必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修课后测评

7.3.4 正切函数的性质与图象

【基础练习】

一、单选题

1．已知函数，则下列结论不正确的是（    ）

A．是的一个周期 B．

C．的值域为R D．的图象关于点对称

【答案】B

【解析】

A．的最小正周期为，所以是的一个周期，所以该选项正确；

B. 所以该选项是错误的；

C. 的值域为R，所以该选项是正确的；

D. 的图象关于点对称,所以该选项是正确的.

故选B

2．函数的最小正周期为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

,故选B.

3．，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由题得，

因为函数在单调递增，

所以.

故得.

故选：

4．与函数的图象不相交的一条直线是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由，得，

令，得．

∴为函数图象的一条渐近线，即直线与函数的图象不相交．选C．

5．当x∈(－，)时，函数y＝tan|x|的图象(　　)

A．关于原点对称 B．关于y轴对称

C．关于x轴对称 D．没有对称轴

【答案】B

【解析】

函数定义域为x∈(－，)关于原点对称，又函数为偶函数，可得函数图像关于y轴对称.

故选B

二、填空题

6．函数的对称中心为__________．

【答案】，.

【解析】

令

所以函数的对称中心为.

故答案为.

7．函数在区间上的值域为_____________.

【答案】

【解析】

时，，函数是增函数，

∴．

故答案为：．

8．使成立的x的集合为_______

【答案】

【解析】

函数的图象如图，

所以使成立的x的集合为.

故答案为：

三、解答题

9．求函数的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.

【答案】定义域为，值域为R，非奇非偶函数，递增区间为

【解析】

的定义域为，

单调增区间为.

又看成的复合函数，

由得，

所以所求函数的定义域为，值域为；

函数的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数；

令，解得，

即函数的单调递增区间为.

10．已知，，求的最大值和最小值，并求出相应的值．

【答案】时，有最小值1；时，有最大值5

【解析】

化简f（x）＝tan2x+2tanx+2＝（tanx+1）2+1．∵，∴tanx∈[﹣，1]．

∴当tanx＝﹣1，即x＝﹣时，y有最小值，ymin＝1；

当tanx＝1，即x＝时，y有最大值，ymax＝5．

【提升练习】

一、单选题

1．（a为常数）与图像相交时，相邻两交点间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：的周期为，所以（a为常数）与图像相交时，相邻两交点间的距离为.

故选：C.

2．函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

解：令，

即，

可解得：，

∴函数的单调递增区间是，

故选：B.

3．下列关于函数y＝tan(的说法正确的是(　　)

A．在区间上单调递增

B．最小正周期是π

C．图象关于点成中心对称

D．图象关于直线x＝成轴对称

【答案】B

【解析】

令，解得，显然

不满足上上述关系式，故错误；

易知该函数的最小正周期为，故正确；

令，解得，，任取值不能得到，故错误；

正切曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故错误．

故选

4．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

因为，所以由正切函数的性质得

故选：B

5．已知在区间上的最大值为，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为 ，又

所以

所以，

所以

故选

二、填空题

6．函数的定义域是________.

【答案】

【解析】

由已知,得,即,则,.

故答案为：．

7．当时，的值总不大于零，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

∵，∴，

∴.∵对任意的，都有，

∴，∴.

8．若函数在区间内恰有6个零点，则正整数等于______.

【答案】3

【解析】

根据零点定义，令，

即，

由正切函数的图像与性质可得，

所以

因为为正整数，所以：

当时，，由可知，即函数在区间内有2个零点，不合题意；

当时，，由可知，即函数在区间内有4个零点，不合题意；

当时，，由可知，即函数在区间内有6个零点，符合题意；

当时，，由可知，即函数在区间内有8个零点，不合题意；

综上可知，

故答案为：.

三、解答题

9．已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）用定义判断函数的奇偶性；

（3）在上作出函数的图象．

【答案】（1）；（2）奇函数,见解析；(3)见解析

【解析】

（1）由,得（）,

所以函数的定义域是.

（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称,

因为,所以是奇函数.

（3）,

所以在上的图象如图所示,

10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M(－，0)对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

【答案】（1）；（2）函数的单调递增区间为，，无单调递减区间．（3），

【解析】

解：（1）由题意知，函数的最小正周期为，

即.

因为，所以，

从而．

因为函数的图象关于点对称，

所以，，

即，.

因为，所以，

故．

（2）令，

解得，

即，

所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间．

（3）由（1）知，．

由

得，

即，

所以不等式的解集为，