人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品课时训练

4.3.2　对数的运算

(教师独具内容)

课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．

教学重点：对数的运算性质、换底公式．

教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.

【知识导学】

知识点一　对数运算性质

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，

(1)loga(MN)=logaM＋logaN；

(2)loga=logaM－logaN；

(3)logaMn=nlogaM(n∈R)．

知识点二　换底公式

(1)对数的换底公式：logab=(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．

(2)三个较为常用的推论

①logab·logbc·logca=1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；

②logab=(a>0，b>0，且均不为1)；

③logambn=logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．

【新知拓展】

(1)推广：loga(N1N2…Nk)=logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．

(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．

(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件．

(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不成立：loga(MN)=logaM·logaN，loga(M±N)=logaM±logaN，loga=，logaMn=(logaM)n.

(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2=lg 10=1.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个正数的积、商的对数可以化为它们对数的和、差．(　　)

(2)loga(xy)=logax·logay.(　　)

(3)log2(－5)2=2log2(－5)．(　　)

(4)由换底公式可得logab=.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)log325－log35=________.

(2)lg 8＋lg 53=________.

(3)若lg 5=a，lg 7=b，用a，b表示log75=________.

答案　(1)log35　(2)3　(3)

题型一  对数运算性质的应用

例1　若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：

①logax·logay=loga(x＋y)；

②logax－logay=loga(x－y)；

③loga(xy)=logax·logay；④=loga；

⑤(logax)n=logaxn；⑥logax=－loga；

⑦=loga；⑧loga=－loga.

其中式子成立的个数为(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

解析：对于①，取x=4，y=2，a=2，则log24·log22=2×1=2，而log2(4＋2)=log26≠2，

∴logax·logay=loga(x＋y)不成立；

对于②，取x=8，y=4，a=2，则log28－log24=1≠log2(8－4)=2，

∴logax－logay=loga(x－y)不成立；

对于③，取x=4，y=2，a=2，则log2(4×2)=log28=3，而log24·log22=2×1=2≠3，

∴loga(xy)=logax·logay不成立；

对于④，取x=4，y=2，a=2，则=2≠log2=1，∴=loga不成立；

对于⑤，取x=4，a=2，n=3，则(log24)3=8≠log243=6，∴(logax)n=logaxn不成立；

⑥成立，由于－loga=－logax－1=loga(x－1)－1=logax；

⑦成立，由于loga=logax=logax；

⑧成立，由于loga=loga－1=－loga.

[答案]　A

例2　化简：

(1)4lg 2＋3lg 5－lg ；                (2)；

(3)2log32－log3＋log38－5log53；         (4)log2＋log2.

[解]　(1)原式=lg =lg 104=4.

==.

(3)原式=2log32－(log332－log39)＋3log32－3=5log32－(5log32－2)－3=－1.

(4)原式=log2(·)=log24=2.

金版点睛

对数式化简与求值的原则和方法

(1)基本原则

对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

(3)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5=1，lg =－lg a等．

计算：

(1)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；

(2)log535－2log5＋log57－log51.8；

(3)log2＋log212－log242－1.

解　(1)原式=2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

=2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2=2＋(lg 10)2=2＋1=3.

(2)原式=log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5

=log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55=2.

(3)原式=log2＋log212－log2－log22

=log2=log2=log22－=－.

题型二  换底公式的应用

例3　计算：

(1)(log43＋log83)；

(2)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．

[解]　(1)原式==·＋·=＋=.

(2)解法一：原式=

=

=log25·3log52=13log25·=13.

解法二：原式=

=

=·=13.

金版点睛

换底公式在求值中的应用

利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数的求值问题，同时要注意换底公式的逆用和变形应用．

计算：(1)log23×log34×log45×log56×log67×log78；

(2)＋log2(－ )．

解　(1)原式=×××××===3.

题型三  对数式的条件求值问题

例4　已知log189=a,18b=5，试用a，b表示log3645.

[解]　解法一：∵18b=5，∴log185=b，

又log189=a，

∴log3645====.

解法二：∵log189==a，∴lg 9=alg 18，

同理得lg 5=blg 18，

∴log3645=====.

金版点睛

指数式与对数式之间的转化是解题关键

对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量，顺利完成指数与对数之间的转化是解题的关键．

带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．

已知a，b，c是不等于1的正数，且ax=by=cz，＋＋=0，求abc的值．

解：解法一：设ax=by=cz=t，∴x=logat，y=logbt，z=logct，

∴＋＋=＋＋=logta＋logtb＋logtc=logt(abc)=0，

∴abc=t0=1，即abc=1.

解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax=by=cz，

∴令ax=by=cz=t>0，∴x=，y=，z=，

∴＋＋=＋＋=.

∵＋＋=0，且lg t≠0，

∴lg a＋lg b＋lg c =lg (abc)=0，∴abc=1.

1．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　)

①logax2=2logax；②logax2=2loga|x|；③loga(xy)=logax＋logay；④loga(xy)=loga|x|＋loga|y|.

A．②④  B．①③  C．①④  D．②③

答案　B

解析　∵xy>0，∴①中若x<0则不成立；③中若x<0，y<0也不成立，故选B.

2．计算log916×log881的值为(　　)

A．18  B.  C.  D.

答案　C

解析　log916×log881=×=×=，故选C.

3．已知lg 2=a，lg 3=b，则log36=(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　log36===，故选B.

4．已知loga2=m，loga3=n，则loga18=________(用m，n表示)．

答案　m＋2n

解析　loga18=loga(2×32)=loga2＋loga32=loga2＋2loga3=m＋2n.

4.4.1　对数函数的概念

(教师独具内容)

课程标准：初步了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．

教学重点：对数函数的概念．

教学难点：运用对数函数的概念解决问题.

【知识导学】

知识点　对数函数

一般地，把函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y=logx是对数函数．(　　)

(2)函数y=2log3x是对数函数．(　　)

(3)函数y=log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．(　　)

答案为：(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)下列函数是对数函数的有(　　)

①y=2log3x；②y=1＋log3x；③y=log3x；④y=(log3x)2.

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

(2)函数f(x)=lg 的定义域为(　　)

A．(1,4)   B．[1,4)

C．(－∞，1)∪(4，＋∞)   D．(－∞，1]∪(4，＋∞)

(3)已知函数f(x)=的定义域为M，g(x)=ln (1＋x)的定义域为N，则M∩N=________.

答案为：(1)A　(2)A　(3){x|－1＜x＜1}

题型一  对数函数的概念及应用

例1　若函数f(x)=log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a=________.

[解析]　由对数函数的定义可知解得a=4.

[答案]　4

金版点睛

判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y=logaxa＞0，且a≠1这种形式.

1对数符号前面的系数是1；

2对数的底数是不等于1的正实数常数；

3对数的真数仅有自变量x.

下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)

①y=logx2； ②y=logax(a∈R)；③y=log8x；

④y=ln x； ⑤y=logx(x＋2)； ⑥y=2log4x；⑦y=log2(x＋1)．

A．1个  B．2个              C．3个  D．4个

答案为：B

解析：形如y=logax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B.　　

题型二  对数型函数的定义域

例2　求下列函数的定义域：

(1)y=；(2)y=；(3)y=log(2x－1)(－4x＋8)．

[解]　(1)由题意，得即

∴x≤1.即y=的定义域为{x|x≤1}．

(2)由得解得x>，且x≠1.

∴y=的定义域为{x.

(3)由题意，得解得

∴y=log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x

金版点睛

求函数的定义域应考虑的几种情况

求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑的几种情况：①中f(x)≠0；②(n∈N*)中f(x)≥0；③logaf(x)(a>0，且a≠1)中f(x)>0；④logf(x)a(a>0)中f(x)>0，且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．

求下列函数的定义域：

(1)y=；(2)y=；(3)y=log2(16－4x)；(4)y=log(x－1)(3－x)．

解：(1)要使函数式有意义，

需解得x>1，且x≠2.

∴函数y=的定义域是{x|x>1，且x≠2}．

(2)要使函数式有意义，需即解得x≥4.

∴所求函数的定义域是{x|x≥4}．

(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.

∴所求函数的定义域是{x|x<2}．

(4)要使函数式有意义，需解得1<x<3，且x≠2.

∴所求函数的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}．

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y=loga(2x)      B．y=log22x      C．y=log2x＋1      D．y=lg x

答案为：D

解析：形如y=logax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D，其他的不符合．故选D.

2．函数y=ln 的定义域是(　　)

A．(0，＋∞)  B．(1，＋∞)   C．(2，＋∞)  D．[4，＋∞)

答案为：C

解析：要使函数有意义，真数需大于0，所以x－2＞0，即x＞2.故选C.

3．设f(log2x)=2x，x＞0，则f(3)的值是(　　)

A．128     B．256      C．512        D．8

答案为：B

解析：log2x=3，即x=8，所以f(3)=28=256.故选B.

4．已知f(x)为对数函数，f()=－2，则f()=________.

答案为：－4

解析：设f(x)=logax，则f()=loga=－2，得a=，f()=log=－4.