必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步练习题

课时跟踪检测 （九） 平面向量数量积的坐标表示

层级(一)　“四基”落实练

1．在△ABC中，C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则实数k的值是    (　　)

A．5　　　　　　　　 B．－5

C.   D．－

解析：选A　＝－＝(2－k,2)．

∵C＝90°，∴⊥，∴2(2－k)＋6＝0，解得k＝5.

2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是          (　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．任意三角形

解析：选B　∵cos A＝＝＝0，∴A＝.故选B.

3．已知a＝(1,2)，b＝(－1，)，则a·b＋|b|＝           (　　)

A．1   B．1＋

C．1＋2   D．2

解析：选C　因为a·b＝(1,2)·(－1，)＝－1＋2，|b|＝2，所以a·b＋|b|＝－1＋2＋2＝1＋2.

4．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于          (　　)

A．8   B．10

C．11   D．12

解析：选D　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)．又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.

5．(多选)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，a，b的夹角为θ，b方向上的单位向量为e.则                                                                                                                     (　　)

A．b＝(5,12)  B．a·b＝16

C．cos θ＝  D．a在b上的投影向量为e

解析：选BCD　∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．

又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，

∴a·b＝－20＋36＝16.

又|a|＝5，|b|＝13，∴cos θ＝＝.

∴a在b上的投影向量为e＝e.

6．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.

解析：∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，

∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，

|a|＝＝2，|b|＝＝10.

∴cos〈a，b〉＝＝＝－.

答案：－

7.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D

  被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为________．

解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.

答案：11

8．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．

(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；

(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．

解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．所以cos θ＝＝＝.

因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0.

层级(二)　能力提升练

1．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于                                                                                                                  (　　)

A．16   B．12

C．8   D．－4

解析：选A　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0，6)，D(2,3)．

设E(0，t)，则·＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，

∴t＝，即E，∴·＝·(0,6)＝16.

2．设向量a＝(，－1)，b＝，k，t是两个不同时为零的实数．若向量x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，则函数k＝f(t)的最小值为                                                                                    (　　)

A．－   B.

C．－   D.

解析：选A　因为a＝(，－1)，b＝，所以a·b＝0，且|a|＝2，|b|＝1.因为x⊥y，所以x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，所以－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)·b2＝0，所以－4k＋t2－3t＝0，

即k＝(t2－3t)＝2－，所以k≥－，

即函数k＝f(t)的最小值为－.

3．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.

解析：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)，    P(1,1)，C(0,0)，则·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.

答案：4

4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

解：(1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，

则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．

所以|＋|＝2，|－|＝4.

故所求的两条对角线的长分别为2，4.

(2)由题意知，＝(－2，－1)，

－t＝(3＋2t,5＋t)．

由(－t)·＝0，

得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，

从而5t＝－11，所以t＝－.

5．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．

(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；

(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.

解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，

∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，

可得解得或

故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．

(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，

即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，

整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.

层级(三)　素养培优练

已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余

弦值．

解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，

∴＝(1,1)，＝(－3,3)．又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.

(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.

设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，

∴得∴C点坐标为(0,5)．由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，∴·＝8＋8＝16>0，||＝2，||＝2.设与夹角为θ，

则cos θ＝＝＝>0，

∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.