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    9.4向量应用-【新教材】2020-2021学年苏教版(2019)高中数学必修第二册同步教案(学生版+教师版)
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    高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用优秀教案

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    这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用优秀教案,共22页。教案主要包含了课前基础演练,变式探究,解题策略,跟踪训练,补偿训练,题组训练,思路导引等内容,欢迎下载使用。

    编号:009 课题:§9.4 向量的应用
    目标要求
    1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题.
    2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用.
    3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用.
    4、理解并掌握向量在物理中的应用.
    学科素养目标
    向量注重“形”,是几何学的基础,广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合,了解向量知识在高中阶段的作用.
    重点难点
    重点:向量在平面几何计算问题中的应用;
    难点:向量在物理中的应用.
    教学过程
    基础知识点
    1.用向量方法解决平面几何问题
    (1)“三步曲”:
    ①建立平面几何与向量的联系,用____________表示问题中涉及的几何元素,将平面几
    何问题转化为_________________;
    ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如__________、___________等问题;
    ③把运算结果“翻译”成_______________.
    (2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.
    (3)应用(其中):
    ①证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:;
    ②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:;
    ③求夹角问题,用夹角公式:(θ为与的夹角);
    ④计算线段长度,常用模长公式:.
    【思考】 联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?

    2.向量在物理中的应用
    (1)物理问题中常见的向量有_____________________等.
    (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的___________和___________中.
    (3)动量mv是向量的____________运算.
    (4)功是__________与____________的数量积.
    【课前基础演练】
    题1.(多选)下列命题正确的是 ( )
    A. 若△ABC是直角三角形,则有.
    B. 若,则直线AB与CD平行.
    C. 求力和的合力可利用向量加法的平行四边形法则.
    D. 已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为梯形.

    题2.若平面四边形ABCD满足,则该四边形一定是 ( )
    A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形

    题3.在平面直角坐标系中,力作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力对物体作的功为________.

    关键能力·合作学习
    类型一 向量在平面几何证明问题中的应用(直观想象、逻辑推理)
    【典例】题4.已知点O,P在△ABC所在平面内,且,则点O,P依次是△ABC的 ( )
    A.重心,垂心 B.重心,内心 C.外心,垂心 D.外心,内心

    题5.四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量方法证明:PA=EF.


    【变式探究】
    题6.若O是△ABC内一点,,则O为△ABC的 ( )
    A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心


    【解题策略】
    利用向量证明问题
    (1)常见的利用向量证明的问题.
    ①利用向量共线定理证明线段平行或点共线;
    ②利用向量的模证明线段相等;
    ③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
    (2)常用的两个方法.
    ①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明;
    ②坐标法:先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
    【跟踪训练】
    题7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.


    【补偿训练】
    题8.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.
    求证:AD⊥CE.


    类型二 向量在平面几何计算问题中的应用(数学运算)
    【典例】
    题9.如图所示,在矩形ABCD中,,垂足为E,求ED的长.



    【解题策略】
    1.用向量方法求长度的策略
    (1)利用图形特点选择基底、向量的数量积转化,用公式求解;
    (2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若,则.
    2.向量数量积、夹角的计算
    利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.
    【跟踪训练】
    题10.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.

    【补偿训练】
    题11.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.


    类型三 向量在物理中的应用(数学建模)
    角度1 矢量分解合成问题
    【典例】题12.如图,用两根分别长5 米和10米的绳子,将100 N的物体吊在水平屋顶
    AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略
    不计).


    角度2 做功问题
    【典例】题13.已知力(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力的作用在动摩擦因数μ=0.02 的水平面上运动了20 m.问力和摩擦力所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)


    【解题策略】
    用向量方法解决物理问题的步骤
    (1)把物理问题中的相关量用向量表示;
    (2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
    (3)结果还原为物理问题.
    【题组训练】
    题14.若物体在共点力的作用下产生位移,则共点力对物体所做的功W为 ( )
    A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2

    题15.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处, 船速为,水速为,则船
    行到B处时,行驶速度的大小为 ( )
    A. B. C. D.

    【补偿训练】
    题16.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中N,方向为北偏东30°;,方向为北偏东60°; ,方向为北偏西30°,求合力所做的功.


    课堂检测·素养达标
    题17.如图所示,一力作用在小车上,其中力的大小为10 N,方向与水平面成60°角,
    当小车向前运动10米,则力做的功为 ( )
    A.100焦耳 B.50焦耳 C.焦耳 D.200焦耳

    题18.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( )
    A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

    题19.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 ( )
    A. B. C. D.

    题20.某人从点O向正东走30 m到达点A,再向正北走m到达点B,则此人的位移
    的大小是________m,方向是北偏东________.

    题21.如图,正方形ABCD中的边长为a,E,F分别为AB,BC的中点,AF与DE交于点M.求∠EMF.




    编号:009 课题:§9.4 向量的应用
    目标要求
    1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题.
    2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用.
    3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用.
    4、理解并掌握向量在物理中的应用.
    学科素养目标
    向量注重“形”,是几何学的基础,广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合,了解向量知识在高中阶段的作用.
    重点难点
    重点:向量在平面几何计算问题中的应用;
    难点:向量在物理中的应用.
    教学过程
    基础知识点
    1.用向量方法解决平面几何问题
    (1)“三步曲”:
    ①建立平面几何与向量的联系,用__向量___表示问题中涉及的几何元素,将平面几
    何问题转化为___向量问题______;
    ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如__距离___、__夹角___等问题;
    ③把运算结果“翻译”成____几何关系_____.
    (2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.
    (3)应用(其中):
    ①证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:;
    ②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:;
    ③求夹角问题,用夹角公式:(θ为与的夹角);
    ④计算线段长度,常用模长公式:.
    【思考】 联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?
    提示:两种思路:一种思路是选择一个基底(选择的基底的长度和夹角应该是已知的,这样方便计算),利用基向量表示涉及的向量;另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.
    2.向量在物理中的应用
    (1)物理问题中常见的向量有______力、速度、位移_________等.
    (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的__合成___和__分解___中.
    (3)动量mv是向量的___数乘__运算.
    (4)功是__力__与__位移__的数量积.
    【课前基础演练】
    题1.(多选)下列命题正确的是 ( )
    A. 若△ABC是直角三角形,则有.
    B. 若,则直线AB与CD平行.
    C. 求力和的合力可利用向量加法的平行四边形法则.
    D. 已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为梯形.
    【答案】选CD
    提示:A×.因为△ABC为直角三角形,B并不一定是直角,有可能是A或C为直角.
    B×.向量 时,直线AB∥CD或AB与CD重合.
    C√.物理中的力既有大小又有方向,所以力可以看作向量,求和的合力可利用向量加法的平行四边形法则.
    D√.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),所以,即,且,所以此四边形为梯形.
    题2.若平面四边形ABCD满足,则该四边形一定是 ( )
    A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
    【解析】选C.由,得平面四边形ABCD是平行四边形,由,得,即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,则该四边形一定是菱形.
    题3.在平面直角坐标系中,力作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力对物体作的功为________.
    【解析】根据题意,力对物体作的功.
    答案:4
    关键能力·合作学习
    类型一 向量在平面几何证明问题中的应用(直观想象、逻辑推理)
    【典例】题4.已知点O,P在△ABC所在平面内,且,则点O,P依次是△ABC的 ( )
    A.重心,垂心 B.重心,内心 C.外心,垂心 D.外心,内心
    【思路导引】注意三角形的外心到三个顶点距离相等、内心到三边距离相等、垂心是高所在直线的交点、重心是中线的交点.
    【解析】选C.由,知点O为△ABC的外心.
    因为,所以,所以,所以,所以CA⊥PB.同理,PA⊥CB,所以点P为△ABC的垂心.
    题5.四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量方法证明:PA=EF.

    【思路导引】建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算证明.
    【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,DP=λ(0<λ<),则A(0,1),



    【变式探究】
    题6.若O是△ABC内一点,,则O为△ABC的 ( )
    A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

    【解析】选D.如图,取AB的中点E,连接OE, 则,又,
    所以,又O为公共点,所以O,C,E三点共线,且,
    所以O为△ABC的重心.
    【解题策略】
    利用向量证明问题
    (1)常见的利用向量证明的问题.
    ①利用向量共线定理证明线段平行或点共线;
    ②利用向量的模证明线段相等;
    ③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
    (2)常用的两个方法.
    ①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明;
    ②坐标法:先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
    【跟踪训练】
    题7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.
    【证明】方法一:因为∠CDA=∠DAB=90°,AB∥CD,CD=DA=AB,
    故可设,则.
    所以.
    而.
    所以,即.
    方法二:如图,建立平面直角坐标系,

    设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).
    所以(-1,1),(1,1).所以(-1,1)·(1,1)=-1+1=0.
    所以AC⊥BC.
    【补偿训练】
    题8.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.
    求证:AD⊥CE.
    【证明】如图所示,以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面
    直角坐标系.设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D,

    所以,所以,所以AD⊥CE.
    类型二 向量在平面几何计算问题中的应用(数学运算)
    【典例】
    题9.如图所示,在矩形ABCD中,,垂足为E,求ED的长.


    【解题策略】
    1.用向量方法求长度的策略
    (1)利用图形特点选择基底、向量的数量积转化,用公式求解;
    (2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若,则.
    2.向量数量积、夹角的计算
    利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.
    【跟踪训练】
    题10.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
    【解析】如图,分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立
    平面直角坐标系,

    设A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),所以,
    不妨设的夹角为θ,则.
    故所求钝角的余弦值为.
    【补偿训练】
    题11.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.

    【解析】设,,
    而,
    所以,所以,又, 所以,即.
    类型三 向量在物理中的应用(数学建模)
    角度1 矢量分解合成问题
    【典例】题12.如图,用两根分别长5 米和10米的绳子,将100 N的物体吊在水平屋顶
    AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略
    不计).

    【思路导引】画图分析A处所受力,B处所受力,物体的重力这三个力的关系.
    【解析】如图,由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角,BG与铅垂方向成60°角.
    设A处所受力为处所受力为,物体的重力为G,
    因为∠EGC=60°,∠EGD=45°,
    则有,且
    由①②解得,所以A处所受力的大小为.

    角度2 做功问题
    【典例】题13.已知力(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力的作用在动摩擦因数μ=0.02 的水平面上运动了20 m.问力和摩擦力所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)
    【思路导引】解答本题首先要确定摩擦力f的大小及其与位移所成的角,然后利用向量数量积运算求值.
    【解析】如图所示,设木块的位移为,
    (J).
    将力分解,它在铅垂方向上的分力的大小为
    ,所以摩擦力的大小为
    (N),
    因此(J).
    即和所做的功分别为J和-22 J.

    【解题策略】
    用向量方法解决物理问题的步骤
    (1)把物理问题中的相关量用向量表示;
    (2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
    (3)结果还原为物理问题.
    【题组训练】
    题14.若物体在共点力的作用下产生位移,则共点力对物体所做的功W为 ( )
    A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2
    【解析】选D. .
    题15.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处, 船速为,水速为 ,则船
    行到B处时,行驶速度的大小为 ( )
    A. B. C. D.
    【解析】选D.如图,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,
    可得,所以.

    【补偿训练】
    题16.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中N,方向为北偏东30°;,方向为北偏东60°; ,方向为北偏西30°,求合力所做的功.

    【解析】以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,
    则,所以.
    又,故.
    合力所做的功为J.

    课堂检测·素养达标
    题17.如图所示,一力作用在小车上,其中力的大小为10 N,方向与水平面成60°角,
    当小车向前运动10米,则力做的功为 ( )
    A.100焦耳 B.50焦耳 C.焦耳 D.200焦耳
    【解析】选B.设小车的位移为,则米, (焦耳).

    题18.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( )
    A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
    【解析】选A.由题意得,所以,
    所以四边形为梯形.
    题19.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 ( )
    A. B. C. D.
    【解析】选B. BC中点为,所以.
    题20.某人从点O向正东走30 m到达点A,再向正北走m到达点B,则此人的位移
    的大小是________m,方向是北偏东________.
    【解析】如图所示,此人的位移是,且,则(m),,

    所以∠BOA=60°.所以方向为北偏东30°.
    答案:60 30°
    题21.如图,正方形ABCD中的边长为a,E,F分别为AB,BC的中点,AF与DE交于点M.求∠EMF.

    【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,因为正方形ABCD的边长为a,所以

    因为,所以,即AF⊥DE.所以∠EMF=90°.




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