数学必修 第一册4.4 对数函数随堂练习题

4.4对数函数

一．选择题（共5小题）

1．设，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

2．已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点、，与函数的图象从左至右相交于点、．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为　　

A． B． C．8 D．4

3．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为　　

A． B． C． D．

4．若，则　　

A． B． 

C． D．

5．已知是自然对数的底数，设，，，则　　

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

6．已知函数与，若对任意的，，都存在，，使得，则实数的取值范围是　 　．

7．已知，，，则，，的大小关系为 　　

8．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是　　．

9．设为，，的反函数，则的最大值为　　．

三．解答题（共3小题）

10．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）若函数在，上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．

11．已知函数是上的偶函数，且当时，．

（1）求（1）的值；

（2）求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；

（3）若，求实数的取值范围．

12．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．

                                     4.4对数函数

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．设，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【分析】构造函数，利用导数研究单调性，则答案可求．

【解答】解：构造函数，

则，

当时，，

则在上为增函数，

（3），即，

，即，则；

设，则，

当时，，

在上为增函数，则（3），

即，则．

又．

．

故选：．

【点评】本题考查对数值大小的比较，考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，属难题．

2．已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点、，与函数的图象从左至右相交于点、．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为　　

A． B． C．8 D．4

【分析】设，，，的横坐标分别为，，，，由题意求出四个点的横坐标，然后表示出，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．

【解答】解：设，，，的横坐标分别为，，，，

由题意可得，，，，，

则有，，，，

所以，

因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

所以，即的最小值为．

故选：．

【点评】本题考查了对数函数的应用，主要考查了对数式与指数式的互化，基本不等式求最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

3．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】求出，的坐标，设出的坐标，根据中点坐标公式求出的值即可．

【解答】解：由题意，，，

设，因为是等边三角形，

所以点到直线的距离为，所以，，

根据中点坐标公式可得，

所以，解得，

故选：．

【点评】本题考查了对数函数的性质，考查中点坐标公式，是中档题．

4．若，则　　

A． B． 

C． D．

【分析】通过构造函数，得到时递增函数，再构造函数，利用在，上单调递减，得到（a）（b）（c），即，变形可得到．

【解答】解：设，，令，，

，递增函数，

设，，

，当时，，，

在，上单调递减，

，，

（a）（b）（c），，

，，，

，，，

，

故选：．

【点评】本题考查了通过构造函数，利用构造函数的单调性 再通过合理变形解决问题，属于中档题．

5．已知是自然对数的底数，设，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】构造新函数，利用函数的单调性比较大小即可．

【解答】解：已知是自然对数的底数，，，，

设，

则，

当时，，函数在上是增函数，

当时，，函数在上是减函数，

（3），（2），而，

所以，

又因为，，为常用不等式，可得，

令，

，

当时，，函数在上是减函数，

故（2）（e），

则，即，

则，

故：

故选：．

【点评】本题考查了利用函数的单调性比较大小，属于中档题．

二．填空题（共4小题）

6．已知函数与，若对任意的，，都存在，，使得，则实数的取值范围是　，，　．

【分析】分别求出和的值域，令的值域为的值域的子集列出不等式解出．

【解答】解：，，（2）（6），即，的值域为，．

的图象开口向上，对称轴为，

（1）若，则在，上是增函数，（2），即的值域为，，

，解得．

（2）若，则在，上是减函数，（2）（1），即的值域为，，

，解得．

（3）若，则（a），（2），的值域为，，

，解得．

（4）若，则（a），，的值域为，，

，解得．

综上，的取值范围是，，，，，，．

故答案为，，．

【点评】本题考查了二次函数的值域，对数函数的单调性与值域，集合间的关系，分类讨论思想，属于中档题．

7．已知，，，则，，的大小关系为 　　

【分析】构造函数，，，利用导数和函数的单调性即可判断．

【解答】解：，，，

令，，

令，则，，

，

，

在上单调递增，

（1），

，，

同理令，

再令，则，，

，

，

在上单调递减，

（1），

，，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．

8．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是　，　．

【分析】由题意，对定义域内任意实数，使得恒成立，由此进行讨论分析可求的取值范围．

【解答】解：由题意，其定义域内任意实数，使得，

，解析式要有意义，则有，

①当时，，定义域为，满足恒成立；

②当时，，定义域为，满足恒成立；

③当时，有在上恒成立，

所以，解得；

④当时，在时，有，不符合题意．

综上，的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查函数的定义域，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键，属于中档题．

9．设为，，的反函数，则的最大值为　　．

【分析】根据是，上的增函数，且与的单调性相同，得出的定义域为，，进而可得的最大值．

【解答】解：，是，上的单调增函数，且为，，的反函数，

和的单调性相同，

当时，的最大值为，

且当时，

的定义域为，，

且当时，

的最大值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了反函数的性质，函数的定义域值域．主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．

三．解答题（共3小题）

10．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．

（1）若函数为奇函数，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）若函数在，上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出的值即可；

（2）先求出函数的单调区间，求出函数的值域，从而求出函数在区间上的所有上界构成的集合；

（3）问题转化为在，上恒成立，通过换元法求解即可．

【解答】解：（1）因为函数为奇函数，

所以，即，

即，得，而当时不合题意，故．

（2）由（1）得：，

而，易知在区间上单调递增，

所以函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上的值域为，，所以，

故函数在区间上的所有上界构成集合为，．

（3）由题意知，在，上恒成立，，．

在，上恒成立．

设，，，由，，得．

易知在，上递增，

设，，

所以在，上递减，在，上的最大值为（1），在，上的最小值为（1），

所以实数的取值范围为，．

【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的新定义问题，考查换元思想，是一道中档题．

11．已知函数是上的偶函数，且当时，．

（1）求（1）的值；

（2）求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；

（3）若，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据函数的奇偶性求出（1）即的值即可；

（2）令，得到，根据函数的奇偶性求出的解析式，从而求出函数的单调区间即可；

（3）问题转化为，得到关于的不等式，解出即可．

【解答】解：（1）（1）；

（2）令，则，

则，

故时，，

故；

故在，递增，在递减；

（3）若，即，

时，（1），则，

时，，则，

故或，

解得：或，

即，，

【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道中档题．

12．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．

【分析】（1）函数的图象关于原点对称，可得，整理得恒成立，即可得出答案

（2）时，恒成立，求出时，的最大值，即可解出的取值范围

（3）由于在，上是增函数，在，上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案

【解答】解：（1）函数的图象关于原点对称，

，即，

，恒成立，

即，即恒成立，所以，解得，

又时，无意义，故；

（2）时，恒成立，即，

在恒成立，

由于是减函数，故当，函数取到最大值，

，即实数的取值范围是；

（3）在，上是增函数，在，上是减函数，

只需要即可保证关于的方程在，上有解，下解此不等式组．

代入函数解析式得，解得，

即当时关于的方程在，上有解．

【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识