数学人教B版 (2019)第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.2 正弦型函数的性质与图像优质学案

这是一份数学人教B版 (2019)第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.2 正弦型函数的性质与图像优质学案，共12页。







1.正弦型函数


(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，w≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．


(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0，x∈R)的周期T＝eq \f(2π,|ω|)，频率f＝eq \f(|ω|,2π)，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．


2.A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响


(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响：





(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响：





(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响：





(4)用“变换法”作图：


y＝sin x的图像eq \(―――――――――――――――→,\s\up16(向左φ＞0或向右φ＜0),\s\d12(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)的图像eq \(――――――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的eq \f(1,ω)),\s\d12(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)的图像eq \(――――――――――――――→,\s\up16(纵坐标变为原来的A倍),\s\d12(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)的图像．


思考：由y＝sin x的图像，通过怎样的变换可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像？


[提示] 变化途径有两条：


(1)y＝sin xeq \(―――→,\s\up8(相位变换))y＝sin(x＋φ) eq \(―――→,\s\up8(周期变换))y＝sin(ωx＋φ) eq \(―――→,\s\up8(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．


(2)y＝sin xeq \(―――→,\s\up8(周期变换))y＝sin ωxeq \(―――→,\s\up8(相位变换))y＝sin(ωx＋φ) eq \(―――→,\s\up8(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．





1.函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1的最小正周期为( )


A．eq \f(π,2) B．π


C．2π D．4π


B [T＝eq \f(2π,2)＝π.]


2.要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图像，只要将y＝sin x的图像( )


A．向右平移eq \f(π,4)个单位B．向左平移eq \f(π,4)个单位


C．向上平移eq \f(π,4)个单位D．向下平移eq \f(π,4)个单位


B [将y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,4)个单位可得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图像．]


3.已知函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(π,7)))，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.


10π 3 eq \f(π,7) [由函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(π,7)))的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝eq \f(2π,|ω|)＝10π，初相为eq \f(π,7).]





【例1】 用“五点法”作函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．


[思路探究] 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．


[解] ①列表：


②描点连线作出一周期的函数图像．


③把此图像左、右扩展即得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像．





由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，


周期为T＝eq \f(2π,ω)＝2π，频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π) ，初相为φ＝－eq \f(π,3)，最大值为5，最小值为1.


令2kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．


令2kπ＋eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，(k∈Z)得原函数的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,6)，2kπ＋\f(11π,6)))(k∈Z)．


令x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋eq \f(5,6) π(k∈Z)．





1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像，应先令ωx＋φ分别为0，eq \f(π,2) ，π，eq \f(3π,2)，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图像．


2.求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围．








1.作出函数y＝eq \r(2) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(3π,4)))上的图像．


[解] 令X＝2x－eq \f(π,4) ，列表如下：


描点连线得图像如图所示．





【例2】 函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－2的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？


[思路探究] 由周期知“ 横向缩短” ，由振幅知“ 纵向伸长” ，并且需要向左、向下移动．


[解] 法一：y＝sin x











三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略


1确定函数y＝sin x的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.


2已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.








2.为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的图像，只需把函数y＝sin x，x∈R的图像上所有的点：


①向左平移eq \f(π,6) 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3) (纵坐标不变)；


②向右平移eq \f(π,6) 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3) (纵坐标不变)；


③向左平移eq \f(π,6) 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；


④向右平移eq \f(π,6) 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．


其中正确的是________．


③ [y＝sin xeq \(――――→,\s\up16(向左平移),\s\d25(\f(π,6)个单位))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))


eq \(――――――――→,\s\up16(横坐标伸长到),\s\d12(原来的3倍纵坐标不变))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6))).]


【例3】 如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2))) 的图像，确定其一个函数解析式．





[思路探究] 解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ.


[解] 由图像，知A＝3，T＝π，


又图像过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，


∴所求图像由y＝3sin 2x的图像向左平移eq \f(π,6) 个单位得到，


∴y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).





确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：


1代入法：把图像上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图像与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.


2五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：


“第一点”即图像上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；


“第二点”即图像的“峰点”为ωx＋φ＝ eq \f(π,2)；


“第三点”即图像下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；


“第四点”即图像的“谷点”为ωx＋φ＝ eq \f(3π,2)；


“第五点”为ωx＋φ＝2π.








3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一个周期内的部分函数图像如图所示，求此函数的解析式．


[解] 由图像可知


A＝2，eq \f(T,2)＝eq \f(4,3)－eq \f(1,3)＝1，∴T＝2，


∴T＝eq \f(2π,ω)＝2，∴ω＝π，


∴y＝2sin(πx＋φ)．


代入eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝2，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，∵|φ|＜eq \f(π,2) ，


∴φ＝eq \f(π,6) ，∴y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6))).





[探究问题]


1.如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？


[提示] 与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴．


函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)．


2.如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？


[提示] 与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点．


函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)成中心对称．


【例4】 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．


(1)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；


(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8) 对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．


[思路探究] 利用正弦函数的性质解题．


[解](1)∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋eq \f(π,2) ，


又φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,2).


(2)∵f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8) 对称，


∴f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，即sin φ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝cs φ，


∴tan φ＝1，φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．


又φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,4) ，∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).


由2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，


得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，


由2x＋eq \f(π,4)＝kπ，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)，


∴f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，


对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))(k∈Z)．





1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查．


2.有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．








4．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图像为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)


①图像C关于直线x＝eq \f(π,12) 对称；


②图像C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称；


③函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；


④由y＝3sin 2x的图像向右平移eq \f(π,3) 个单位长度可以得到图像C．


②③ [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(3,2).


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－\f(π,3)))＝0，


故①错，②正确．


令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，


解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，故③正确．


函数y＝3sin 2x的图像向右平移eq \f(π,3) 个单位，得到函数y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))的图像，故④错．





1.φ对函数y＝sin(x＋φ)的图像的影响


函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．


2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响


函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的eq \f(1,ω) (纵坐标不变)而得到的．


3.A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响


函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

4．由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法


(1)先平移后伸缩





(2)先伸缩后平移








1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝eq \f(π,4) ，x2＝eq \f(3π,4) 是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )


A．2 B．eq \f(3,2) C．1 D．eq \f(1,2)


A [由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，


eq \f(1,2)T＝eq \f(3π,4)－eq \f(π,4) ，∴T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.故选A．]


2.要得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )


A．向左平移eq \f(π,4) 个单位B．向右平移eq \f(π,4) 个单位


C．向左平移eq \f(π,8) 个单位D．向右平移eq \f(π,8) 个单位


C [y＝3sin 2x的图像y＝3sin2x＋eq \f(π,8)的图像，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像．]


3.函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图像的一条对称轴是________．(填序号)


①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6).


③ [由正弦函数对称轴可知．


x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2) ，k∈Z，


x＝kπ＋eq \f(π,6) ，k∈Z，


k＝0时，x＝eq \f(π,6).]


4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，试求该函数的解析式．





[解] 由图像可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,8).又x＝6时，eq \f(π,8)×6＋φ＝0，∴φ＝－eq \f(3π,4) ，且|φ|<π.


∴所求函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(3π,4)))


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．(重点)


2.会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．(难点)
通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图像和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养.
正弦型函数的性质与图像
x
eq \f(π,3)
eq \f(5,6) π
eq \f(4,3) π
eq \f(11,6) π
eq \f(7,3) π
x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2) π
2π
y
3
5
3
1
3
X
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,8)
eq \f(3π,8)
eq \f(5π,8)
eq \f(7π,8)
eq \f(9π,8)
y
0
eq \r(2)
0
－eq \r(2)
0
正弦型函数的图像变换
求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性