2021学年4.4 对数函数随堂练习题

高中数学新课程必修第一册《4.4对数函数》基础测试及答案解析

一、选择题

1．下列函数是对数函数的是（    ）

A．y＝2＋log3x

B．y＝loga（2a）（a＞0，且a≠1）

C．y＝logax2（a＞0，且a≠1）

D．y＝lnx

解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．

答案：D

2．若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（    ）

A．y＝log2x

B．y＝2log4x

C．y＝log2x或y＝2log4x

D．不确定

解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），则2＝loga4即a2＝4得a＝2．故所求解析式为y＝log2x．

答案：A

3．函数y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的图象大致是（    ）

解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；

又函数y＝loga（x－1）的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确．

答案：A

4．函数y＝ln（1－x）的定义域为（    ）

A．（0，1）

B．[0，1）

C．（0，1]

D．[0，1]

解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln（1－x）的定义域为[0，1）．

答案：B

5．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（    ）

A．（1，2）

B．（1，2]

C．（－2，1）

D．[－2，1）

解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．

答案：D

6．12．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　)

A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值

B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值

C．f(x)在定义域内是偶函数

D．f(x)的图象关于直线x＝1对称

解析：选AD.由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．

设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，

且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确．

由上述分析知f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误．

又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，

所以C错误，故选AD.

7.设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．a＜b＜c

B．b＜a＜c

C．b＜c＜a

D．a＜c＜b

解析：因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，

b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，

所以b＜a＜c，故选B．

答案：B

8．若loga＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（    ）

A．

B．∪（1，＋∞）

C．（1，＋∞）

D．（0，1）

解析：当a＞1时，loga＜0＜1，成立．

当0＜a＜1时，y＝logax为减函数．

由loga＜1＝logaa，得0＜a＜．

综上所述，0＜a＜或a＞1．

答案：B

9．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（    ）

A．y1＞y2＞y3

B．y2＞y1＞y3

C．y1＞y3＞y2

D．y2＞y3＞y1

解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3．

答案：B

10．函数y＝log0．4（－x2＋3x＋4）的值域是（    ）

A．（0，2]

B．[－2，＋∞）

C．（－∞，－2]

D．[2，＋∞）

解析：－x2＋3x＋4＝－2＋≤，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0．4x为（0，＋∞）上的减函数，则y＝log0．4（－x2＋3x＋4）≥log0．4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞）．

答案：B

二、填空题

11．若f（x）＝logax＋（a2－4a－5）是对数函数，则a＝________．

解析：由对数函数的定义可知

，∴a＝5．

答案：5

12.如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．

解析：由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1．

过点（0，1）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c．

答案：b＞a＞1＞d＞c

13.已知函数y＝loga（x＋3）－1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x＋b的图象上，则f（log32）＝________．

解析：依题意可知定点A（－2，－1），f（－2）＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f（x）＝3x－，f（log32）＝3－＝2－＝．

答案：

14．若f（x）＝log2x，x∈[2，3]，则函数f（x）的值域为________．

解析：因为f（x）＝log2x在[2，3]上是单调递增的，

所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23．

答案：[1，log23]

15.已知log0.72x＜log0．7（x－1），则x的取值范围为________；∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，

∴由log0.72x＜log0.7（x－1）得解得x＞1，

即x的取值范围是（1，＋∞）．

答案：（1，＋∞）

16．函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，3]上的最大值为1，则a＝________．

解析：当a＞1时，f（x）的最大值是f（3）＝1，

则loga3＝1，∴a＝3＞1．∴a＝3符合题意．

当0＜a＜1时，f（x）的最大值是f（2）＝1．

则loga2＝1，∴a＝2＞1．∴a＝2不合题意，综上知a＝3．

答案：3

17．已知函数f（x）＝log2为奇函数，则实数a的值为________．

解析：由奇函数得f（x）＝－f（－x），

log2＝－log2，

＝，a2＝1，

因为a≠－1，

所以a＝1．

答案：1

18．如果函数f（x）＝（3－a）x与g（x）＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．

解析：若f（x），g（x）均为增函数，则则1＜a＜2；

若f（x），g（x）均为减函数，则无解．

答案：（1，2）

三、解答题

19．求下列函数的定义域：

（1）y＝log3（1－x）；

（2）y＝；

（3）y＝log7．

解析：（1）由1－x＞0，得x＜1，

∴函数y＝log3（1－x）的定义域为（－∞，1）．

（2）由log2x≠0，得x＞0且x≠1．

∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．

（3）由＞0，得x＜．

∴函数y＝log7的定义域为．

20．已知f（x）＝log3x．

（1）作出这个函数的图象；

（2）若f（a）＜f（2），利用图象求a的取值范围．

解析：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示

（2）令f（x）＝f（2），即log3x＝log32，

解得x＝2．

由图象知，当0＜a＜2时，

恒有f（a）＜f（2）．∴所求a的取值范围为0＜a＜2．

21.已知loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．

解析：（loga（x－1）≥loga（3－x），

当a＞1时，有解得2≤x＜3．

当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2．

综上可得，

当a＞1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）中x的取值范围为[2，3）；

当0＜a＜1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0且a≠1）中x的取值范围是（1，2]．

22．比较下列各组对数值的大小：

（1）log1.6与log2.9；

（2）log21.7与log23.5；

（3）log3与log3；

（4）log0.3与log20.8．

解析：（1）∵y＝logx在（0，＋∞）上单调递减，1.6＜2.9，

∴log1.6＞log2.9．

（2）∵y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，而1.7＜3.5，

∴log21.7＜log23.5．

（3）借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示．

在（1，＋∞）上，前者在后者的下方，

∴log3＜log3．

（4）由对数函数性质知，log0.3＞0，log20.8＜0，

∴log0.3＞log20.8．

23.已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0且a≠1）．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值．

解析：（1）由题意得

解得－1＜x＜3，所以函数f（x）的定义域为（－1，3）．

（2）因为f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]

＝loga（－x2＋2x＋3）

＝loga[－(x－1)2＋4]，

若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4，

所以loga4＝－2，a－2＝4，

又0＜a＜1，所以a＝．

若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值．

综上可知，a＝．

24．已知a＞0且a≠1，f（logax）＝．

（1）求f（x）；

（2）判断f（x）的单调性和奇偶性；

（3）对于f（x），当x∈（－1，1）时，有f（1－m）＋f（1－2m）＜0，求m的取值范围．

解析：（1）令t＝logax（t∈R），

则x＝at，且f（t）＝，

所以f（x）＝（ax－a－x）（x∈R）；

（2）因为f（－x）＝（a－x－ax）

＝－f（x），

且x∈R，所以f（x）为奇函数．

当a＞1时，ax－a－x为增函数，

并且注意到＞0，

所以这时f（x）为增函数；

当0＜a＜1时，类似可证f（x）为增函数．

所以f（x）在R上为增函数；

（3）因为f（1－m）＋f（1－2m）＜0，且f（x）为奇函数，

所以f（1－m）＜f（2m－1）．

因为f（x）在（－1，1）上为增函数，

所以

解之，得＜m＜1．

即m的取值范围是．