人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试课后作业题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试课后作业题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二章测评(一)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021广东湛江模拟)已知直线l的倾斜角α满足方程sinα1+cosα=2,则直线l的斜率为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.-43 B.43 C.34 D.-34
解析因为sinα1+cosα=2,
所以2sinα2cosα21+2cos2α2-1=tanα2=2.
所以tanα=2tanα21-tan2α2=-43,即直线l的斜率为-43.
答案A
2.若直线l1:3x-4y-1=0与l2:3x-ay+2=0(a∈R)平行,则l1与l2间的距离是(　　)
A.15 B.25 C.35 D.45
解析两条直线l1:3x-4y-1=0与l2:3x-ay+2=0平行,则-3a+12=0,解得a=4.
所以直线l2:3x-4y+2=0,
所以两直线间的距离d=35.
答案C
3.(2020北京大兴高二期中)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x-1)2+(y-1)2=2
解析设圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=m(m>0),且圆过原点,即(0-1)2+(0-1)2=m(m>0),得m=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D.
答案D
4.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是(　　)
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
解析圆x2+2x+y2=0的圆心C为(-1,0),而直线与x+y=0垂直,所以待求直线的斜率为1.
设待求直线的方程为y=x+b,将点C的坐标代入可得b=1,则直线的方程为x-y+1=0.故选C.
答案C
5.(2020福建莆田一中检测)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(　　)
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+5=0或2x+y-5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+5=0或2x-y-5=0
解析设所求直线方程为2x+y+b=0,则|b|5=5,解得b=±5,所以所求直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.故选A.
答案A
6.若圆心在直线3x-y=0上且与x轴相切的圆,被直线x-y=0截得的弦长为27,则圆心到直线y=x的距离为(　　)
A.4 B.22 C.2 D.2
解析设圆心坐标为(a,3a),则r=|3a|,
圆心到直线x-y=0的距离d=|a-3a|2=2|a|,
则有(2|a|)2+(7)2=|3a|2,解得|a|=1,
所以圆心到直线y=x的距离为2.
答案C
7.(2021四川广元模拟)已知过点(0,2)的直线l与圆心为C的圆(x-2)2+(y-1)2=10相交于A,B两点,当△ABC面积最大时,直线l的方程为(　　)
A.2x-y+2=0
B.2x-y+2=0或2x+y-2=0
C.x=0
D.x=0或2x+y-2=0
解析当△ABC的面积最大时,CA⊥CB.
∵圆C:(x-2)2+(y-1)2=10的半径为10,
∴圆心C到AB的距离d=5.
当直线斜率不存在时,不合题意;
故直线斜率存在,设直线方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.
C(2,1)到直线kx-y+2=0的距离d=|2k-1+2|k2+1=5,
解得k=2.
∴当△ABC的面积最大时,直线l的方程为2x-y+2=0.
答案A
8.(2021广西桂林一模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0,若直线y=2x+1上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则点P的横坐标为(　　)
A.±35 B.±153 C.±155 D.±53
解析由x2+y2-4x=0,得(x-2)2+y2=4.
则圆心C(2,0),半径r=2.
∵过点P所作的圆的两条切线相互垂直,∴P,C及两切点构成正方形,得|PC|=22.
∵P在直线y=2x+1上,∴设P(a,2a+1),
得(a-2)2+(2a+1)2=8,解得a=±155.
答案C
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知直线l1:3x+y-3=0,直线l2:6x+my+1=0,则下列表述正确的有(　　)
A.直线l2的斜率为-6m
B.若直线l1垂直于直线l2,则实数m=-18
C.直线l1倾斜角的正切值为3
D.若直线l1平行于直线l2,则实数m=2
解析当m=0时,直线l2的斜率不存在,故A错误;
直线l1垂直于直线l2,则有3×6+1×m=0,
解得m=-18,故B正确;
直线l1的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故C错误;
当直线l1平行于直线l2,则3m-6=0,1×1+3m≠0,
解得m=2,故D正确.
答案BD
10.(2021福建漳州检测)已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可以为(　　)
A.(2,0) B.(6,4)
C.(4,6) D.(0,2)
解析设B(x,y),
∵等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐标为(0,4),
∴y-3x-3×4-30-3=-1,(x-3)2+(y-3)2=(0-3)2+(4-3)2,
解得x=2,y=0或x=4,y=6,
∴点B的坐标为(2,0)或(4,6).
答案AC
11.(2020江苏如皋中学高二期中)下列说法正确的是(　　)
A.若两条直线互相平行,则它们的斜率相等
B.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线
C.圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(1,-2),半径为5
D.若直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则实数t的取值范围是0,32
解析对于A,若两条直线均平行于y轴,则两条直线斜率都不存在,故A错误.
对于B,若直线不平行于坐标轴,则原方程可化为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,为直线两点式方程;当直线平行于x轴,则原方程可化为y=y1;当直线平行于y轴,则原方程可化为x=x1.
综上所述,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线,故B正确.
对于C,圆的方程可整理为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2),故C错误.
对于D,若直线不经过第二象限,则-2t-32≥0,-t2≤0,解得0≤t≤32,故D正确.
答案BD
12.(2020山东枣庄检测)已知P,Q分别为圆M:(x-6)2+(y-3)2=4与圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上的动点,A为x轴上的动点,则|AP|+|AQ|的值可能是(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
解析圆N:(x+4)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆为圆N':(x+4)2+(y+2)2=1,则|AP|+|AQ|的最小值为|MN'|-1-2=102+52-3=55-3≈8.2,最大值为|MN'|+1+2=55+3≈14.2.故选CD.
答案CD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021天津河西一模)已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则圆C的标准方程为　　　　　　　　　　. 
解析如图,

由圆心与切点的连线与切线垂直,得m+12=-12,解得m=-2.
∴圆心为(0,-2),
则半径r=(-2-0)2+(-1+2)2=5.
∴圆C的标准方程为x2+(y+2)2=5.
答案x2+(y+2)2=5
14.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线也称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为　　　　　. 
解析设C(m,n),由重心坐标公式可得,△ABC的重心为2+m3,4+n3,
代入欧拉线方程可得,2+m3-4+n3+2=0,整理可得m-n+4=0.①
又AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为4-00-2=-2,
所以AB的中垂线方程为y-2=12(x-1),即x-2y+3=0,联立方程x-2y+3=0,x-y+2=0,解得x=-1,y=1,
所以△ABC的外心为(-1,1).
则有(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理可得m2+n2+2m-2n=8.②
由①②可得,m=-4,n=0或m=0,n=4,
当m=0,n=4时,点B,C重合,舍去,
故顶点C的坐标是(-4,0).
答案(-4,0)
15.已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为　　　　　. 
解析因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离d=81+3=4,
由|AB|=2r2-d2可得6=2r2-42,解得r=5.
答案5
16.已知m∈R,动直线l1:x+my-2=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B,若l1与l2交于点P(异于点A,B),则|PA|+|PB|的最大值为　　　　　. 
解析l1:x+my-2=0可变形为(x-2)+my=0,令y=0,则x=2,
故动直线l1:x+my-2=0过定点A(2,0).
l2:mx-y-2m+3=0可变形为m(x-2)-(y-3)=0,令x=2,则y=3,
故动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B(2,3).
又1·m+m·(-1)=0,所以直线l1与直线l2垂直,则有PA⊥PB,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=9,
所以|PA|+|PB|22≤|PA|2+|PB|22=92,
即|PA|+|PB|≤32,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立.所以|PA|+|PB|的最大值为32.
答案32
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知直线l经过两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点P.
(1)求垂直于直线l3:x-2y-1=0的直线l的方程;
(2)求与坐标轴相交于两点,且以P为中点的直线方程.
解(1)由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,得x=-2,y=2,故P(-2,2).
∵l垂直于l3:x-2y-1=0,∴l的斜率为-2,
∴l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0.
(2)设过点P(-2,2)的直线l与x轴交于点A(a,0),与y轴交于点B(0,b),
由题意可知,P为A,B中点,
则有a+02=-2,b+02=2,解得a=-4,b=4,
则A(-4,0),B(0,4),
故l的斜率为k=4-00-(-4)=1,
则所求直线的方程为y-2=x+2,即x-y+4=0.
18.

(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,边AB所在直线方程为2x-y-2=0,点C(2,0),|BC|=1,B为第一象限内的点.
(1)求点B的坐标;
(2)求AB边上的高CE所在直线的方程;
(3)求直线AB与直线CD之间的距离.
解(1)设B(a,2a-2),∵C(2,0),|BC|=1,
∴(a-2)2+(2a-2)2=1,解得a=1或a=75.
∵B为第一象限点,∴2a-2>0,即a>1.
∴a=75,则B75,45.
(2)∵边AB所在直线方程为2x-y-2=0,
∴kCE=-1kAB=-12.
又CE经过点C(2,0),
∴AB边上的高CE所在直线的方程为y=-12(x-2),即x+2y-2=0.
(3)∵AB∥CD,∴kCD=kAB=2.
∵点C(2,0),
∴直线CD的方程为y=2(x-2),即2x-y-4=0.
又AB所在直线方程为2x-y-2=0,则直线AB与直线CD之间的距离d=|-4-(-2)|5=255.
19.(12分)

(2020陕西咸阳期末)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的长为3,宽为2,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,O为坐标原点.
(1)求OB所在直线的方程.
(2)线段AB上是否存在一点P,使得CP⊥OP?若存在,求出线段AP的长度;若不存在,请说明理由.
解(1)由题意可知O(0,0),B(2,3),C(0,3),
所以OB所在直线的斜率为3-02-0=32,
所以OB所在直线的方程为y-0=32(x-0),
即3x-2y=0.
(2)不存在点P,使得CP⊥OP,理由如下:
假设线段AB上存在点P(2,a)(0≤a≤3),使得CP⊥OP,
显然直线CP与直线OP都存在斜率,分别记作kCP,kOP,
所以kCP·kOP=-1,
所以kCP=a-32-0=a-32,kOP=a-02-0=a2,
所以a-32·a2=-1,即a2-3a+4=0,
则Δ=(-3)2-4×4<0,故方程无解,
所以线段AB上不存在点P,使得CP⊥OP.
20.(12分)(2020山西太原期中)已知圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0,圆N:x2+y2+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上.
(1)求圆M的方程;
(2)证明圆M和圆N相交,并求两圆公共弦的长度l.
(1)解圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0的圆心M(a,-5a),因为圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上,
所以直线x+y+4=0经过点M,可得a-5a+4=0,解得a=1,则圆M的方程为x2+y2-2x+10y-24=0.
(2)证明因为圆M的圆心M(1,-5),半径r1=52,
圆N的圆心N(-1,-1),半径r2=10,
|MN|=(1+1)2+(-5+1)2=25.
因为52-10<25<52+10,
所以圆M和圆N相交.
由x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0,两式相减可得公共弦的直线方程为x-2y+4=0,
M到直线的距离为d=|1+10+4|5=35,
所以l22=r12-d2=50-45=5,解得l=25,
则两圆公共弦的长度l=25.
21.(12分)(2020湖北襄阳质检)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=43.

(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
解(1)如图,以OC,OA为x,y轴建立平面直角坐标系,则C(170,0),A(0,60).

由题意直线BC的斜率kBC=-43,直线BC方程为y=-43(x-170).
又直线AB的斜率kAB=-1kBC=34,故直线AB方程为y=34x+60,
由y=-43(x-170),y=34x+60,解得x=80,y=120,即B(80,120),
所以|BC|=(80-170)2+1202=150,故新桥BC的长为150m.
(2)设OM=t,即M(0,t)(0≤t≤60),由(1)知直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,
圆M的半径为r=|3t-680|5,
由于0≤t≤60,因此r=|3t-680|5=680-3t5=136-35t,
由题意可知r-t≥80,r-(60-t)≥80,
即136-35t-t≥80,136-35t-(60-t)≥80,解得10≤t≤35,
所以当t=10时,r取得最大值130,此时圆面积最大.
故当OM长10m时,圆形保护区的面积最大.
22.(12分)(2020浙江杭州期末)如图,已知圆O:x2+y2=1,点P(t,4)为直线y=4上一点,过点P作圆O的切线,切点分别为M,N.

(1)已知t=1,求切线的方程.
(2)直线MN是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
(3)若t>1,两条切线分别交y轴于点A,B,记四边形PMON面积为S1,三角形PAB面积为S2,求S1·S2的最小值.
解(1)当切线斜率不存在时,有切线x=1,即x-1=0;
当切线斜率存在时,设切线:y-4=k(x-1),
即kx-y-k+4=0,
可得|4-k|k2+1=1,解得k=158,
故切线方程为15x-8y+17=0.
综上,切线方程为x-1=0,15x-8y+17=0.
(2)是.M,N在以点P为圆心,切线长PM为半径的圆上,
即在圆P:(x-t)2+(y-4)2=t2+15上.
联立(x-t)2+(y-4)2=t2+15,x2+y2=1,得tx+4y-1=0,
所以直线MN:tx+4y-1=0过定点0,14.
(3)S1=2S△PMO=2×12|PM|·|OM|=t2+15.
设直线PM:y-4=k1(x-t),
直线PN:y-4=k2(x-t).
得A(0,4-k1t),B(0,4-k2t),
∴|AB|=|k1-k2|t,
S2=12|AB|·t=12|k1-k2|·t2.
切线统一记为y-4=k(x-t),即kx-y-kt+4=0,
可得|4-kt|k2+1=1,即(t2-1)k2-8tk+15=0,则方程的两根为k1,k2,
所以|k1-k2|=(k1+k2)2-4k1k2=2t2+15t2-1.
所以S2=t2+15·t2t2-1,
则S1·S2=t2(t2+15)t2-1(t>1),
记m=t2-1,则S1·S2=(m+1)(m+16)m=m+16m+17≥2m·16m+17=25,
当且仅当m=4,即t=5时,等号成立.
故(S1·S2)min=25.