高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程课后测评

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第二章 直线和圆的方程
章末复习课

回顾本章学习过程、建构“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”之间的联系.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点训练一　直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率是直线方程中最基本的两个概念,它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.
(1)倾斜角的范围是[0,π).
(2)倾斜角与斜率的对应关系:
①当α≠90°时,k=tan α;
②当α=90°时,斜率不存在.
(3)斜率公式:经过A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k=(x1≠x2),应用时注意其适用的条件x1≠x2,当x1=x2时,直线的斜率不存在.
1.过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则a等于 (　　)
A.-8 B.10 C.2 D.4
解析:因为过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,所以有=-,所以a=10.
答案:B
2.直线x+y+1=0的倾斜角的大小为 (　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:由直线方程x+y+1=0,可知直线的斜率k=-.设直线的倾斜角为α,则tan α=-.因为α∈[0,π),所以α=120°.
答案:C
3.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k满足 (　　)
A.k≥或k≤-4 B.k≥或k≤-1
C.-4≤k≤ D.≤k≤4
解析:如图所示,过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C,作直线PA,PB.当直线l与线段AB的交点在线段AC (不含点C)上时,直线l的倾斜角为钝角,斜率k的范围是k≤kPA.当直线l与线段AB的交点在线段BC (不含点C)上时,直线l的倾斜角为锐角,斜率k的范围是k≥kPB.
因为kPA==-4,kPB==,
所以直线l的斜率k满足k≥或k≤-4.

答案:A
4.若 A(3,1),B(-2,b),C(8,11) 三点在同一直线上,则实数 b=-9.
解析:因为A(3,1),B(-2,b),C(8,11)三点在同一直线上,所以kAB=kAC,即=,解得b=-9.
要点训练二　距离问题
距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离,牢记各类距离公式并能直接应用.解决距离问题时,往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.
1.直线l过点P(1,2),且M(2,3),N(4,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程是 (　　)
A.4x+y-6=0
B.x+4y-6=0
C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0
D.2x+3y-7=0或x+4y-6=0
解析:由条件可知直线l平行于直线MN或过线段MN的中点,MN的斜率为=-4.
当直线l∥MN时,l的方程是y-2=-4(x-1),
即4x+y-6=0.
当直线l经过线段MN的中点(3,-1)时,l的斜率为=-,
l的方程是y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0.
综上所述,直线l的方程为3x+2y-7=0或4x+y-6=0.
答案:C
2.从点A(1,-2)射出的光线经直线l:x+y-3=0反射后到达点B(-1,1),则光线所经过的路程是 (　　)
A. B. C.2 D.
解析:设点A(1,-2)关于直线l:x+y-3=0的对称点的坐标为A'(x0,y0),则
解得所以点A(1,-2)关于直线l:x+y-3=0的对称点的坐标为A'(5,2).所以光线所经过的路程|A'B|==.
答案:D
3.(2020全国卷Ⅲ)点(0,-1)到直线y=k(x+1) 距离的最大值为 (　　)
A.1 B. C. D.2
解析:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d===.
因为要求距离的最大值,故需k>0.
因为k2+1≥2k,当且仅当k=1时等号成立,
所以d≤=,当k=1时等号成立.
故选B.
答案:B
4.若点M(m,n)为直线l:3x+4y+2=0上的动点,则m2+n2的最小值为.
解析:由题意知m2+n2的最小值表示:直线l:3x+4y+2=0上的点M(m,n)到点(0,0)的最短距离的平方.
因为点(0,0)到直线l:3x+4y+2=0的距离为=,所以m2+n2的最小值为.
要点训练三　直线的方程
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法,要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化,能根据条件灵活选用方程,当不能确定某种条件是否具备时,要另行讨论条件不满足的情况.
(2)运用直线系方程的主要目的是使计算简捷.
1.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线所在直线的方程为y=x+1,则直线AC的方程为 (　　)
A.y=2x+4 B.y=x-3
C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0
解析:设点A(3,1)关于直线y=x+1的对称点为A'(x1,y1),则解得即A'(0,4).所以直线A'B的方程为2x-y+4=0.联立 解得即C(-3,-2).所以直线AC的方程为x-2y-1=0.
答案:C
2.直线mx-y-m+2=0过定点A,若直线l过点A且与直线2x+y-2=0平行,则直线l的方程为 (　　)
A.2x+y-4=0 B.2x+y+4=0
C.x-2y+3=0 D.x-2y-3=0
解析:由mx-y-m+2=0,得y-2=m(x-1),所以直线mx-y-m+2=0过定点A(1,2).又因为直线2x+y-2=0的斜率k=-2,且与直线l平行,所以直线l的斜率为-2,所以直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
答案:A
3.经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是x+y=2或x-y=0.
解析:当直线不过原点时,设直线的方程为x+y=a.把点A(1,1)代入可得1+1=a,即a=2,此时直线的方程为x+y=2.
当直线过原点时,直线的方程为y=x,即x-y=0.
综上可得,满足条件的直线方程为x+y=2或x-y=0.
4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,0),B(4,6),C(0,8),则BC边上的高所在直线的一般方程为2x-y-6=0.
解析:BC边所在直线的斜率kBC==-,所以BC边上的高所在直线的斜率k=2,
所以BC边上的高所在直线的方程为y=2(x-3),
化为一般式方程为2x-y-6=0.
要点训练四　圆的方程
(1)求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等,运用待定系数法时,要充分利用题目中提供的三个条件来确定三个独立的参数;使用几何法时,要充分利用圆的有关性质,如垂径定理、“半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形”等.
(2)如果已知条件容易求得圆心坐标、半径,则一般选用圆的标准方程,否则选用圆的一般方程.
1.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 (　　)
A.(x-3)2+y2=2 B.(x-3)2+y2=4
C.(x+3)2+y2=2 D.(x+3)2+y2=4
解析:设圆心C(a,b).因为直线x-y-1=0与圆C相切于点B(2,1),所以斜率kBC==-1,即a+b-3=0.因为AB所在直线为y=1,所以圆心C满足直线x=3,即a=3,所以b=0,所以半径r==,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
答案:A
2.已知过点(2,2)的圆C的圆心在直线x-y=0上,且与直线x+y=0相切,则圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=2.
解析:根据圆C的圆心在直线x-y=0上,可设圆C的圆心为(a,a),半径为r.由圆C过点(2,2)且与直线x+y=0相切,得r2=(2-a)2+(2-a)2=,解得a=1,
所以圆心的坐标为(1,1),
所以r2=(2-1)2+(2-1)2=2,
所以圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
3.(1)已知圆M经过A(2,-3)和B(-2,-5)两点,若圆心在直线x-2y-3=0上,求圆M的标准方程;
(2)求过点A(-1,0),B(3,0)和C(0,1)的圆N的一般方程.
解:(1)由点A(2,-3)和点B(-2,-5)可得线段AB的中点坐标为(0,-4),其所在直线的斜率kAB==.所以线段AB的垂直平分线的方程为y+4=-2(x-0),即2x+y+4=0.
所以得即圆M的圆心坐标为(-1,-2).
所以半径r==.
所以圆M的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
(2)设圆N的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆N过点A(-1,0),B(3,0)和C(0,1),
所以解得
所以圆N的一般方程为x2+y2-2x+2y-3=0.
要点训练五　直线与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系,一般用代数法或几何法,为避免烦琐的运算,最好用几何法,其解题思路是:先求出圆心到直线的距离d,然后比较所求距离d与半径r的大小关系,进而判断直线和圆的位置关系.
1.直线x+y-2=0被圆(x-1)2+y2=1截得的线段的长为 (　　)
A.1 B. C. D.2
解析:由题意,知圆心坐标为(1,0),半径r=1,则圆心到直线的距离d==,
所以截得的线段长为2=.
答案:C
2.已知圆C:x2+y2-4x=0与直线l相切于点P(1,),则直线l的方程为 (　　)
A.x-y+2=0 B.x-y+4=0
C.x+y-4=0 D.x+y-2=0
解析:圆C的方程x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4,显然过点P(1,)的直线x=1不与圆C相切.因为过点P和圆心的直线斜率为=-,所以直线l的斜率为,利用直线的点斜式方程,可得y-=(x-1),整理得x-y+2=0.
答案:A
3.已知直线l经过坐标原点,且与圆x2+y2-4x+3=0相切,切点在第四象限,则直线l的方程为x+y=0.
解析:由题意,知直线l的斜率存在.不妨设过原点的直线l的方程为y=kx.把y=kx代入圆的方程,整理得(1+k2)x2-4x+3=0.由Δ=0,解得k=-.所以直线l的方程为x+y=0.
4.已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2,求圆C的方程.
解:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
由圆C与y轴相切,得|a|=r. ①
因为圆心在直线x-3y=0上,所以a-3b=0. ②
因为圆心C(a,b)到直线y=x的距离d=,
所以+()2=r2. ③
联立①②③,得方程组
解得
故圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
要点训练六　圆与圆的位置关系
两个不相等的圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,其判断方法有两种:代数法(解两圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r,R的和或差的大小关系来判断).
(1)求相交两圆的公共弦长时,可先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.
(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
1.圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是 (　　)
A.内切 B.外离 C.外切 D.相交
解析:由题意可得,两圆方程分别为x2+y2=1,(x-2)2+(y+1)2=9,所以两圆圆心分别为(0,0),(2,-1),半径分别为r1=1,r2=3,
所以圆心距d==.
因为|r1-r2|< 答案:D
2.已知圆C1的圆心在x轴上,半径为1,且过点(2,-1),圆C2:(x-4)2+(y-2)2=10,则圆C1,C2的公共弦长为 (　　)
A. B.3 C. D.2
解析:设圆C1的圆心为(a,0),则其标准方程为(x-a)2+y2=1.
将点(2,-1)代入圆C1的方程,得(2-a)2+(-1)2=1,解得a=2,
故圆C1的方程为(x-2)2+y2=1.
将圆C1,C2的方程作差得其公共弦所在直线的方程为4x+4y-7=0,
所以圆心C1(2,0)到该直线的距离为=,所以公共弦长为2=.
答案:A
3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2mx-8=0(m>0)的公共弦长为2,则m=.
解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2.将x2+y2=4与x2+y2+2mx-8=0相减,得公共弦所在直线的方程为mx-2=0,所以圆心(0,0)到公共弦所在直线的距离为=(m>0),所以22-=,解得m=.
4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.
(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若直线l与圆C2的相交弦长为2且过点(2,1),求直线l的方程.
解:(1)由圆C1:x2+y2=1,得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1.
因为x2+y2-6x+m=0可化为(x-3)2+y2=9-m,
所以圆C2的圆心为C2(3,0),半径r2=.
因为圆C1与圆C2外切,
所以|C1C2|=r1+r2,即3=1+,解得m=5.
(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,圆心C2(3,0),半径r2=2.
由题意可得圆心C2到直线l的距离d==1.
当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;
当直线l斜率为k时,直线方程为y-1=k(x-2),
化为一般方程为kx-y-2k+1=0,
此时圆心C2(3,0)到直线l的距离d==1,
解得k=0,所以直线方程为y=1.
综上所述,直线l的方程为x=2或y=1.
要点训练七　分类讨论思想
由于直线的斜率及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的局限性,在解决直线的斜率、直线与直线的位置关系问题时,常常用到分类讨论思想.
1.已知直线l的方程为ax+2y-a-2=0(a∈R).
(1)若直线l与直线m:2x-y=0垂直,求a的值.
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求该直线的方程.
解:(1)因为直线l与直线m:2x-y=0垂直,
所以-×2=-1,解得a=1.
(2)当a=0时,直线l的方程化为y=1,不满足题意,舍去.
当a≠0时,可得直线l与坐标轴的交点为,.
因为直线l在两坐标轴上的截距相等,
所以=,解得a=±2.
所以该直线的方程为x-y=0或x+y-2=0.
2.在平面直角坐标系中,已知直线l过点(1,1).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为,求直线l的方程.
解:(1)①若直线l过原点,则直线l的方程为y=x.
②若直线l不过原点,设直线l的方程为+=1(a≠0),
将点(1,1)的坐标代入,得+=1,解得a=2,
此时直线l的方程为x+y-2=0.
综上所述,直线l的方程为y=x或x+y-2=0.
(2)由题意,知直线l的斜率存在且不为0,所以可设直线l的方程为y=k(x-1)+1(k≠0),
可得直线l与坐标轴的交点坐标为(0,1-k),,
所以×|1-k|×=,解得k=2或k=.
所以直线l的方程为y=2x-1或y=x+.
要点训练八　转化与化归思想
转化与化归思想一般是代数问题几何化,几何问题代数化,在本章中常见的是直线、圆位置关系与方程(组)的转化,最值问题的转化等.
1.已知圆(x-1)2+(y+2)2=1上一点P到直线 3x-4y-3=0的距离为d,则d的最小值为 (　　)
A. B. C.1 D.2
解析:由题意,知圆(x-1)2+(y+2)2=1的圆心为(1,-2),半径r=1.
所以圆心(1,-2)到直线3x-4y-3=0的距离d'==>1.
所以直线3x-4y-3=0与圆(x-1)2+(y+2)2=1外离.
所以圆上的点到直线3x-4y-3=0的距离的最小值为d'-r=-1=.故选A.
答案:A
2.(2020北京)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:如图.设圆心为C(x,y),
则=1,
化简得(x-3)2+(y-4)2=1,
所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,
所以|OC|+1≥|OM|==5,
所以|OC|≥5-1=4,
当且仅当圆心C在线段OM上时取得等号,故选A.

答案:A
3.若实数x,y满足(x-3)2+y2=,则的最小值为 (　　)
A. B.1 C. D.2
解析:如图.设P(x,y)为圆(x-3)2+y2=上的任意一点,则点P到直线x-y=0的距离|PM|==,点P到原点的距离|OP|=,
所以==2sin∠POM.
设圆(x-3)2+y2=与直线y=kx相切,则=,解得k=或k=-.
由此可知∠POM的最小值为30°,
故的最小值为2sin 30°=1.故选B.

答案:B