人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像学案

7.3.2 正弦型函数的性质与图象（1）

【学习重点】

正弦型函数的定义域、值域、周期性，五点法作图，图象变换

【学习难点】

正弦型函数图象变换，换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题

问题1：正弦型函数的定义

知识点1：正弦型函数的定义

一般地，形如的函数，在屋里，工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数称为              ，其中都是常数，且。

问题2：正弦型函数的图象与性质

例1.探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象。

知识点2　y＝Asin x(A≠0)型函数的性质

1．函数y＝Asin x(A≠0)的定义域为        ，值域为              ，周期是              .

2．y＝Asin x的图像可由y＝sin x的图像上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的       

      倍得到．

【变式训练】

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝(　　)

A．5　　　　 B．－5　　　　

C．4　　　　 D．－4

2．将y＝sin 2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到____________的图像．

例2.探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象。

知识点3　y＝sin(x＋φ)型函数的性质

1．函数y＝sin(x＋φ)的定义域为        ，值域为          ，周期是             

2．y＝sin(x＋φ)的图像可由y＝sin x的图像向              得到．

【对点快练】

1．要得到函数y＝sin的图像，可以将函数y＝sin x的图像(　　)

A．向左平移个单位长度              B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度              D．向右平移个单位长度

2．若将某正弦函数的图像向右平移个单位后，所得到的图像的函数表达式是y＝sin，则原来的函数表达式为(　　)

A．y＝sin　　 B．y＝sin

C．y＝sin　　 D．y＝sin－

例3.探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象。

知识点4　y＝sin ωx(ω≠0)型函数的性质

1．函数y＝sin ωx(ω≠0)的定义域为          ，值域为          ，周期是         

2．y＝sin ωx的图像可由y＝sin x图像上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的          得到．

【对点快练】

1．用五点法作y＝2sin 2x的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　)

A．0，，π，，2π　　 B．0，，，，π

C．0，π，2π，3π，4π　　 D．0，，，，

2．将函数y＝sin 3x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)可得到函数____________的图像．

例4.探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象。

答：

正弦型函数中的常数都具有一定的实际意义。

事实上，在前述情境与问题的小球运动过程中，如果从时刻开始，每隔一小段时间（比如0.01s）给弹簧和小球拍一章照片，并将这些照片按时间顺序排成一列（顶端对齐），就可得到如图所示的图形，可以认为，图中小球的中心在正弦型函数的图象上，而且：

（1）表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；

（2）在决定时小球的位置（即）中起到关键作用，称为初相；

（3）周期表示小球完成一次运动所需要的时间。（小球的位置和速度首次都得到重复时完成了一次运动）。

知识点5　y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)型函数的性质

1．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为       ，值域为      ，周期是         

2．y＝Asin(ωx＋φ)的图像可通过对正弦曲线进行          得到．

3．A，ω，φ的实际意义：(1)|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为          ；(2)φ在决定t＝0时小球的位置中起关键作用，称为          ；(3)          表示小球完成一次运动所需要的时间，f＝＝表示1 s内能完成的运动次数，称为         

【对点快练】

1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是(　　)

A．4π，－2　　 B．4π，2

C．π，2　　 D．π，－2

2．函数y＝3sin的频率为____________，相位为____________，初相为____________．

【变式练习1】

已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图像．

【变式练习2】

已知函数y＝sin，该函数的图像如何由y＝sin x(x∈R)的图像经过变换得到？

【变式练习3】

(1)说出y＝sin的图像怎样由y＝sin x的图像得到？

(2)把函数f(x)＝sin的周期扩大为原来的2倍，再将其图像向右平移个单位长度，则所得图像的解析式为____________．