数学必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像教学设计
展开7.3.2 正弦型函数的性质与图象(2)
本节课是人教B版必修3《三角函数》一章第二大节的第3课时,前一节课主要讲述了正弦函数图象的画法(五点法)及的实际意义,会用五点法画出函数的图象,观察参数 对函数图象变化的影响,掌握变换法作图。本节课的主要内容是从多角度理解正弦型函数的单调性,对称轴,对称中心,和值域,能从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系;会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解,体会转化划归的思想。在内容和思想逻辑上这两节是相辅相成、紧密联系的,前一节是后一节的基础,后一节是前一节的延续和深化,这两节内容又是整个三角函数内容的重中之重。通过重点学习正弦函数和正弦型函数,可以是学生进一步熟悉和掌握研究函数的过程和方法。
考点 | 教学目标 | 核心素养 |
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的性质 | 利用图象求解y=Asin(ωx+φ)的对应的函数解析式、会求正弦型函数的单调性,对称轴,对称中心,和值域 | 逻辑推理、数学运算、直观想象 |
正弦曲线与y=Asin(ωx+φ)的图像的关系 | 从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系;掌握正弦型函数图象变换;会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题 | 逻辑推理、数学运算、直观想象 |
【教学重点】
正弦型函数的解析式、单调性,对称轴,对称中心,和值域求解
【教学难点】
正弦型函数图象变换,换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题
复习回顾:
1.正弦型函数的定义
一般地,形如的函数,在物理,工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中都是常数,且。
2.y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)型函数的性质
(1)正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的定义域为R,值域为[-|A|,|A|],周期是.
(2)y=Asin(ωx+φ)的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到.
(3)A,ω,φ的实际意义:(1)|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离,称为振幅;(2)φ在决定t=0时小球的位置中起关键作用,称为初相;(3)周期T=表示小球完成一次运动所需要的时间,f==表示1 s内能完成的运动次数,称为频率.
3. A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响
(1)φ对函数y=sin(x+φ)图像的影响
(2)ω对函数y=sin(ωx+φ)图像的影响
(3)A对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响
【课前自测】
1.函数y=sin的周期、振幅、初相分别是( )
A.3π,, B.6π,, C.3π,3,- D.6π,3,
答案:B
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是3,最小正周期是,初相是,则这个函数的表达式是( )
A.y=3sin B.y=3sin C.y=3sin D.y=3sin
解析:由已知得A=3,T=,φ=,ω==7,
所以y=3sin.故选B.
3. 要得到y=3sin的图像,只需将y=3sin 2x的图像( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解析. y=3sin 2x的图像
y=3sin 2的图像,即y=3sin的图像.
4.要得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin x的图像( )
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
解析:y=cos=cos,且y=sin x=cos.故选C.
问题1:求三角函数的解析式
例1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)中A>0,ω>0,|φ|<,且图像如图所示,求其解析式.
解 由图像知,振幅A=3,T=-=π,
所以ω=2.又图像过点,
所以f=3sin=0
所以sin=0,-+φ=kπ(k∈Z),又因为|φ|<,所以k=0,φ=,所以f(x)=3sin.
【解题方法】
确定函数y=Asin(ωx+φ)解析式的策略与步骤
若设所求解析式为y=Asin(ωx+φ),则在观察函数图像的基础上,可按以下规律来确定A,ω,φ.
(1)一般可由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω,可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)确定φ时常用以下方法:①代入法;②五点法.
【变式练习】
函数y=Asin(ωx+φ)的图像如图,求函数的表达式.
解 由函数图像可知A=1,函数周期T=2×[3-(-1)]=8,∴ω==.
又sin=0,∴+φ=kπ(k∈Z),
即φ=kπ-(k∈Z),
而|φ|<,∴φ=-,
∴函数表达式为y=sin.
问题2:y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)型函数的性质
例2.求函数y=3sin的单调递增区间、对称轴与对称中心.
解 y=3sin=-3sin.
由+2kπ≤-≤+2kπ,k∈Z,
解得:+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,
所以函数y=3sin的单调增区间为
(k∈Z).
由-=kπ+(k∈Z),得x=2kπ+,k∈Z,
所以函数的对称轴是x=2kπ+,k∈Z.
由-=kπ(k∈Z)得x=2kπ+,k∈Z,所以函数的对称中心是k∈Z.
【解题方法】
1.求形如y=Asin(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数的单调区间,通过解不等式求得.
2.具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时同样方法可以求得与正弦函数单调性相反的单调区间.
【变式练习1】
函数y=2sin图像的一条对称轴是__________.(填序号)
①x=-;②x=0;③x=;④x=-.
解析:由正弦函数对称轴可知.x+=kπ+,k∈Z,
x=kπ+,k∈Z.k=0时,x=.
答案:③
【变式练习2】
f(x)=sin 2ωx+1(ω>0)在区间上为增函数,则ω的最大值为____________.
答案: 因为y=sin x在每个闭区间(k∈Z)上为增函数,f(x)=sin 2ωx+1(ω>0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数,依题意知⊆对某个k∈Z成立,此时必有k=0,于是解得ω≤,故ω的最大值为.
【变式练习3】
函数f(x)=3sin的部分图像如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值.
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析:(1)由题意得ω=2,所以f(x)的最小正周期T==π,
最大值为y0=3,因为(x0,y0)可以看作“五点作图法”中五点后下一周期的第一点,所以2x0+=π,解得x0=π,因此函数为最小正周期为π,x0=π,y0=3.
(2)因为x∈,所以2x+∈,于是当2x+=0,
即x=-时,f(x)取得最大值0;
当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-3.
问题3:正弦函数性质综合问题
例3.已知函数 的部分图像如图所示.
(Ⅰ)求函数的解析式及图像的对称轴方程;
(Ⅱ)把函数图像上点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,得到函数的图象,求关于的方程在时所有的实数根之和.
【答案】(Ⅰ) ; ;(Ⅱ) .
解析:(Ⅰ)由题设图象知,周期, .
∵点在函数图象上, 即
又∵, ∴,从而.
又∵点在函数图象上, ∴.
故函数的解析式为.
令,
解得即为函数图像的对称轴方程.
(Ⅱ)依题意,得
∵的周期,
∴在内有个周期.
令,所以,
即函数的对称轴为.
又,则
且,所以在内有个实根
不妨从小到大依次设为,则, .
∴关于的方程在时所有的实数根之和为 .
例4.已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式,并求出的单调递增区间;
(2)将函数的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍,再将图象向右平移个单位,得到的图象,若存在使得等式成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) , ;(2) .
解析:(1)设函数的周期为,由图可知,∴,即,
∵,∴,∴,
上式中代入,有,得, ,
即, ,
又∵,∴,∴,
令,解得,
即的递增区间为;
(2)经过图象变换,得到函数的解析式为,
于是问题即为“存在,使得等式成立”,
即在上有解,令,
即在上有解,
其中,
∴,∴实数的取值范围为.
小结:
1、本节课利用换元法研究了正弦型函数的最值,单调性和对称性,并进行了简单的应用.
2、在求解正弦型函数的性质时,采用化归转化的思想,用换元法将对正弦型函数的研究,转化为对正弦函数的研究,使问题得以简化.在整个研究过程中,体现形的变化和数的运算之间的对应关系,即数形结合思想.
人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像第一课时教案: 这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像第一课时教案,共6页。
高中数学第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.2 正弦型函数的性质与图像第二课时教案设计: 这是一份高中数学第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.2 正弦型函数的性质与图像第二课时教案设计,共6页。
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