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    人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像学案设计

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    这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像学案设计,共7页。学案主要包含了学习目标,学习重难点,学习过程,学习小结,精炼反馈等内容,欢迎下载使用。

    1.了解正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响,会求其周期、最值、单调区间等.
    2.会用“图像变换法”作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像.
    【学习重难点】
    会求正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的周期、最值、单调区间.
    【学习过程】
    一、初试身手
    1.函数y=4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))+1的最小正周期为( )
    A.eq \f(π,2) B.π
    C.2π D.4π
    2.要得到y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))的图像,只要将y=sin x的图像( )
    A.向右平移eq \f(π,4)个单位B.向左平移eq \f(π,4)个单位
    C.向上平移eq \f(π,4)个单位D.向下平移eq \f(π,4)个单位
    3.已知函数y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x+\f(π,7))),则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______,______,______.
    二、合作探究
    1.正弦型函数的图像与性质
    【例1】用五点法作函数y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))+3的图像,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程.
    [思路探究]先确定一个周期内的五个关键点,画出一个周期的图像,左、右扩展可得图像,然后根据图像求性质.
    [解]①列表:
    ②描点连线作出一周期的函数图像.
    ③把此图像左、右扩展即得y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))+3的图像.
    由图像可知函数的定义域为R,值域为[1,5],
    周期为T=eq \f(2π,ω)=2π,频率为f=eq \f(1,T)=eq \f(1,2π),初相为φ=-eq \f(π,3),最大值为5,最小值为1.
    令2kπ-eq \f(π,2)≤x-eq \f(π,3)≤2kπ+eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ-\f(π,6),2kπ+\f(5,6)π))(k∈Z).
    令2kπ+eq \f(π,2)≤x-eq \f(π,3)≤2kπ+eq \f(3,2)π,(k∈Z)得原函数的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ+\f(5,6)π,2kπ+\f(11,6)π))(k∈Z).
    令x-eq \f(π,3)=kπ+eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x=kπ+eq \f(5,6)π(k∈Z).
    2.三角函数的图像变换
    【例2】函数y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))-2的图像是由函数y=sin x的图像通过怎样的变换得到的?
    [思路探究]由周期知“横向缩短”,由振幅知“纵向伸长”,并且需要向左、向下移动.
    3.求y=Asin(ωx+φ)的解析式
    【例3】如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图像,确定其一个函数解析式.
    [思路探究]解答本题可由最高点、最低点确定A,再由周期确定ω,然后由图像所过的点确定φ.
    [解]由图像,知A=3,T=π,
    又图像过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,6),0)),
    ∴所求图像由y=3sin 2x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位得到,
    ∴y=3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,6))),即y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3))).
    4.函数y=Asin(ωx+φ)的对称性
    [探究问题]
    如何求函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴方程?
    [提示]与正弦曲线一样,函数y=Asin(ωx+φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴.
    函数y=Asin(ωx+φ)对称轴方程的求法:令sin(ωx+φ)=±1,得ωx+φ=kπ+eq \f(π,2)(k∈Z),则x=eq \f(2k+1π-2φ,2ω)(k∈Z),所以函数y=Asin(ωx+φ)的图像的对称轴方程为x=eq \f(2k+1π-2φ,2ω)(k∈Z).
    如何求函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心?
    [提示]与正弦曲线一样,函数y=Asin(ωx+φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点.
    函数y=Asin(ωx+φ)对称中心的求法:令sin(ωx+φ)=0,得ωx+φ=kπ(k∈Z),则x=eq \f(kπ-φ,ω)(k∈Z),所以函数y=Asin(ωx+φ)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ-φ,ω),0))(k∈Z)成中心对称.
    【例4】已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π).
    (1)若函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数,求φ的值;
    (2)若函数f(x)=sin(2x+φ)关于x=eq \f(π,8)对称,求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标.
    [思路探究]利用正弦函数的性质解题.
    [解](1)∵f(x)为偶函数,∴φ=kπ+eq \f(π,2),
    又φ∈(0,π),∴φ=eq \f(π,2).
    (2)∵f(x)=sin(2x+φ)关于x=eq \f(π,8)对称,
    ∴f(0)=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))),即sin φ=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+φ))=cs φ,
    ∴tan φ=1,φ=kπ+eq \f(π,4)(k∈Z).
    又φ∈(0,π),∴φ=eq \f(π,4),∴f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4))).
    由2x+eq \f(π,4)=kπ+eq \f(π,2)(k∈Z),
    得x=eq \f(kπ,2)+eq \f(π,8)(k∈Z),
    由2x+eq \f(π,4)=kπ,得x=eq \f(kπ,2)-eq \f(π,8)(k∈Z),
    ∴f(x)的对称轴方程为x=eq \f(kπ,2)+eq \f(π,8)(k∈Z),
    对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)-\f(π,8),0))(k∈Z).
    【学习小结】
    1.正弦型函数
    (1)形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ都是常数)的函数,通常叫做正弦型函数.
    (2)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0,x∈R)的周期T=eq \f(2π,ω),频率f=eq \f(ω,2π),初相为φ,值域为[-|A|,|A|],|A|也称为振幅,|A|的大小反映了y=Asin(ωx+φ)的波动幅度的大小.
    2.A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响
    (1)φ对函数y=sin(x+φ)图像的影响:
    (2)ω对函数y=sin(ωx+φ)图像的影响:
    (3)A对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响:
    (4)用“变换法”作图:
    y=sin x的图像eq \(――――――――→,\s\up16(向左φ>0或向右φ<0),\s\d12(平移|φ|个单位长度))y=sin(x+φ)的图像横坐标变为原来的eq \f(1,ω)倍,纵坐标不变y=sin(ωx+φ)的图像
    eq \(――――――――――→,\s\up16(纵坐标变为原来的A倍),\s\d12(横坐标不变))y=Asin(ωx+φ)的图像.
    【精炼反馈】
    1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1=eq \f(π,4),x2=eq \f(3π,4)是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
    A.2 B.eq \f(3,2) C.1 D.eq \f(1,2)
    A [由题意及函数y=sin ωx的图像与性质可知,
    eq \f(1,2)T=eq \f(3π,4)-eq \f(π,4),∴T=π,∴eq \f(2π,ω)=π,∴ω=2.
    故选A.]
    2.要得到y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))的图像,只需将y=3sin 2x的图像( )
    A.向左平移eq \f(π,4)个单位B.向右平移eq \f(π,4)个单位
    C.向左平移eq \f(π,8)个单位D.向右平移eq \f(π,8)个单位
    C [y=3sin 2x的图像eq \(――――――――→,\s\up26(向左平移\f(π,8)个单位))y=3sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,8)))
    的图像,即y=3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))的图像.]
    3.函数y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,3)))图像的一条对称轴是________.(填序号)
    ①x=-eq \f(π,2);②x=0;③x=eq \f(π,6);④x=-eq \f(π,6).
    ③ [由正弦函数对称轴可知.
    x+eq \f(π,3)=kπ+eq \f(π,2),k∈Z,
    x=kπ+eq \f(π,6),k∈Z,
    k=0时,x=eq \f(π,6).]
    4.如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图像的一部分,试求该函数的解析式.
    [解] 由图像可知A=2,T=4×(6-2)=16,ω=eq \f(2π,T)=eq \f(π,8).又x=6时,eq \f(π,8)×6+φ=0,∴φ=-eq \f(3π,4),且|φ|<π.
    ∴所求函数的解析式为y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x-\f(3π,4))).x
    eq \f(π,3)
    eq \f(5,6)π
    eq \f(4,3)π
    eq \f(11,6)π
    eq \f(7,3)π
    x-eq \f(π,3)
    0
    eq \f(π,2)
    π
    eq \f(3,2)π

    y
    3
    5
    3
    1
    3
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