必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像课后复习题

7.3.2 正弦型函数的性质与图象（2）

【基础练习】

一、单选题

1．函数在区间上的最小值是

A． B． C． D．0

【答案】B

【解析】

因为，所以，所以由正弦函数的图象可知，函数在区间上的最小值是，故选B.

2．若函数是偶函数，则的值可以是(　　)

A． B．

C． D．－

【答案】A

【解析】

由于f(x)是偶函数，

则f(x)图象关于y轴即直线x＝0对称，

则f(0)＝±2，即=±2，∴，即

由选项知A正确，

故选A

3．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题得图像变换最后得到的解析式为，

令，

令k=-1,所以.

故选A

4．已知函数的部分图像如图所示，则函数单调递增区间是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由图像可知，故，因，故，

又得到，故，，

因，故，所以，所以.

所以，令，

所以，函数的单调增区间为：

，故选A.

5．已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 （    ）

A．B．

C． D．

【答案】D

【解析】

分类讨论：当时， ，此时有 ，

当时， ，此时有 ，综上可得：的取值范围是 ；故选D.

二、填空题

6．若在区间上是增函数，则正实数的最大值为______；

【答案】

【解析】

解：由得，

，

又在区间上是增函数，

∴，

故答案为：．

7．设函数（），将图像向左平移单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则          ．

【答案】

【解析】

试题分析：因为将图像向左平移单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，所以，由周期公式得：，所以，又因为，所以．

8．设函数，若对任意，都有成立，则的最小值为______.

【答案】2

【解析】

由题意可得是函数的最小值，是函数的最大值，

故的最小值等于函数的半个周期，为T•，

故答案为 ．

三、解答题

9．已知函数（A＞0，＞0，＜π）的一段图象如图所示．

（1）求函数的单调增区间；

（2）若，，求函数的值域．

【答案】（1）函数的单调增区间为，，；（2）函数的值域为，.

【解析】（1）求得

，

，

∴函数的单调增区间为，，

（2）∵，

∴，

∴当时，，当时，

∴函数的值域为，

10．已知函数f(x)=sin(ωx+ ) - b(ω>0，0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f(x)的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数．

(1)求f(x)的解析式并写出单增区间；

(2)当x∈，f(x)+m-2<0恒成立，求m取值范围．

【答案】（1），单调递增区间为；

（2）．

【解析】

（1）由题意，

∴，，

又为奇函数，且，

则，

，

故．

令，

解得

∴的单调递增区间为．

（2），，

，

又，

故的取值范围是．

【提升练习】

一、单选题

1．已知函数，，若，，则的一个可能取值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为，，，

故可得；；

两式相加消去可得，

故当时，满足题意.

故选：A.

2．函数（，）的部分图象如图所示，则的值分别是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，，，则有

，代入得

，则有，

 ，

 ，又，

故答案选A

3．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意可得相邻最低点距离1个周期，，，，即，，即所以 ，包含0,所以k=0, ,,

,选A．

4．设函数，点是函数的图像的一个对称中心，且点P到该图像的对称轴的距离的最小值为.则下列结论中正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的最大值是2

C．直线是图像的对称轴 D．在区间上单调递增

【答案】B

【解析】

点是函数的图像的一个对称中心，

，，

点P到该图像的对称轴的距离的最小值为，

则，，

，，

，

对于A，的最小正周期为，故A不正确；

对于B，的最大值是2，故B正确；

对于C，时，，为中心对称点，故C不正确；

对于D，由，则，

故在区间上不单调，故D不正确；

故选：B

5．已知函数f(x)＝sin(ωx)(ω＜2),在区间(0，)上(　　)

A．既有最大值又有最小值

B．有最大值没有最小值

C．有最小值没有最大值

D．既没有最大值也没有最小值

【答案】B

【解析】

函数f(x)＝sin(ωx)，

当ω＜2，且x∈(0，)时，

0＜ωx，

所以ωx，

所以sin(ωx)≤1;

所以，当ωx时，sin(ωx)取得最大值1，

即函数f(x)在区间(0，)上有最大值1，没有最小值.

故选:B.

二、填空题

6．已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则可取到的最大值为__________.

【答案】4

【解析】

，可得，由，则或，即或，由题意得，所以，则或，所以可取到的最大值为4.

故答案为：4

7．已知函数，其中．若对恒成立，则的最小值为____．

【答案】4

【解析】

由题意得，即,由，当时，取到最小值4．

8．函数（是常数，，）的部分如右图，则_______.

【答案】

【解析】

由图像可知，周期为

所以

将 代入可解得

所以 ，代入 ，可得

化简得 ，所以

三、解答题

9．建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数关系.

（1）求函数的表达式；

（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？

【答案】（1）（2）上午10时开启，下午18时关闭.

【解析】

（1）由图知，，

所以，得.

由图知，，，

所以.

将点代入函数解析式得，

得，即

又因为，得.

所以.

（2）依题意，令，

可得，

所以

解得：，

令得，，

故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.

10．已知函数f（x）=Asin（x+），若f（0）=．

（Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．

（i）写出g（x）的解析式和它的对称中心；

（ii）若α为锐角，求使得不等式g（α-）＜）成立的α的取值范围．

【答案】（Ⅰ）（II）（i）g（x）=,对称中心为（）（k∈Z）（ii）

【解析】

解：（Ⅰ）函数f（x）=Asin（x+），若f（0）=．

所以：Asin=，

解得：A=．

（Ⅱ）（i）函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

得到函数g（x）=的图象．

令：（k∈Z），

解得：x=-（k∈Z），

所以函数的对称中心为（）（k∈Z），

（ii）g（a-）=，

即：，

由于α为锐角，

所以：．