高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像课时作业

  课时跟踪检测（十一）  余弦函数的性质与图像

A级——学考水平达标练

1．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图像(　　)

A．关于直线x＝1对称　 　B．关于原点对称

C．关于x轴对称  D．关于y轴对称

解析：选C　作出函数y＝cos x与函数y＝－cos x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.

2．使函数y＝3－2cos x取得最小值时的x的集合为(　　)

A．{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}

B．{x|x＝2kπ，k∈Z}

C．{x|x＝2kπ＋，k∈Z}

D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}

解析：选B　使函数y＝3－2cos x取得最小值时的x的集合，就是使函数y＝cos x取得最大值时的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}．

3．已知函数y＝cos x在(a，b)上是增函数，则y＝cos x在(－b，－a)上是(　　)

A．增函数   B．减函数

C．增函数或减函数   D．以上都不对

解析：选B　∵函数y＝cos x为偶函数，∴在关于y轴对称的区间上单调性相反．故选B.

4．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是(　　)

A．－1,3  B．－1,1

C．0,3   D．0,1

解析：选A　∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，∴y＝1－2cosx的最小值为－1，最大值为3.

5．(多选题)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期为π

B．函数f(x)是偶函数

C．函数f(x)的图像关于直线x＝对称

D．函数f(x)在区间上是增函数

解析：选ABD　f(x)＝sin＝－cos 2x，最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，故B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图像可知，C错误，D正确．

6．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0,2π]的x的区间是____________________．

解析：画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图像如图所示．

cos x>0的区间为∪.

答案：∪

7．若函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．

解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a≤0时满足条件，

故a∈(－π，0]．

答案：(－π，0]

8．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)

解析：由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3.

答案：cos 1>cos 2>cos 3

9．已知函数f(x)＝2cos.

(1)求f(x)的单调递增区间(k∈Z)；

(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值(k∈Z)．

解：(1)令－π＋2kπ≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，

可得－＋kπ≤x≤－＋kπ(k∈Z)，

故f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)．

(2)当3x＋＝－π＋2kπ，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，最小值为－2.

10．求作函数y＝－2cos x＋3在一个周期内的图像，并求函数的最大值及取得最大值时x的值．

解：列表如下：

描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3在一个周期内的图像：

由图可得，当x＝2kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值，ymax＝5.

B级——高考水平高分练

1．y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)

A.  B．[0，π]

C.   D.

解析：选D　将y＝cos x的图像位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图像不变，即得y＝|cos x|的图像(如图)．故选D.

2．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω≠0)对任意x都有f＝f，则f等于(　　)

A．2或0  B．－2或2

C．0   D．－2或0

解析：选B　由题意，知x＝为函数f(x)的一条对称轴，∴f＝±2.

3．已知函数y＝2cos的周期为T，且T∈(1,3)，则正整数k＝________.

解析：∵T＝＝(k∈N*)，∴1<<3(k∈N*)．

∴<k<2(k∈N*)．∴k＝1.

答案：1

4．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．

解：作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图像，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．

利用图像的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S阴影＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.

5．求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．

解：由于y＝cos x的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．

又由2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)；

由2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，

故y＝3－2cos的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cos θ取得最小值，

所以当2x－＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，

y＝3－2cos取得最小值1.

同理可得当x＝kπ＋(k∈Z)时，

y＝3－2cos取得最大值5.

6．已知函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.

(1)求f的值；

(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．

解：(1)∵f(x)的周期T＝π，故＝π，∴ω＝2，

∴f(x)＝2cos 2x，∴f＝2cos ＝.

(2)将y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f的图像，∴g(x)＝f＝2cos＝2cos.

当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．