高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算图文ppt课件

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1.3　集合的基本运算
　　　全集(1)定义：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的________，这个给定的集合叫作全集．(2)表示方法：常用符号U表示．
思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}　
思考2：怎样理解补集？提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
　　　 补集的性质对任何集合A，有A∪(∁UA)＝______，A∩(∁UA)＝______，∁U(∁UA)＝______．
1．已知集合A＝{x|x＜－5或x＞7}，则∁RA＝(　　)A．{x|－5＜x＜7}　　　B．{x|－5≤x≤7}C．{x|x＜－5}∪{x|x＞7}D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}[解析]　∵A＝{x|x＜－5或x＞7}，∴∁RA＝{x|－5≤x≤7}，故选B．
2．(2021·全国高考乙卷文科)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，N＝{3,5}，则∁U(M∪N)＝(　　)A．{5}B．{1,2}C．{3,4}D．{1,2,3,4}[解析]　由题意可得：M∪N＝{1,2,3,4}，则∁U(M∪N)＝{5}．故选A．
3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝(　　)A．{－1}B．{0,1}C．{－1,2,3}D．{－1,0,1,3}[解析]　∵∁UA＝{－1,3}，∴(∁UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，故选A．
4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x＜4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA与∁UB的关系是______________．
5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．[解析]　解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．又∵∁UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．
　　　　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝__________________．(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5}，则∁UA＝____________________________．[分析]　(1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
{x|x＜－3，或x＝5}　
[归纳提升]　求集合的补集的方法1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
【对点练习】❶　(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝(　　)A．∅　　　　　　　　B．{2}C．{5}D．{2,5}(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝_____．
　　　　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．[分析]　对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出∁UA及∁UB，再求解．
[归纳提升]　求集合交、并、补运算的方法
【对点练习】❷　(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝_______________；(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝(　　)A．{x|0≤x＜1}　　　　B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}[解析]　(1)∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1,2,3}．(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}．
　　　　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜2k＋1}，且(∁UA)∩B＝∅，求实数k的取值范围．[分析]　求∁UA，然后根据(∁UA)∩B＝∅分类讨论．[解析]　因为全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，所以∁UA＝{x|1＜x＜3}，因为集合B＝{x|k＜x＜2k＋1}，(∁UA)∩B＝∅，
[归纳提升]　由集合运算结果求参数的方法(1)利用Venn图分析．当集合中元素个数有限时，可根据集合运算结果，利用Venn图直观展示各集合之间的关系，进而列出方程(或不等式)求参数的值(或范围)．(2)利用数轴分析．当集合中元素个数无限时，可根据集合运算结果画数轴直观展示各集合之间的关系，通过分析数轴上有关点的位置关系列方程(或不等式)求参数的值(或范围)．
【对点练习】❸　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为__________________．
忽视空集的特殊性　　　　已知A＝{x∈R|x＜－2或x＞3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为________________________．
{a|a＜1或a＞3}　
[错因分析]　由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∪∅＝A，所以错解忽略了B＝∅时的情况．
[方法点拨]　∅有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A∩∅＝∅；(2)对于任意集合A，皆有A∪∅＝A，因此，如果A∩B＝∅，就要考虑集合A或B可能是∅，如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是∅．
“正难则反”思想的应用“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A．
　　　　已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值集合．[分析]　要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该集合在实数集R中的补集即可．[解析]　若B∪A＝A，则B⊆A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，∴集合B有以下三种情况：①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4；
[归纳提升]　补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现．
1．(2021·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(　　)A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}[解析]　A∪B＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．
2．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为(　　)A．{x|－2≤x＜1}B．{x|－2≤x＜3}C．{x|x≤2或x＞3}D．{x|－2≤x≤2}[解析]　由题意得阴影部分集合为∁U(M∪N)．∵M∪N＝{x|x≥1或x＜－2}，∴∁U(M∪N)＝{x|－2≤x＜1}．故选A．
3．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝____________．[解析]　由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁UA＝{4,6,7,9, 10}，所以(∁UA)∩B＝{7,9}．
4．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，求A∩(∁UB)，(∁UA)∩(∁UB)．[解析]　∁UA＝{1,3,6,7}，∁UB＝{2,4,6}，∴A∩(∁UB)＝{2,4,5}∩{2,4,6}＝{2,4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,6,7}∩{2,4,6}＝{6}．
5．设S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，∁SB，∁SA．[解析]　B∩C＝{x|x是正方形}，∁SB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形或梯形}，∁SA＝{x|x是梯形}．