人教版新课标A必修11.1.3集合的基本运算教学演示课件ppt

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1.1.3　集合的基本运算
如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？你不可能直接去找张三、李四、王五……，一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容(补集)的现实基础．
[知识点拨]　(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．
1．(2018·全国卷Ⅰ理，2)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA(　　)A．{x|－12}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}[解析]　∵A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或x>2}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B．
2．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　)A．{2,4,5}B．{1,3,4}C．{1,2,4}D．{2,3,4,5}[解析]　∵∁UA＝{2,5}，∴(∁UA)∪B＝{2,5}∪{2,4}＝{2,4,5}．
3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝(　　)A．{－1}B．{0,1}C．{－1,2,3}D．{－1,0,1,3}[解析]　∵∁UA＝{－1,3}，∴(∁UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，故选A．
4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA与∁UB的关系是______________.
5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．[解析]　解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．又∵∁UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助韦恩图，如图所示，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．∵∁UB＝{1,4,6,8,9}，B＝{2,3,5,7}．
命题方向1　⇨补集的基本运算
　　　　　已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B．[思路分析]　先由集合A与∁UA求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B．
[解析]　解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示，由图可知B＝{2,3,5,7}
『规律方法』　求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
〔跟踪练习1〕(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝(　　)A．∅　　　　　B．{2}C．{5}D．{2,5}(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝_____.
命题方向2　⇨交集、并集、补集的综合运算
　　　　　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．[思路分析]　对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出∁UA及∁UB，再求解．
[解析]　如图，由图可得∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．
『规律方法』　求集合交、并、补运算的方法
〔跟踪练习2〕(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝____________；(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝(　　)A．{x|0≤x＜1}　　　B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}[解析]　(1)∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1,2,3}．(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}．
忽视空集或补集的性质易致错
　　　　　已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，A⊆U，求∁UA及q的值．[错解]　当q＝0时，x2－5x＋q＝0的根为x＝5，x＝0，5∈U，此时A＝{5}，∁UA＝{1,2,3,4}．当q≠0时，由韦达定理知方程x2－5x＋q＝0的根在1,2,3,4,5中取时，只可能是3或2,1或4，因此q＝6时，A＝{2,3}，∁UA＝{1,4,5}．q＝4时，A＝{1,4}，∁UA＝{2,3,5}．所以q＝0时，∁UA＝{1,2,3,4}，q＝4时，∁UA＝{2,3,5}，q＝6时，∁UA＝{1,4,5}．
[错因分析]　错解中没有注意到A⊆U，当q＝0时，A＝{0,5}U，另外，当A＝∅时，∁UA＝U，此时方程x2－5x＋q＝0无实数解．
[警示]　本题易错点：(一)忽略A⊆U，求出q的值后不验证A⊆U是否成立；(二)不考察A＝∅的情形．
“正难则反”思想的应用
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A．补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
　　　　　已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值集合．[思路分析]　要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该集合在实数集R中的补集即可．[解析]　若B∪A＝A，则B⊆A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，∴集合B有以下三种情况：①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，∴a<－4或a>4；
1．(2019·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(　　)A．{1,3,4}　　　　　　B．{3,4}C．{3}D．{4}[解析]　A∪B＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．
2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)A．(∁IA∩B)∩CB．(∁IB∪A)∩CC．(A∩B)∩(∁IC)D．(A∩∁IB)∩C[解析]　由图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩∁IB)∩C．
3．(2019·全国卷Ⅰ文，2)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁UA)＝(　　)A．{1,6}B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}[解析]　∵∁UA＝{1,6,7} ，∴B∩{∁UA}＝{2,3,6,7}∩{1,6,7}＝{6,7}，故选C．
4．(2019·河北沧州市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{3,4,5}，B＝{4,5,6}，则(∁UA)∪(∁UB)＝_______________.[解析]　∁UA＝{1,2,6}，∁UB＝{1,2,3}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,6}．5．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝_________.[解析]　由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁UA＝{4,6,7,9,10}，所以(∁UA)∩B＝{7,9}．