6)π rad
D.eq \f(π,12) rad化成度是15°
ABD [对于A,60°=60×eq \f(π,180) rad=eq \f(π,3) rad;对于B,-eq \f(10,3)π rad=-eq \f(10,3)×180°=-600°;对于C,-150°=-150×eq \f(π,180) rad=-eq \f(5,6)π rad;对于D,eq \f(π,12) rad=eq \f(1,12)×180°=15°.故选ABD.]
4.若把-570°写成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则α=________.
eq \f(5π,6) [-570°=-eq \f(19π,6)=-4π+eq \f(5π,6).]
5.在直径为20 cm的圆中,150°的圆心角所对的弧长为________.
eq \f(25,3)π [150°=eq \f(5π,6),∴弧长l=eq \f(5π,6)×eq \f(20,2)=eq \f(25,3)π.]
回顾本节知识,自我完成以下问题:
1.角度制与弧度制怎样转化?
[提示] 1°=eq \f(π,180)rad,1rad=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
2.角度制和弧度制下,扇形的弧长和面积公式分别是什么?
[提示]
学 习 任 务
核 心 素 养
1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.理解“弧度的角”的定义,掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数.(重点、难点)
3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系.(易错点)
1.通过对弧度制概念的学习,培养数学抽象素养.
2.借助弧度制与角度制的换算,提升数学运算素养.
角度
制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的eq \f(1,360)
弧度
制
定义
以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧
度
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
eq \f(2π,3)
eq \f(3π,4)
eq \f(5π,6)
π
eq \f(3π,2)
2π
角度制
弧度制
弧长
l=eq \f(nπr,180)
l=α·r
面积
S=eq \f(nπr2,360)
S=eq \f(1,2)lr=eq \f(1,2)αr2
数学必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案: 这是一份数学必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000280_t4/?tag_id=42" target="_blank">5.1 任意角和弧度制导学案</a>,共4页。学案主要包含了学习目标,巩固练习等内容,欢迎下载使用。
湘教版(2019)必修 第一册5.1 任意角与弧度制导学案: 这是一份湘教版(2019)必修 第一册5.1 任意角与弧度制导学案,共12页。
人教A版 (2019)5.1 任意角和弧度制学案及答案: 这是一份人教A版 (2019)5.1 任意角和弧度制学案及答案,共9页。