北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理当堂达标检测题

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理当堂达标检测题，共15页。试卷主要包含了1　平面向量基本定理等内容，欢迎下载使用。


§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
基础过关练
题组一 基的概念与判定
1.(2020江西上饶高一下学期期末)设e1,e2是平面内的一组基,则下面四组向量中,能作为一组基的是( )

A.e2-e1与e1-e2B.2e1+3e2与-4e1-6e2
C.e1+e2与e1-e2D.-12e1+18e2与e2-14e2
2.(多选)O为▱ABCD的对角线AC和BD的交点,下列各组向量中能作为平面ABC上所有向量的一组基的是( )
A.AB与ADB.AC与DC
C.DA与BCD.OB与OD
3.(多选)(2020上海师大附中高二上学期期中)下列有关平面向量基本定理的四个命题中,正确的是( )
A.一个平面内有且只有一组不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基
B.一个平面内有无数多组不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基
C.基中的两个向量可能互相垂直
D.一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合
题组二 用基表示向量
4.(2020河南省实验中学高一下学期期中)已知D是△ABC中AB边的中点,则向量CD=( )
A.-BC+12BAB.BC-12BA
C.-BC-12BAD.BC+12BA
5.(2020河北邢台高三上学期第二次月考)在△ABC中,D为BC边上的一点,且BD=3DC,则AD=( )
A.34AB+14ACB.14AB+34AC
C.14AB-34ACD.34AB-14AC
6.(2020福建南平高一下学期期末质量检测)已知向量OA=a,OB=b,OC=c,且AC=-4CB,则( )
A.c=12a+32bB.c=32a-12b
C.c=12a-32bD.c=-13a+43b
7.(2020四川乐山高一下学期期末)如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,若a=λe1+μe2,则λ+μ=( )
A.-1B.3C.1D.-3
8.(2020河南南阳第一中学高三上学期第二次考试)如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等腰直角三角形,F为线段AE的中点,设向量BC=a,BA=b,则CF=( )
A.-14a+32bB.34a+32b
C.-34a+54bD.14a+54b
9.(2020内蒙古呼和浩特高三上学期质量普查)如图,在等腰梯形ABCD中,DC=12AB,BC=CD=DA,DE⊥AC于点E,若选择向量AB与CA为一组基,则用这组基表示DE= .
10.已知点G是△ABC的重心,点D在线段AC上,且AD=2DC.
(1)用AB和AC表示AG;
(2)用AB和AC表示DG.
11.(2020福建厦门高一第一学期质量检测)如图,平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,点E,F分别为AD,DC边的中点,BE与AF相交于点O,记AB=a,AD=b.
(1)以{a,b}为一组基,写出向量BE的分解式;
(2)若AO=λAF,求实数λ的值.
题组三 平面向量基本定理及其应用
12.(2020华东师范大学第二附属中学高三上学期月考)已知a、b、c是三个不共线的向量,a为给定向量,那么下列叙述中正确的是( )
A.对任何非零实数λ及给定的向量b、c,均存在唯一的实数μ,使得a=λb+μc
B.对任何向量b及给定的非零实数λ、μ,均存在唯一的向量c,使得a=λb+μc
C.若|b|=1,则对任何实数λ,均存在单位向量c和实数μ,使得a=λb+μc
D.若|b|=1,则对任何实数μ,均存在单位向量c和实数λ,使得a=λb+μc
13.(2020河南南阳高一下学期期末)已知平面内不在同一条直线上的四点O、A、B、C满足AB=μAC,若OA=13OB+λOC(λ∈R),则μ=( )
A.1B.2C.-1D.-2
14.(2020山西运城康杰中学高一下学期期末)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AB=2CD,M为BC的中点,若AM=λAD+μAB(λ,μ∈R),则λ+μ=( )
A.1B.54C.34D.23
15.(2020山东淄博高二上学期期中)已知a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+2e2,若以b,c为一组基,则用b与c表示a= .
16.(2020安徽十四校联盟高三上学期段考)平行四边形ABCD中,点E是线段BC的中点,若AE=λAD+μBD,则λ-μ= .
17.(2020安徽皖南八校高三上学期第一次联考)已知四边形ABCD是平行四边形,点E在CB的延长线上,BC=3,AE=AB=1,∠C=30°.若AE=xAB+yAD,则x-3y= .
18.(2020北京一零一中学高三上学期期中)如图,A、B、P是圆O上的三点,OP的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点Q,若OP=aOA+bOB,求a+b的取值范围.
能力提升练
题组一 用基表示向量
1.(2020河北石家庄第一中学高三上学期期中,)如图所示,△ABC中,点D是线段BC的中点,E是线段AD上靠近点A的三等分点,则AC=( )

A.43AD+BEB.53AD+BE
C.43AD+12BED.53AD+12BE
2.(2020湖南益阳、湘潭高三上学期一诊,)在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,F为AE的中点,则BF=( )
A.12AD-34ABB.34AB-12AD
C.43AB-12ADD.12AB+34AD
3.(2020江苏南通高一上学期期中,)在△ABC中,点D,E分别在线段AC,AB上,且DACD=BEEA=2,记CA=a,BC=b,则DE= .(用a,b表示)
题组二 平面向量基本定理的应用
4.(2020北京大学附属中学高三上学期期中,)正三角形ABC的边长为2,M为AB的中点,BP=2PC,Q是AC上一点,BQ=13BP+λBM,则△QBC的面积为( )
A.149B.79C.1439D.739
5.(2020重庆第一中学高一下学期月考,)如图所示,在△ABC中,D、E分别为BC、AC上的点,且|BD|=|DC|,|AE||EC|=23,M为BE与AD的交点,则|BM||ME|的值为( )
A.32B.2C.52D.3
6.(多选)(2020山东济南高一下学期期末,)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若AM=12AB+12AC,则点M是BC边的中点
B.若AM=2AB-AC,则点M在BC的延长线上
C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心
D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则△MBC的面积是△ABC面积的12
7.(2020山东临沂高三上学期期中,)△ABC中,D为AC上一点,满足AD=13DC.若P为BD上一点,满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0),则mn的最大值为 ;4m+1n的最小值为 .
8.(2019浙江嘉兴、丽水高三上学期期中,)△ABC中,AB=5,AC=25,BC上的高AD=4,且垂足D在线段BC上,H为△ABC的垂心,且AH=xAB+yAC(x,y∈R),则xy= .
9.(2020山东日照一中高二上学期期中,)在△AOB中,∠AOB为直角,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M,连接OM,记OA=a,OB=b.
(1)试用a、b表示向量OM;
(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使得直线EF过M,设OE=λOA,OF=μOB,求1λ+3μ的值.
答案全解全析
§4 平面向量基本定理
及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
基础过关练
1.C2.AB3.BC4.A5.B
6.D7.A8.C12.B13.D
14.B
1.C 因为e1,e2是平面内的一组基,所以e1和e2不共线,
对于选项A,e2-e1=-(e1-e2),所以这两个向量共线,不能作为一组基;
对于选项B,2e1+3e2=-1/2(-4e1-6e2),所以这两个向量共线,不能作为一组基;
对于选项C,e1+e2与e1-e2不共线,能作为一组基;
对于选项D,-1/2e1+1/8e2=-1/2 e1-1/4•e2 ,所以这两个向量共线,不能作为一组基.
故选C.
2.AB 要作为平面内所有向量的一组基,则这两个向量不能共线,在平行四边形ABCD中,易知(DA) ⃗∥(BC) ⃗,(OB) ⃗∥(OD) ⃗,故排除C、D.故选AB.
3.BC 一个平面内有无数多组不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基,A错误,B正确;基中的两个向量可能互相垂直,此时这组基为正交基,C正确;平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合,若是三个不共线的向量,则表示方法不唯一,D错误.
4.A 因为D是△ABC中AB边的中点,所以(CD) ⃗=(CB) ⃗+(BD) ⃗=(CB) ⃗+1/2 (BA) ⃗=-(BC) ⃗+1/2 (BA) ⃗.故选A.
5.B ∵D为BC边上的一点,且(BD) ⃗=3(DC) ⃗,
∴(BD) ⃗=3/4 (BC) ⃗,
∴(AD) ⃗=(AB) ⃗+(BD) ⃗=(AB) ⃗+3/4 (BC) ⃗=(AB) ⃗+3/4((AC) ⃗-(AB) ⃗)=1/4 (AB) ⃗+3/4 (AC) ⃗,故选B.
6.D (AC) ⃗=-4(CB) ⃗⇒(AO) ⃗+(OC) ⃗=-4((CO) ⃗+(OB) ⃗)⇒3(OC) ⃗=-(OA) ⃗+4(OB) ⃗⇒(OC) ⃗=-1/3 (OA) ⃗+4/3 (OB) ⃗,
∴c=-1/3a+4/3b,故选D.
7.A 根据题图可知a=-3e1+(e2+e1)=-2e1+e2,所以λ=-2,μ=1,所以λ+μ=-2+1=-1,故选A.
8.C 过F作FG⊥BC,垂足为G,如图所示,则(CF) ⃗=(CG) ⃗+(GF) ⃗,易知|(CG) ⃗|=3/4|(CB) ⃗|,|(GF) ⃗|=5/4|(BA) ⃗|,所以(CF) ⃗=(CG) ⃗+(GF) ⃗=-3/4a+5/4b.故选C.

9.答案 1/2 (AB) ⃗+1/2 (CA) ⃗
解析 由题意可得E为AC的中点,
所以(DE) ⃗=(DC) ⃗+(CE) ⃗=(DC) ⃗+1/2 (CA) ⃗=1/2 (AB) ⃗+1/2 (CA) ⃗.
10.解析 (1)设BC的中点为M,则2(AM) ⃗=(AB) ⃗+(AC) ⃗,∴(AM) ⃗=1/2((AB) ⃗+(AC) ⃗),∵G为△ABC的重心,∴(AG) ⃗=2/3 (AM) ⃗=2/3×1/2((AB) ⃗+(AC) ⃗)=1/3((AB) ⃗+(AC) ⃗).
(2)∵(AD) ⃗=2(DC) ⃗,∴(AD) ⃗=2/3 (AC) ⃗,
∴(DG) ⃗=(AG) ⃗-(AD) ⃗=1/3((AB) ⃗+(AC) ⃗)-2/3 (AC) ⃗=1/3((AB) ⃗-(AC) ⃗).
11.解析 (1)由题图可知(BE) ⃗=(BA) ⃗+(AE) ⃗
=-(AB) ⃗+1/2 (AD) ⃗=-a+1/2b.
(2)因为(EB) ⃗=(AB) ⃗-(AE) ⃗=a-1/2b,(EO) ⃗与(EB) ⃗共线,
所以设(EO) ⃗=μ(EB) ⃗=μ a-1/2b ,
则(AO) ⃗=(AE) ⃗+(EO) ⃗=1/2b+μ a-1/2b ,
又(AF) ⃗=(AD) ⃗+(DF) ⃗=(AD) ⃗+1/2 (AB) ⃗=1/2a+b,
且(AO) ⃗=λ(AF) ⃗,所以1/2b+μ a-1/2b =λ 1/2a+b ,
即1/2λa+λb=μa+1/2(1-μ)b,
则{■(1/2 λ=μ"," @λ=1/2 "(" 1"-" μ")," )┤解得{■(λ=2/5 "," @μ=1/5 "," )┤所以λ=2/5.
12.B 对于A,由平面向量基本定理可得,有且仅有一对实数λ,μ,使得a=λb+μc成立.故条件中的“对任何非零实数λ”说法不正确.故A错误.
对于B, 由平面向量基本定理可得结论正确,故B正确.
对于C,当λ=0时,a=μc,与题设a、b、c是三个不共线的向量矛盾.故C错误.
对于D,当μ=0时,a=λb,与题设a、b、c是三个不共线的向量矛盾.故D错误.
故选B.
13.D (OA) ⃗=1/3 (OB) ⃗+λ(OC) ⃗=1/3((OA) ⃗+(AB) ⃗)+λ((OA) ⃗+(AC) ⃗)= 1/3+λ (OA) ⃗+1/3 (AB) ⃗+λ(AC) ⃗,
所以1/3+λ=1,1/3 (AB) ⃗+λ(AC) ⃗=0,
解得λ=2/3,(AB) ⃗=-2(AC) ⃗,又(AB) ⃗=μ(AC) ⃗,所以μ=-2.故选D.
14.B 如图,连接AC,
∵M为BC的中点,
∴(AM) ⃗=1/2((AC) ⃗+(AB) ⃗),
∵(AC) ⃗=(AD) ⃗+(DC) ⃗=(AD) ⃗+1/2 (AB) ⃗,
∴(AM) ⃗=1/2 (AD) ⃗+1/2 (AB) ⃗ +1/2 (AB) ⃗=1/2 (AD) ⃗+3/4 (AB) ⃗,又(AM) ⃗=λ(AD) ⃗+μ(AB) ⃗,∴λ=1/2,μ=3/4,∴λ+μ=5/4.故选B.

15.答案 1/2b+c
解析 因为b,c为一组基,所以b、c不共线,从而e1、e2不共线,
令a=mb+nc(m,n∈R),
则-e1+3e2=m(4e1+2e2)+n(-3e1+2e2),
即-e1+3e2=(4m-3n)e1+(2m+2n)e2,
所以{■(4m"-" 3n="-" 1"," @2m+2n=3"," )┤解得{■(m=1/2 "," @n=1"," )┤
所以a=1/2b+c.
16.答案 5/2
解析 ∵(AE) ⃗=(AB) ⃗+1/2 (AD) ⃗=(AD) ⃗-(BD) ⃗+1/2 (AD) ⃗=3/2 (AD) ⃗-(BD) ⃗=λ(AD) ⃗+μ(BD) ⃗,∴λ=3/2,μ=-1,
∴λ-μ=5/2.
17.答案 2
解析 由AB=AE=1,∠ABE=∠C=30°,得BE=√3,
∵BC=3,∴BC=√3BE,∴(BE) ⃗=-√3/3 (BC) ⃗,
∴(AE) ⃗=(AB) ⃗+(BE) ⃗=(AB) ⃗-√3/3 (BC) ⃗=(AB) ⃗-√3/3 (AD) ⃗,
又(AE) ⃗=x(AB) ⃗+y(AD) ⃗,∴x=1,y=-√3/3,
∴x-√3y=1+1=2.
18.解析 设(OP) ⃗=k(OQ) ⃗,可得k=("|" (OP) ⃗"|" )/("|" (OQ) ⃗"|" )∈(0,1),设(OQ) ⃗=λ(OA) ⃗+μ(OB) ⃗,
∵A、B、Q三点共线,∴λ+μ=1,
则(OP) ⃗=k(OQ) ⃗=k(λ(OA) ⃗+μ(OB) ⃗)=kλ(OA) ⃗+kμ•(OB) ⃗=a(OA) ⃗+b(OB) ⃗,则a=kλ,b=kμ,
∴a+b=kλ+kμ=k(λ+μ)=k∈(0,1).
因此,a+b的取值范围是(0,1).
能力提升练
1.B2.A4.D5.C6.ACD
1.B 由题意得,(AC) ⃗=(DC) ⃗-(DA) ⃗=(BD) ⃗+(AD) ⃗=(BE) ⃗+(ED) ⃗+(AD) ⃗=(BE) ⃗+2/3 (AD) ⃗+(AD) ⃗=5/3 (AD) ⃗+(BE) ⃗.
2.A 连接BE.在平行四边形ABCD中,因为E为CD的中点,F为AE的中点,
所以(BF) ⃗=1/2 (BA) ⃗+1/2 (BE) ⃗=-1/2 (AB) ⃗+1/2 (BC) ⃗+1/2 (CE) ⃗=-1/2 (AB) ⃗+1/2 (AD) ⃗-1/4 (AB) ⃗=1/2 (AD) ⃗-3/4 (AB) ⃗.
故选A.
3.答案 1/3a-1/3b
解析 ∵DA/CD=BE/EA=2,
∴(DE) ⃗=(DA) ⃗+(AE) ⃗=2/3 (CA) ⃗+1/3 (AB) ⃗=2/3a+1/3((AC) ⃗+(CB) ⃗)=2/3a+1/3(-(CA) ⃗-(BC) ⃗)=2/3a+1/3(-a-b)=1/3a-1/3b.
4.D (BQ) ⃗=1/3 (BP) ⃗+λ(BM) ⃗=1/3×2/3 (BC) ⃗+λ/2 (BA) ⃗,由A,Q,C三点共线得2/9+λ/2=1⇒λ=14/9,
即(BQ) ⃗=2/9 (BC) ⃗+7/9 (BA) ⃗,
即(BC) ⃗+(CQ) ⃗=2/9 (BC) ⃗+7/9((BC) ⃗+(CA) ⃗)⇒(CQ) ⃗=7/9 (CA) ⃗,
故S△QBC=7/9S△ABC=7/9×√3/4×22=(7√3)/9.
故选D.
5.C 设(BA) ⃗=a,(BC) ⃗=b,(BM) ⃗=λ(BE) ⃗,∵|BD|=|DC|,∴(BD) ⃗=1/2 (BC) ⃗=1/2b,∵("|" AE"|" )/("|" EC"|" )=2/3,
∴(AE) ⃗=2/5 (AC) ⃗,
∴(BE) ⃗=(BA) ⃗+(AE) ⃗=(BA) ⃗+2/5 (AC) ⃗=(BA) ⃗+2/5((BC) ⃗-(BA) ⃗)=3/5 (BA) ⃗+2/5 (BC) ⃗=3/5a+2/5b,
∴(BM) ⃗=λ(BE) ⃗=3/5λa+2/5λb,
又A、M、D三点共线,∴存在μ∈R,使得(BM) ⃗=μ(BA) ⃗+(1-μ)(BD) ⃗=μa+(1"-" μ)/2b,
∴{■(3/5 λ=μ"," @2/5 λ=(1"-" μ)/2 "," )┤解得{■(λ=5/7 "," @μ=3/7 "," )┤
∴(BM) ⃗=5/7 (BE) ⃗,∴("|" BM"|" )/("|" ME"|" )=5/2.
6.ACD 选项A,(AM) ⃗=1/2 (AB) ⃗+1/2 (AC) ⃗⇒1/2 (AM) ⃗-1/2 (AB) ⃗=1/2 (AC) ⃗-1/2 (AM) ⃗,即(BM) ⃗=(MC) ⃗,则点M是BC边的中点.
选项B,(AM) ⃗=2(AB) ⃗-(AC) ⃗⇒(AM) ⃗-(AB) ⃗=(AB) ⃗-(AC) ⃗,
即(BM) ⃗=(CB) ⃗,则点M在CB的延长线上,所以B错误.
选项C,设BC的中点为D,则(AM) ⃗=-(BM) ⃗-(CM) ⃗=(MB) ⃗+(MC) ⃗=2(MD) ⃗,由三角形的重心性质可知C正确.
选项D,(AM) ⃗=x(AB) ⃗+y(AC) ⃗且x+y=1/2⇒2(AM) ⃗=2x(AB) ⃗+2y(AC) ⃗,2x+2y=1,设(AD) ⃗=2(AM) ⃗,
则(AD) ⃗=2x(AB) ⃗+2y(AC) ⃗,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的1/2.故选ACD.
7.答案 1/16;16
解析 如图所示,

由(AD) ⃗=1/3 (DC) ⃗得(AD) ⃗=1/4 (AC) ⃗,
所以(AP) ⃗=m(AB) ⃗+4n(AD) ⃗,所以m+4n=1(m>0,n>0),
所以mn=1/4m•(4n)≤1/4 (m+4n)/2 2=1/16,当且仅当m=1/2,n=1/8时,等号成立,
所以mn的最大值为1/16.
因为4/m+1/n= 4/m+1/n (m+4n)=8+16n/m+m/n≥16,当且仅当m=1/2,n=1/8时,等号成立,
所以4/m+1/n的最小值为16.
8.答案 2/3
解析 设BD=m,CD=n,因为AD⊥BC,AB=5,AC=2√5,BC上的高AD=4,所以m2=52-42,n2=(2√5)2-42,所以BD=3,CD=2,
所以(BD) ⃗=3/5 (BC) ⃗,即(AD) ⃗-(AB) ⃗=3/5 (AC) ⃗-3/5 (AB) ⃗,即(AD) ⃗=2/5 (AB) ⃗+3/5 (AC) ⃗,因为H为△ABC的垂心,所以A、H、D三点共线,因此存在实数λ,使得(AH) ⃗=λ(AD) ⃗,
所以(AH) ⃗=2/5λ(AB) ⃗+3/5λ(AC) ⃗,
又(AH) ⃗=x(AB) ⃗+y(AC) ⃗,
所以x/y=(2/5 λ)/(3/5 λ)=2/3.
9.解析 (1)设(OM) ⃗=ma+nb.
∵C,M,B三点共线,∴存在非零实数k使得(CM) ⃗=k(CB) ⃗=k((OB) ⃗-(OC) ⃗)=kb-k/4a,
∴(OM) ⃗=(OC) ⃗+(CM) ⃗=1/4a+kb-k/4a=(1"-" k)/4a+kb,
∴{■(m=(1"-" k)/4 "," @n=k)┤⇒m=(1"-" n)/4①.
又∵D,M,A三点共线,∴存在非零实数t使得(DM) ⃗=t(DA) ⃗=t((OA) ⃗-(OD) ⃗)=ta-t/2b.
∴(OM) ⃗=(OD) ⃗+(DM) ⃗=1/2b+ta-t/2b=ta+(1"-" t)/2b.
又(OM) ⃗=ma+nb,∴{■(m=t"," @n=(1"-" t)/2)┤⇒n=(1"-" m)/2②.
由①②解得m=1/7,n=3/7,
所以(OM) ⃗=1/7a+3/7b.
(2)由(1)知(OM) ⃗=1/7a+3/7b,
∵F,M,E三点共线,
∴存在非零实数h使得(FM) ⃗=h(FE) ⃗=h((OE) ⃗-(OF) ⃗)=hλa-hμb.
∵(FM) ⃗=(OM) ⃗-(OF) ⃗=1/7a+ 3/7-μ b,
∴{■(hλ=1/7 "," @"-" hμ=3/7 "-" μ"," )┤
消去h得μ+3λ=7λμ,所以1/λ+3/μ=7.