空间向量及其运算的坐标表示PPT课件免费下载

人教A版 (2019)高中数学选择性必修 第一册课文《空间向量及其运算的坐标表示》,完整版PPT课件免费下载，优秀PPT背景图搭配，精美的免费ppt模板。轻松备课，欢迎免费下载使用。

一、【新课导入】

在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方


向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐


标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做① 坐标向量    ,通过② 每两条坐标轴    的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成③ 八    个部分.

二【课程的主要内容】

1 | 空间直角坐标系
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量


,且点A的位置由向量 ④ 唯一确定    ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使⑤     =xi+yj+zk    .在单位正交基底{i,j,k}下与向量 对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点


A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
2 | 空间点的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作 =a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系


Oxyz中的坐标,上式可简记作⑥     a=(x,y,z)    .
3 | 空间向量的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
1 | 空间向量运算的坐标表示
5 | 空间向量常用结论的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则 = - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),P1P2=| |= .
6| 空间两点间的距离公式

三、【课堂练习】

1.点(2,-3,-1)在Oxy平面上的射影为点(2,-3). (    ✕ )提示:点(2,-3,-1)在Oxy平面上的射影为点(2,-3,0).2.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量,并且 =-i+j-k,则B点的坐标为(-1,1,-1). ( √ )3.向量a=(2,-3,1)与向量b=(-4,6,-2)平行. ( √ )4.若向量a=(1,-1,2)与向量b=(x,2,-1)垂直,则x=4.( √ )5.对于空间任意两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a与b共线,则 = = . (    ✕ )提示:b为零向量时不成立.6.空间向量a=(1,1,1)为单位向量. (    ✕ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
提示:|a|= = ,a的模不是1.
1 | 利用空间向量的坐标运算证明空间平行、垂直问题
1.运用向量的坐标运算解决空间立体几何问题的方法
2.向量平行与垂直问题主要有以下两种类型:一是判定平行与垂直;二是利用平行与垂直求参数或其他问题.选择向量的坐标形式,把几何问题转化为代数计算,可


以达到简化运算的目的.(1)证明两直线平行的步骤:①建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;②求出直线的方向向量;③证明两向量共线;④说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方


向向量的有向线段不共线,即可得证.
(2)证明两直线垂直的步骤:①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐


标;②根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;③计算两直线方向向量的数量积为0;④由方向向量垂直得到两直线垂直.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.(1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标;(3)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3 = ,是否存在λ,使 =λ ,且 ⊥ ?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨根据正方体中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系.(1)将线线平行转化为向


量共线;将线线垂直转化为向量的数量积为0;(2)设点M的坐标,则点M满足两个条


件,点M在AC1上和BM⊥AC1,转化为向量 与 共线和 · =0,通过坐标运算得方程组求解;(3)假设存在λ,由3 = 得点P的坐标,由 ⊥ , =λ ,通过坐标运算列方程组求点Q的坐标及λ的值.
解析    如图,以A为坐标原点, , , 为单位正交基底建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,


1),D1(0,1,1).由中点坐标公式,得E ,G ,H .(1)证明: =(1,0,1), = , = .因为 =2 , · =1× +1× =0,
所以 ∥ , ⊥ ,即AB1∥GE,AB1⊥EH.(2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).又 =(1,1,1),所以由BM⊥AC1,得 · =0,即x-1+y+z=0.①因为 ∥ ,所以设 =μ ,得x=μ,y=μ,z=μ(μ∈R).②由①②,得μ= ,所以x= ,y= ,z= .所以点M的坐标为 .(3)假设存在满足条件的λ.设点P(x1,y1,z1),则 =(x1-1,y1,z1-1), =(-x1,1-y1,1-z1),由3 = ,得
解得 所以点P的坐标为 .设点Q(x2,y2,z2),则 = , =(x2,y2-1,z2),得 = , =(-1,1,0).由 ⊥ ,得x2- +y2- + (z2-1)=0,③由 =λ ,得 ④
由③④得无解,即不存在λ满足条件.

四、【拓展学习】

1.求两异面直线夹角的步骤(1)求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);(2)利用公式cs= 求解;(3)设异面直线a,b所成的角为θ,则cs θ=|cs|.2.求空间中两点的距离或线段长度的常用方法(1)空间两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=| |= = .(2)向量的模的计算公式:若a=(x,y,z),则|a|= .
2 | 利用空间向量的坐标运算求夹角和长度
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是DD1、BD的中点.G在棱


CD上,且CG= CD,H是C1G的中点,利用空间向量解决下列问题:(1)求证:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值;(3)求FH的长.
解析    如图所示,以 , , 为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz,则E ,F ,C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),G . (1)证明: = , =(-1,0,-1),
∵ · = ×(-1)+ ×0+ ×(-1)=0,∴ ⊥ ,即EF⊥B1C.(2) = ,∴| |= .又| |= ,且 · = ,∴cs< , >= = ,即EF与C1G所成角的余弦值为 .