人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像精练

  课时跟踪检测（九）  正弦型函数的图像

A级——学考水平达标练

1．函数y＝3sin 3x的图像可看作是由y＝sin x的图像按下列哪种变换得到(　　)

A．横坐标不变，纵坐标变为原来的倍

B．横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的3倍

C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍

D．横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍

解析：选B　

2．要得到函数y＝sin 的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像(　　)

A．向左平移个单位  B．向右平移个单位

C．向左平移个单位  D.向右平移个单位

解析：选B　由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图像向右平移个单位即可，故选B.

3．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：选A　当x＝0时，y＝sin＝－＜0，排除B、D.当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C，故选A.

4．用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，且x1＋x5＝，则x2＋x4等于(　　)

A.  B．π

C.  D.2π

解析：选C　由五点法作图原理知，x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝x5－x4＝，故x1与x5的中点是x3, x2与x4的中点是x3，所以x2＋x4＝2x3＝x1＋x5＝.

5．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图像的解析式为(　　)

A．y＝sin  B．y＝sin

C．y＝sin  D.y＝sin

解析：选D　将原函数图像向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图像，再把y＝sin的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin的图像．

6．将函数y＝sin x的图像的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图像向右平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为________________．

解析：y＝sin xy＝3siny＝3sin＝3sin.

答案：y＝3sin

7．某同学给出了以下结论：

①将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度，得到y＝－sin x的图像；

②将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度，得到y＝sin(x＋2)的图像；

③将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图像．

其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．

解析：将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x，所以①正确；

将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－2)，所以②不正确；

将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin[－(x＋2)]＝sin(－x－2)，所以③正确．

答案：①③

8．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得图像对应的解析式为____________．

解析：将函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图像，再将所得函数y＝sin的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图像．

答案：y＝sin

9．将函数y＝sin 2x的图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图像的函数解析式．

解：y＝sin 2xy＝sin 2·＝sin xy＝sin x.

即所得图像的解析式为y＝sin x.

10．已知函数y＝3sin.

(1)用“五点法”画函数的图像；

(2)说出此图像是由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到的．

解：(1)列表：

描点：在坐标系中描出下列各点，，，，.

连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．

这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin的图像．

(2)①把y＝sin x的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图像；

②把y＝sin图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图像；

③将y＝sin的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．

B级——高考水平高分练

1．将函数y＝sin x的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是(　　)

A．y＝sin  B．y＝sin

C．y＝sin  D.y＝sin

解析：选C　将函数y＝sin x的图像上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin的图像；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin的图像，所以所求函数的解析式是y＝sin.

2．把函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像对应的函数是(　　)

A．非奇非偶函数  B．既是奇函数又是偶函数

C．奇函数  D.偶函数

解析：选D　把y＝sin的图像向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图像，y＝－cos 2x是偶函数．

3．若ω>0，函数y＝cos的图像向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图像重合，则ω的最小值为________．

解析：将函数y＝cos的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图像．因为所得函数图像与函数y＝sin ωx的图像重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.

答案：

4．设ω＞0，若函数y＝sin＋2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，求ω的最小值．

解：将y＝sin＋2的图像向右平移个单位长度后，所得图像的函数解析式为y＝sin＋2＝sin＋2.

因为平移后的图像与原图像重合，

所以有＝2kπ(k∈Z)，即ω＝(k∈Z)，

又因为ω＞0，所以k≥1，

故ω＝≥.

故ω的最小值为.

5．设m为实常数，已知方程sin＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.

(1)求m的取值范围；

(2)求α＋β的值．

解：作出函数y＝sin在区间(0,2π)上的图像如图所示．

(1)若方程sin＝m在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y＝sin的图像与y＝m有两个相异的交点．观察图像知，当－＜m＜且m≠1时有两个相异的交点，即方程sin＝m在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m的取值范围为(－，1)∪(1，)．

(2)当m∈(－，1)时，由图像易知两交点关于直线x＝对称，∴＝，α＋β＝.

当m∈(1，)时，由图像易知两交点关于直线x＝对称，

∴＝，α＋β＝.故α＋β的值为或.