人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像课时训练

  课时跟踪检测（十）  正弦型函数的性质与图像

A级——学考水平达标练

1．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于(　　)

A．5  B．10

C．15  D.20

解析：选B　由已知得＝，又ω＞0，所以＝，ω＝10.

2．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的以下说法，不正确的是(　　)

A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数

B．存在φ，使f(x)是偶函数

C．存在φ，使f(x)是奇函数

D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数

解析：选AD　当φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数；当φ＝时，f(x)＝cos x，是偶函数．故选A、D.

3．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是(　　)

A.  B.

C. D.

解析：选D　令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，故选D.

4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则f等于(　　)

A．3或0  B．－3或0

C．0  D.－3或3

解析：选D　∵f＝f，∴f(x)关于直线x＝对称．∴f应取得最大值或最小值．

5．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)

A．2，－  B．2，－

C．4，－  D.4，

解析：选A　∵T＝－＝，∴T＝＝π，

∴ω＝2.

当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.

6．若函数y＝5sin的周期不大于1，则自然数k的最小值为__________.

解析：∵T＝＝，且|T|≤1，即≤1，且k为自然数，∴k≥6π，∴kmin＝19.

答案：19

7．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________.

解析：由题意知，T＝2×＝π，∴ω＝＝2.

答案：2

8．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则φ的值为________．

解析：由题意得f＝sin＝±1，

∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝kπ－，k∈Z.

∵φ∈，

∴φ＝－.

答案：－

9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在同一个周期内的图像如图，求该函数的一个解析式．

解：法一：(最值点法)由图像知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝.

由图像知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.

又＝，∴图像上的最高点为，∴＝sin，即sin＝1，令＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.可取φ＝－，

故函数的一个解析式为y＝sin.

法二：(五点对应法)由图像知A＝，又图像过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得

解得

故函数的一个解析式为y＝sin.

10．设函数f(x)＝sin，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．

解：(1)最小正周期T＝＝π，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，

∴当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，

∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.

B级——高考水平高分练

1．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)

A.  B．1

C. D.

解析：选A　cos＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.

2．(多选题)函数f(x)＝3sin的图像为C，则以下结论中正确的是(　　)

A．图像C关于直线x＝对称

B．图像C关于点对称

C．函数f(x)在区间内是增函数

D．由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C

解析：选BC　f＝3sin＝3sin＝－，f＝3sin＝0，故A错，B正确；令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故C正确；函数y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝3sin 2＝3sin的图像，故D错．

3.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__________．

解析：由图像可得T＝－，∴T＝π，则ω＝2.又图像过点，∴2sin＝2，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin，其单调递增区间为(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

4.如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图像．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．

解：(1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，

∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.

将点(－1,0)代入，得0＝2sin.

∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.

(2)作出与f(x)的图像关于直线x＝2对称的图像(图略)，可以看出g(x)的图像相当于将f(x)的图像向右平移2个单位长度得到的，

∴g(x)＝2sin＝2sin，

∴g(x)的最小正周期为＝8.

5．某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：

据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋B(A＞0，ω＞0)的图像．

(1)试根据数据和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)

解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.

又∵ymin＝7，ymax＝13，

∴A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.

∴函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．

(2)由题意，水深y≥4.5＋7，

即y＝3sin t＋10≥11.5，t∈，∴sin t≥，

∴t∈，k＝0,1，

∴t∈[1,5]或t∈[13,17]．

∴该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．

若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．