高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.2 正弦型函数的性质与图像一课一练

  课时跟踪检测（十二）  正切函数的性质与图像

A级——学考水平达标练

1．函数f(x)＝2x－tan x在上的图像大致为(　　)

解析：选D　∵f(x)为奇函数，故排除B、C；当x→时，f(x)→－∞，故选D.

2．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)

A．y＝tan x　　　　　　　 B．y＝cos x

C．y＝tan  D．y＝－tan x

解析：选C　A，D的周期为π，B中函数在上递减，故选C.

3．若tan x≥0，则(　　)

A．2kπ－<x<2kπ(k∈Z)

B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)

C．2kπ－<x≤kπ(k∈Z)

D．kπ≤x<kπ＋(k∈Z)

解析：选D　y＝tan x在内是增函数，且周期为π，在上函数值大于等于0，所以当kπ≤x<kπ＋(k∈Z)时，tan x≥0.

4．函数y＝tan图像的对称中心为(　　)

A．(0,0)   B.

C.，k∈Z   D.，k∈Z

解析：选D　由函数y＝tan x的对称中心为，k∈Z，令3x＋＝，k∈Z，则x＝－，k∈Z，∴y＝tan的对称中心为，k∈Z.故选D.

5．函数f(x)＝lg(tan x＋ )(　　)

A．是奇函数

B．既是奇函数又是偶函数

C．是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数

解析：选A　∵ ＞|tan x|≥－tan x，

∴f(x)的定义域为，关于原点对称，

又f(－x)＋f(x)＝lg(－tan x＋)＋lg(tan x＋)＝lg 1＝0，

∴f(x)为奇函数，故选A.

6．函数y＝tan(sin x)的定义域为____________，值域为______________．

解析：因为－1≤sin x≤1，所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，所以y＝tan(sin x)的定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1]．

答案：R　[－tan 1，tan 1]

7．函数y＝的最小正周期为________．

解析：y＝＝

其图像如图所示：

由图像知y＝的最小正周期为π.

答案：π

8．若tan x＞tan且x是第三象限角，则x的取值范围是__________________________．

解析：∵tan x＞tan＝tan且x是第三象限角，

∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，即x的取值范围是(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

9．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域．

解：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.

令tan x＝t，则t∈[－1,1]．

∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.

∴当t＝－1，即x＝－时，y min＝－4；当t＝1，即x＝时，y max＝4.

故所求函数的值域为[－4,4]．

10．画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间和奇偶性．

解：由函数y＝|tan x|得

y＝

根据正切函数图像的特点作出函数的图像，如图所示．

由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数．

函数y＝|tan x|的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)．

B级——高考水平高分练

1．(多选题)关于函数f(x)＝tan(x＋φ)的下列说法，正确的有(　　)

A．对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不是偶函数

B．不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数

C．存在φ，使f(x)是奇函数

D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数

解析：选BCD　对于A，显然当φ＝kπ或kπ＋，k∈Z时，f(x)是奇函数，故A错，C正确；既是奇函数又是偶函数的函数为y＝0，显然对于任意的φ，f(x)都不可能恒为0，故B正确；D显然正确．

2．已知函数y＝tan ωx在区间内是减函数，则(　　)

A．0＜ω≤1  B．－1≤ω＜0

C．ω≥1  D．ω≤－1

解析：选B　因为y＝tan x在内单调递增，所以易知ω＜0，又y＝tan ωx(ω＜0)在上是单调递减的，所以其最小正周期T＝≥π，综上，－1≤ω＜0.

3．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图像不相交，则k＝________.

解析：易知直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图像不相交，又由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝或k＝－.

答案：或－

4．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图像与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．

解：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝，所以ω＝，得f(x)＝Atan，

因为它的图像过点，所以Atan＝0，即tan＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，

得φ＝kπ－(k∈Z)，

又|φ|<，所以φ＝－，

于是f(x)＝Atan.

又它的图像过点(0，－3)，所以Atan＝－3，

得A＝3，所以f(x)＝3tan.

(2)由(1)得3tan≥，所以tan≥，得kπ＋≤x－<kπ＋(k∈Z)，

解得＋≤x<＋(k∈Z)，

所以满足f(x)≥ 的x的取值范围是

(k∈Z)．

5．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．

解：∵y＝tan θ在区间(k∈Z)上为增函数，∴a＜0.

又x∈，∴－ax∈，

∴－ax∈，

∴

解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．

令－－＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，

∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．