数学必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像学案及答案

7．3.2　正弦型函数的性质与图像

[课程目标] 1.了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．

2．会用“五点法”及“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．

[填一填]

1．正弦型函数

(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝，频率f＝，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．

2．正弦型函数的性质

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)( A>0，ω>0)有如下性质．

(1)定义域：R.

(2)值域：[－A，A]．

(3)周期：T＝.

(4)单调区间：单调增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得，单调减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得．

3．利用图像变换法作y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像

[答一答]

1．怎样得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像？

提示：(1)“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像：

画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．这五个点应该是使函数取得最大值、最小值及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是作变量代换．设X＝ωx＋φ，由X取0，，π，，2π来确定对应的x值．

(2)由函数y＝sinx图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像：

步骤1：画出正弦曲线在长度为2π的某闭区间上的简图．

步骤2：沿x轴平行移动，得到y＝sin(x＋φ)在长度为2π的某闭区间上的简图．

步骤3：横坐标伸长或缩短，得到y＝sin(ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．

步骤4：纵坐标伸长或缩短，得到y＝Asin(ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．

步骤5：沿x轴伸展，得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的简图．

上述变换步骤概括如下：

步骤1步骤2步骤3步骤4―→步骤5

其中相位变换中平移量为|φ|单位，φ>0时向左移，φ<0时向右移；周期变换中的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍．

2．三角函数图像的平移变换和伸缩变换的规律是什么？

提示：(1)平移变换：

①沿x轴平移，按“左加右减”规律；

②沿y轴平移，按“上加下减”规律．

(2)伸缩变换：

①沿x轴伸缩：ω>1时，横坐标缩短到原来的倍，0<ω<1时，横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变；

②沿y轴伸缩：当A>1时，把纵坐标伸长到原来的A倍，当0<A<1时，纵坐标缩短到原来的A倍，横坐标保持不变．

3．怎样由图像或部分图像求正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式？

提示：关键在于确定参数A，ω，φ.其基本方法是在观察图像的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)则在观察图像基础上可按以下规律来确定A，ω，φ.

(1)A：一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.

(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.

(3)φ：从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一零点的位置．

另外应注意，A、ω、φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点外，还可利用五点法确定初相φ，即在五点中找两个特殊点列方程组解出φ.

类型一　　正弦型函数的定义域和值域

[例1]　求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x取值集合．

(1)y＝；

(2)y＝3＋2sin；

(3)y＝2cos2x＋5sinx－4.

[分析]　解答本题中的(3)可先减少函数名，即利用sin2x＋cos2x＝1消去cos2x便可转化成关于sinx的二次函数问题

[解]　(1)∵∴－1≤sinx≤1.

∴当sinx＝－1时，ymax＝，此时x的取值集合为

；

当sinx＝1时，ymin＝，

此时x的取值集合为.

(2)∵－1≤sin≤1，

∴当sin＝1时，ymax＝5，此时2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)，故x的取值集合为.

当sin＝－1时，ymin＝1，此时2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)，故x的取值集合为.

(3)y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2

＝－22＋.

∵sinx∈[－1,1]，

∴当sinx＝－1，

即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y有最小值－9，此时x的取值集合为；

当sinx＝1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，y有最大值1，此时x的取值集合为.

1求有关y＝Asinωx＋φ＋b，x∈R的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y＝sinx的有界性，即|sinx|≤1.2形如y＝psin2x＋qsinx＋rp≠0形的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题.

[变式训练1]　已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，值域为[－5,1]，求a和b的值．

解：因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π.

所以－≤sin≤1.

当a>0时，则

解得

当a<0时，则解得

类型二　　三角函数的周期性

[例2]　求下列函数的周期：

(1)y＝sinx；(2)y＝2sin.

[解]　方法一：(1)如果令u＝x，则sinx＝sinu是周期函数，且周期为2π.

∴sin＝sinx，

即sin＝sinx.

∴sinx的周期是4π.

(2)∵2sin＝2sin，

即2sin＝2sin.

∴2sin的周期是6π.

方法二：(1)∵ω＝，∴T＝＝4π.

(2)∵ω＝，∴T＝＝6π.

[变式训练2]　求下列函数的周期：

(1)y＝sin(5x＋)；(2)y＝sin.

解：(1)∵ω＝5，∴T＝＝＝π.

(2)∵ω＝，∴T＝＝＝2π2.

类型三　　　正弦型函数的单调性

[例3]　求y＝sin的单调区间．

[分析]　复合函数y＝f[g(x)]由函数y＝f(u)和函数u＝g(x)复合而成，其单调性的判定方法是：当y＝f(u)和u＝g(x)同为增(减)函数时，y＝f[g(x)]为增函数；当y＝f(u)和u＝g(x)一个为增函数，一个为减函数时，y＝f[g(x)]为减函数．所以可利用变量代换将函数化成若干个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．

[解]　令u＝3x－，当x∈R时单调递增，所以当函数y＝sinu递增时，复合函数y＝sin也单调递增；

当函数y＝sinu递减时，复合函数y＝sin也单调递减．

由2kπ－≤3x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，故原函数的单调递增区间为，k∈Z.

由2kπ＋≤3x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋π≤x≤kπ＋π，k∈Z，

故原函数的单调递减区间为

，k∈Z.

(1)本题用的是代换法，所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数符号后的整体当做一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间，如y＝sinx在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减．

(2)在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们在解题中常犯的错误．

[变式训练3]　求函数y＝3sin的单调递增区间．

解：设u＝－，则y＝3sinu，

当2kπ＋≤u≤2kπ＋(k∈Z)时，y＝3sinu随u增大而减小，

又∵u＝－随x增大而减小，

∴当2kπ＋≤－≤2kπ＋，k∈Z，

即当－4kπ－≤x≤－4kπ－，k∈Z时，y随x增大而增大．

∴函数y＝3sin的单调增区间为(k∈Z)．

类型四　　　作正弦型函数的简图

[例4]　用五点法作函数y＝2sin＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、单调区间、对称轴方程．

[分析]　先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．

[解]　①列表：

②描点连线，作出一周期的函数图像．

③把此图像左、右扩展即得y＝2sin＋3的图像．

由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，

T＝＝2π.

令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的增区间为(k∈Z)．

令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)得原函数的减区间为(k∈Z)．

令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋π.(k∈Z)．

[变式训练4]　用五点法作函数y＝2sin在一个周期上的图像．

解：(1)列出五个关键点如下表：

(2)描点作图，如下图．

类型五　　正弦型函数的图像变换

[例5]　试说明如何由函数y＝sinx的图像通过变换得到函数y＝sin(2x＋)的图像．

[分析]　尝试用两种方法变换：

(1)y＝sinx→y＝sin→y＝sin→

y＝sin.

(2)y＝sinx→y＝sin2x→y＝sin→

y＝sin.

[解]　解法一：y＝sinxy＝sin

解法二：∵y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)，

[变式训练5]　函数y＝sin＋的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：解法1：将函数y＝sinx依次进行如下变换：

(1)把函数y＝sinx的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；

(2)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；

(3)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；

(4)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin＋的图像．

综上得到函数y＝sin＋的图像．

解法2：将函数y＝sinx依次进行如下变换：

(1)把函数y＝sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x的图像；

(2)把得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；

(3)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；

(4)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin＋的图像．

综上可得函数y＝sin＋的图像．

类型六　由函数的图像求解析式

[例6]　如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的图像，由图中条件，写出该函数的解析式．

[分析]　由给出的函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像信息确定其中的A、ω及φ的值．从图像的最高点、图像的起始点、结束点来分析出A、ω及φ的值．

[解]　解法一：(最值点法)

由题中图像可得A＝2，T＝2×＝3π＝，

∴ω＝.

将最高点坐标代入y＝2sin，

得2sin＝2.所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

所以φ＝2kπ＋，k∈Z.由－π<φ<π知φ＝.

所以此函数的解析式为y＝2sin.

解法二：(起始点法)

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像一般由“五点法”作出，

而起始点的横坐标x正是由ωx＋φ＝0解得的，

故只要找出起始点的横坐标x0就可以迅速求得角φ.

由题中图像求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×＝，又因为A＝2，

所以此函数的解析式为y＝2sin.

解法三：(平移法)

由图像知，将y＝2sinx的图像沿x轴向左平移个单位长度，就得到本题图像，故所求函数的解析式为

y＝2sin，即y＝2sin.

[变式训练6]　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图像如图，求函数的一个解析式．

解：由题图可知，A＝＝，T＝2×＝π，所以ω＝＝2，所以y＝sin(2x＋φ)，由题图可知，当x＝时，y＝sin＝0，则π＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，φ可以取－π，所以函数的一个解析式为y＝sin.

1．已知函数y＝f(x)，f(x)图像上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图像沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sinx图像相同，则y＝f(x)的图像表达式为(　D　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

解析：采用逆向思维的方法y＝sinx沿x轴向右平移个单位得到y＝sin，再保证纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin.

2．函数y＝sin的单调递减区间是(　C　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

解析：2kπ－≤－2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．

3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是(　A　)

A．2，－   B．2，－

C．4，－   D．4，

解析：本题考查正弦型函数的周期与初相．

T＝－＝，∴T＝＝π，∴ω＝2.

当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.

4．函数y＝3sin，x∈[0，＋∞)的振幅是3，周期是，频率是，相位是4x－，初相是－.