高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像导学案

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在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图像．
(1) (2)
将测得的图像放大，如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
问题 1函数y＝Asinωx＋φ的周期、最值分别受哪些量的影响？
2如何作出函数y＝Asinωx＋φ的图像？
[提示] 1在函数y＝Asinωx＋φ中，最值受A的影响，最大值为|A|，周期受ω的影响，T＝ eq \f(2π,|ω|)．
2法一：五点作图法．法二：图像的变换．
知识点1 正弦型函数
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0，x∈R)的周期T＝eq \f(2π,|ω|)，频率f ＝eq \f(|ω|,2π)，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．
1．当φ为何值时，正弦型函数为奇函数？当φ为何值时，正弦型函数是偶函数？
[提示] 当φ＝kπ，k∈Z时，正弦型函数是奇函数；
当φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z时，正弦型函数是偶函数．
1．函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1的最小正周期为( )
A．eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π
B [T＝eq \f(2π,2)＝π．]
2．已知函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(π,7)))，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______．
10π 3 eq \f(π,7) [由函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(π,7)))的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝eq \f(2π,|ω|)＝10π，初相为eq \f(π,7)．]
知识点2 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响：
(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响：
(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响：
(4)用“变换法”作图：
y＝sin x的图像eq \(――――――――――――――→,\s\up12(向左φ＞0或向右φ＜0),\s\d12(平移|φ|个单位))y＝sin(x＋φ)的图像eq \(―――――――――――――→,\s\up20(横坐标变为原来的eq \f(1,ω)),\s\d12(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)的图像eq \(――――――――――→,\s\up12(纵坐标变为原来的A倍),\s\d12(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
2．由y＝sin x的图像，通过怎样的变换可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像？
[提示] 变化途径有两条：
(1)y＝sin x相位变换,y＝sin(x＋φ)周期变换,y＝sin(ωx＋φ)振幅变换,y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin x周期变换,y＝sin ωx相位变换,y＝sin(ωx＋φ)振幅变换,y＝Asin(ωx＋φ)．
3．要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图像，只要将y＝sin x的图像( )
A．向右平移eq \f(π,4)个单位B．向左平移eq \f(π,4)个单位
C．向上平移eq \f(π,4)个单位D．向下平移eq \f(π,4)个单位
B [将y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,4)个单位可得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图像．]
类型1 正弦型函数的性质与图像
【例1】 用“五点法”作函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
[解] ①列表：
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，
周期为T＝eq \f(2π,ω)＝2π，频率为f ＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)，初相为φ＝－eq \f(π,3)，最大值为5，最小值为1．
令2kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得原函数的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．
令2kπ＋eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，得原函数的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,6)，2kπ＋\f(11π,6)))(k∈Z)．
令x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋eq \f(5,6) π(k∈Z)．
1．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像，应先令ωx＋φ分别为0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图像．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围．
eq \([跟进训练])
1．已知函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))．用五点作图法在如图坐标系中作出上述函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))的图像(请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为eq \f(π,12))．
[解] 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以2x－eq \f(π,3)∈[0,2π]．
列表如下：
描点、连线，得出所要求作的图像如图．
类型2 正弦型函数的图像变换
【例2】 (对接教材P49练习B T1改编)函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－2的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？
[解] 法一：y＝sin xeq \(――――――――――――――――――――――→,\s\up20(横坐标变为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变))
y＝sin 2xeq \(―――――――――――→,\s\up20(向左平移eq \f(π,6)个单位))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――――――――――→,\s\up12(纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变))
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))eq \(―――――――――→,\s\up12(向下平移2个单位))
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－2．
法二：y＝sin xeq \(―――――――――――→,\s\up20(向左平移eq \f(π,3)个单位))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――――――――――→,\s\up20(横坐标变为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――――――――――→,\s\up12(纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变))
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――→,\s\up12(向下平移2个单位))y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－2．
三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言．
(2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．
eq \([跟进训练])
2．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移eq \f(π,3)个单位得到的图像对应的解析式是( )
A．y＝sin eq \f(1,2)x B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))
C．y＝sin 2xD．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
B [将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))的图像；再向右平移eq \f(π,3)个单位，得到的图像对应的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,6)＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))．]
类型3 求正弦型函数的解析式
【例3】 (对接教材P49练习AT2改编)如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2))) 的图像，确定其一个函数解析式．
如何确定解析式中的A、ω、φ的值？
[提示] 由图像的最高点、最低点确定A，由函数周期确定ω，最后由图像所经过的特殊点确定φ．
[解] 由图像，知A＝3，T＝π，
又图像过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，
所以所求图像由y＝3sin 2x的图像向左平移eq \f(π,6) 个单位得到，
所以y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．
[母题探究]
本题能否在不求函数解析式的情况下，直接写出其单调区间？
[解] 由图像可知，周期T＝π．函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7,12)π))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))上单调递增．所以函数的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))(k∈Z)，单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))(k∈Z)．
确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图像与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；
“第五点”为ωx＋φ＝2π．
eq \([跟进训练])
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一个周期内的部分函数图像如图所示，求此函数的解析式．
[解] 由图像可知A＝2，eq \f(T,2)＝eq \f(4,3)－eq \f(1,3)＝1，所以T＝2，
所以T＝eq \f(2π,ω)＝2，所以ω＝π，
所以y＝2sin(πx＋φ)．
代入eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝2，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，
因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,6)，所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))．
类型4 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性
【例4】 已知函数f(x) ＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．
(1)若函数f(x) ＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x) ＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8) 对称，求出φ的值及f(x) 的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
[解] (1)因为f(x) 为偶函数，所以φ＝kπ＋eq \f(π,2)，
又φ∈(0，π)，所以φ＝eq \f(π,2)．
(2)因为f(x) ＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8) 对称，
所以f (0)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，
即sin φ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝cs φ，
所以tan φ＝1，φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，所以φ＝eq \f(π,4)，所以f(x) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))．
由2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
由2x＋eq \f(π,4)＝kπ，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)，
所以f(x) 的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))(k∈Z)．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查．
2．有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
eq \([跟进训练])
4．(1)把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)))的图像向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图像正好关于原点对称，则φ的最小值为________．
(2)函数f(x) ＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图像为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图像C关于直线x＝eq \f(π,12) 对称；
②图像C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称；
③函数f(x) 在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图像向右平移eq \f(π,3) 个单位可以得到图像C．
(1)eq \f(2π,3) (2)②③ [(1)将函数的图像向左平移φ(φ＞0)个单位长度，可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)＋φ))的图像，再根据所得图像关于原点对称，可得eq \f(4π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，当φ取最小值时，得eq \f(4π,3)＋φ＝2π，φ＝eq \f(2π,3)．
(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(3,2)．
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－\f(π,3)))＝0，
故①错，②正确．
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，故③正确．
函数y＝3sin 2x的图像向右平移eq \f(π,3) 个单位，得到函数y＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))的图像，故④错．]
1．函数y＝eq \f(sin－x,x)(x∈[－π，0)∪(0，π])的图像大致是( )
A B C D
A [B、D中定义域错误，排除B、D；分析知，函数y＝eq \f(sin－x,x)(x∈[－π，0)∪x∈(0，π])为偶函数，所以图像关于y轴对称，排除C．]
2．下列区间中，函数f(x) ＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的单调递增区间是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
A [当x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))时，函数单调递增，即x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(2π,3)＋2kπ))，k∈Z，故A正确．]
3．某正弦曲线的一个最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，3))，与其相邻的一个最低点到这个最高点的一段图像交x轴于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))，最低点的纵坐标为－3，则这个正弦曲线的解析式为( )
A．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,4)))B．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,4)))
C．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πx＋\f(π,8)))D．y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πx－\f(π,8)))
A [由题意知A＝3，eq \f(T,4)＝eq \f(1,2)，即T＝2，由eq \f(2π,ω)＝2，得ω＝π．因此该函数为y＝3sin(πx＋φ)，则eq \f(π,4)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即φ＝eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z．因为当k＝0时，φ＝eq \f(π,4)，所以y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,4)))．]
4．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图像的一条对称轴是_____________．(填序号)
①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6)．
③ [由正弦函数对称轴可知．
x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
k＝0时，x＝eq \f(π,6)．]
5．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，则函数的解析式为________．
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(3π,4))) [由图像可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,8)．又x＝6时，eq \f(π,8)×6＋φ＝0，所以φ＝－eq \f(3π,4)，且|φ|<π．
所以所求函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(3π,4)))．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)，如何求其周期、对称轴及对称中心？
[提示] 其周期T＝eq \f(2π,|ω|)，令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，即可解得函数的对称轴方程，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可得其对称中心的横坐标．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)中，A、ω、φ分别对函数有何影响？
[提示] A影响函数的振幅，ω影响函数的周期，φ影响函数的初相．
3．由函数y＝sin x的图像通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤是什么？
[提示] 由函数y＝sin x的图像通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤
1．能正确使用“五点法”“图像变换法”作出函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像，并熟悉其变换过程．(重点、易错点)
2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、频率与振幅．
3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图像变化的影响以及它们的物理意义．(难点)
通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图像和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养．
x
eq \f(π,3)
eq \f(5,6) π
eq \f(4,3) π
eq \f(11,6) π
eq \f(7,3) π
x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2) π
2π
y
3
5
3
1
3
x
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
eq \f(7π,6)
2x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
0
3
0
－3
0