高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试优秀当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试优秀当堂检测题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋eq \r(3))，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 A
解析 利用斜率公式k＝eq \f(2＋\r(3)－2,4－1)＝eq \f(\r(3),3)＝tan θ，可求倾斜角为30°.
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为( )
A．－3 B．－6
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 当两直线平行时有关系eq \f(a,3)＝eq \f(2,－1)≠eq \f(2,－2)，可求得a＝－6.
3．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，eq \r(3))，B(－2，－2eq \r(3))，则直线l1，l2的位置关系是( )
A．平行或重合 B．平行
C．垂直 D．重合
答案 A
解析 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝eq \r(3)，
直线l2的斜率k2＝eq \f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq \r(3)，
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．
4．已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－3))
答案 D
解析 ∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，
∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－eq \f(1,2)，y＝－3，
∴定点为(－eq \f(1,2)，－3)．
5．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为( )
A．4 B．6
C．8 D．12
答案 C
解析 令t＝x2＋y2，则t表示直线上的点到原点距离的平方，所以tmin＝8.
6．与直线l：3x－5y＋4＝0关于x轴对称的直线的方程为( )
A．3x＋5y＋4＝0 B．3x－5y－4＝0
C．5x－3y＋4＝0 D．5x＋3y＋4＝0
答案 A
解析 因为点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，所以只需将已知直线中的变量y变为－y即可，即为3x＋5y＋4＝0.
7．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
答案 A
解析 由已知得A(－1,0)，P(2,3)，
由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，
由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0.
8．若点A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A．k≤eq \f(3,4)或k≥eq \f(4,3) B．k≤－eq \f(4,3)或k≥－eq \f(3,4)
C.eq \f(3,4)≤k≤eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)≤k≤－eq \f(3,4)
答案 C
解析 如图．
计算得：kPA＝eq \f(4,3)，kPB＝eq \f(3,4)，
由题意得eq \f(3,4)≤k≤eq \f(4,3).
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9．下列说法中，正确的是
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
B．一条直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则
D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为
【分析】根据题意，由直线的倾斜角、斜率的定义，依次分析选项，综合即看的答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，直线的倾斜角为，当时，斜率不存在，错误；
对于，直线的倾斜角的范围为，，错误；
对于，直线的倾斜角的范围为，，则有，正确；
对于，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，正确；
故选：．
10．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为
A．B．C．D．
【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【解答】解：当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为，即；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为，把点代入可得，或，
求得，或，故所求的直线方程为，或；
综上知，所求的直线方程为、，或．
故选：．
11．下面说法中错误的是
A．经过定点，的直线都可以用方程表示
B．经过定点，的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
E．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示
【分析】由题意利用直线方程的几种形式，注意特殊情况，逐一判断各个命题是否正确，从而得出结论．
【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点，的直线方程为，不能写成的形式，故错误．
当直线的斜率等于零时，经过定点，的直线方程为，不能写成 的形式，故错误．
当直线的斜率不存在时，经过定点的直线都方程为，不能用方程表示，故错误．
不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为的形式，故错误．
经过任意两个不同的点，，，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，
能用方程表示；
当直线的斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示，故正确，
故选：．
12．平面内与两定点，，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上，两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的结论为
A．当时，曲线是一个圆
B．当时，曲线的离心率为
C．当时，曲线的渐近线方程为
D．当，，时，曲线的焦点坐标分别为和
【分析】设动点为，求出直线、的斜率，并且求出它们的积，即可求出点轨迹方程，根据题目所给条件逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：设动点为，
当时，由条件可得，
即，
又，的坐标满足．
当时，曲线的方程为，是圆心在原点的圆，故正确；
当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆，，离心率为，故正确；
当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故错误；
当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆，由，
可知焦点坐标分别为和；
当时，是焦点在轴上的双曲线，方程为，由，
可知焦点坐标分别为和，故正确．
故选：．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.
答案 －2或4或6
解析 由题意得eq \f(6,\r(a2＋a4))＝eq \f(|4a－a2＋6|,\r(a2＋a4))，
即4a－a2＋6＝±6，
解得a＝0或－2或4或6.
检验得a＝0不合题意，
所以a＝－2或4或6.
14．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
答案 (2,10)或(－10,10)
解析 设M(x，y)，
则|y|＝eq \r(x＋42＋y－22)＝10.
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－10，,y＝10.))
15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．
答案 －eq \f(2,3)
解析 设P(x,1)，则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0.
∴x＝－2，∴P(－2,1)，
∴kl＝－eq \f(2,3).
16．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
答案 [－2,2]
解析 b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是[－2,2]．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知点M是直线l：eq \r(3)x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．
解 在eq \r(3)x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－eq \r(3)，
即M(－eq \r(3)，0)．
∵直线l的斜率k＝eq \r(3)，
∴其倾斜角θ＝60°.若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，
故其方程为x＝－eq \r(3).
若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，
故其方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x＋eq \r(3))，即x－eq \r(3)y＋eq \r(3)＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋eq \r(3)＝0或x－eq \r(3)y＋eq \r(3)＝0.
18．(12分)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解 方法一 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).))
∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝－3.
∴根据点斜式有y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,5)))＝－3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))))，
故所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
方法二 ∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，
∴eq \f(λ＋2,3)＝eq \f(λ－3,1)≠eq \f(2λ－3,－1)，解得λ＝eq \f(11,2).
从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
19.(12分)如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，求直线AB的方程．
解 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－eq \f(\r(3),3)，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq \f(\r(3),3)x.
设A(m，m)，B(－eq \r(3)n，n)，
所以AB的中点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，
由点C在y＝eq \f(1,2)x上，且A、P、B三点共线得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq \r(3)，所以A(eq \r(3)，eq \r(3))．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq \f(\r(3),\r(3)－1)＝eq \f(3＋\r(3),2)，
所以lAB：y＝eq \f(3＋\r(3),2)(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋eq \r(3))x－2y－3－eq \r(3)＝0.
20．(12分)如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
解 设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－8,2)，\f(y0＋2,2)))，
由条件可得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－5y0＋8＝0，,\f(x0－8,2)＋2·\f(y0＋2,2)－5＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－5y0＋8＝0，,x0＋2y0－14＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝6，,y0＝4，))即B(6,4)，
同理可求得C点的坐标为(5,0)．
故所求直线BC的方程为eq \f(y－0,4－0)＝eq \f(x－5,6－5)，即4x－y－20＝0.
21．(12分)光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
解 方法一 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
∴反射点M的坐标为(－1,2)．
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，
由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq \f(2,3)＝eq \f(y0,x0＋5).
而PP′的中点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，
Q点在l上，∴3·eq \f(x0－5,2)－2·eq \f(y0,2)＋7＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)x0－5－y0＋7＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
方法二 设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，
则eq \f(y0－y,x0－x)＝－eq \f(2,3)，
又PP′的中点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))在l上，
∴3·eq \f(x＋x0,2)－2·eq \f(y＋y0,2)＋7＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－y,x0－x)＝－\f(2,3)，,3·\f(x＋x0,2)－y＋y0＋7＝0.))
可得P点的坐标为
x0＝eq \f(－5x＋12y－42,13)，y0＝eq \f(12x＋5y＋28,13)，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
22．(12分)已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成△ABC.
(1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；
(2)当m取何值时，△ABC的面积取最值？并求出最值．
(1)证明 设直线l1与直线l3的交点为A.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx－y＋m＝0，,m＋1x－y＋m＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0，))
∴点A的坐标为(－1,0)，
∴不论m取何值，△ABC中总有一个顶点A(－1,0)为定点．
(2)解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋my－mm＋1＝0，,m＋1x－y＋m＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝m＋1，))
即l2与l3交点为B(0，m＋1)．
再由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx－y＋m＝0，,x＋my－mm＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(m,m2＋1)，,y＝\f(m3＋m2＋m,m2＋1)，))
即l1与l2交点为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,m2＋1)，\f(m3＋m2＋m,m2＋1))).
设边AB上的高为h，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·h＝eq \f(1,2)·eq \r(1＋m＋12)·eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(mm＋1,m2＋1)－\f(m3＋m2＋m,m2＋1)＋m＋1)),\r(m＋12＋1))＝eq \f(1,2)·eq \f(|m2＋m＋1|,m2＋1)＝eq \f(1,2)·eq \f(m2＋m＋1,m2＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(m,m2＋1))).
当m＝0时，S＝eq \f(1,2)；当m≠0时，S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,m＋\f(1,m)))).
∵函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的值域为[2，＋∞)∪(－x，－2]．
∴－eq \f(1,2)≤eq \f(1,m＋\f(1,m))＜0或0＜eq \f(1,m＋\f(1,m))≤eq \f(1,2)，
∴eq \f(1,4)≤S≤eq \f(1,2)或eq \f(1,2)＜S≤eq \f(3,4).
当m＝1时，△ABC的面积的最大值为eq \f(3,4)，当m＝－1时，△ABC的面积的最小值为eq \f(1,4).