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人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示测试题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示测试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，若，则实数，的值为（ ）
A．B．C．4D．
2.若向量，，则（ ）
A．B．5C．D．6
3.已知向量则（ ）
A．B．C．D．5
4.已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．3
5.若向量，，则与一定满足（ ）.
A．B．C．D．
6.已知向量，向量与向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．
7.已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8.在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.向量，，则的值可以是（ ）
A．2B．C．4D．
10.下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，，若，则
B．单位向量，，则
C．若点为的重心，则
D．若，则
11.已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则
C．若，则D．若，则与的夹角为
12.设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.已知向量，，则______，的单位向量为______．
14.已知平面向量，，满足||＝||=1，=，，则与的夹角为__________；等于________．
15.已知，，为坐标原点，若对任意实数，都成立，则实数的最小值为___________.
16.已知向量，，且，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
18.（12分）已知O为坐标原点，，，，则在线段OC上是否存在点M，使得若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
19.（12分）
已知向量，.①，共线，②.
（1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x的值；
（2）当时，求与夹角θ的余弦值.
20.（12分）
已知向量，，，设
（1）若，求函数的最大值和最小值；
（2）若，且，求的值．
21.（12分）
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若是单位向量，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．
22.（12分）
已知向量，，函数，
（1）当时，求函数的值；
（2）若不等式对所有恒成立.求实数的范围.
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
-----专项检测
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，若，则实数，的值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【分析】
由向量垂直的坐标表示求解即可
【详解】因为，，
所以，解得，故选：C
2.若向量，，则（ ）
A．B．5C．D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件求出，再借助向量模的坐标表示计算即得.
【详解】因向量，，则，
所以.故选：B
3.已知向量则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】利用向量的坐标运算可得，即得.
【详解】∵向量∴，
∴.故选：B.
4.已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．3
【答案】A
【分析】设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，列方程组，能求出λ的值．
解：设＝（x，y），∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，
∴，解得λ＝．故选：A．
5.若向量，，则与一定满足（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由向量平行、垂直的条件，向量的模计算分析判断即可
【详解】
对于A，因为不一定成立，所以与不一定平行，所以A错误，
对于B，因为不一定成立，所以与不一定垂直，所以B错误，
对于C，因为，，所以C错误，
对于D，因为，，所以，所以 ，所以D正确，
故选：D
6.已知向量，向量与向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【分析】先求出，再利用平面向量数量积的定义求出.
解：，，
由平面向量数量积的定义可得，解得，故选：B.
7.已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.
【详解】因为，所以，，，因为，所以，
设，，，，，
所以，即，
所以点在以为圆心，半径的圆上，
表示圆上的点与定点的距离，
所以的最小值为，故选：D.
8.在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，结合向量的坐标运算得出当时，取得最小值，再由数量积运算得出向量与夹角的余弦值.
【详解】以的中点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系
，设
，当时，取得最小值为
此时，故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.向量，，则的值可以是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】ABC
【分析】
利用公式表达出，利用三角函数恒等变换，求出的范围，进而求出结果.
【详解】
，所以，因为，所以，，显然ABC均满足题意.
故选：ABC
10.下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，，若，则
B．单位向量，，则
C．若点为的重心，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据平面向量平行、模的坐标表示判断AB选项的正确性，利用向量运算、向量共线的知识判断CD选项的正确性.
【详解】A选项，由于，所以，A错误.
B选项，，B正确.
C选项，依题意是三角形的重心，设是的中点，连接，三点共线，如图所示，则，所以，C正确.
D选项，时就不行，D错误.
故选：AD
11.已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则
C．若，则D．若，则与的夹角为
【答案】BC
【分析】
利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m，即可判断A、B的正误；由m的值写出的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求、与的夹角，即可判断C、D正误.
【详解】
A：与垂直，则，可得，故错误；
B：，则，可得，故正确；
C：有，则，可得，故正确；
D：时，有，所以，即与的夹角不为，故错误.
故选：BC
12.设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由题设不等式恒成立，得出或，然后根据所在区域内点判断各选项．
【详解】
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，
则，，，
由得，，
对任意，恒成立，则，即或，
此时（当时取得），A正确；
若，则，，B错；
（时等号成立），C正确；
例如点坐标是时， ，，D错，
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.已知向量，，则______，的单位向量为______．
【答案】5
【分析】
利用线性运算的坐标表示求出，即可求出和的单位向量.
【详解】因为，，所以，所以.
的单位向量为.故答案为：5；.
14.已知平面向量，，满足||＝||=1，=，，则与的夹角为__________；等于________．
【答案】
【分析】把=平方求得，然后由数量积定义求得夹角，然后设，，，由数量积的坐标表示求得，再由向量模的坐标运算计算．
【详解】由=得，，
而，所以，设，，，由，解得，
所以．故答案为：；．
15.已知，，为坐标原点，若对任意实数，都成立，则实数的最小值为___________.
【答案】
【分析】
利用向量模的坐标表示求得，由进行化简，由此列不等式组，解不等式组求得的最小值.
【详解】
根据已知得向量，，.
所以.
由得，
因为，.所以，
所以解得或，结合，得到，
所以实数的最小值为.故答案为：
16.已知向量，，且，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
由题意设，，，由把用表示，由得出满足的关系式，用换元法，设，，
这样可得用表示，从而可得其范围．
【详解】设，，，则，
由得，
，，由得，
设，，由，
因为，所以．故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
【答案】（1）或.（2）.
【分析】（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；
（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.
解：设，因为，所以．①
又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．
（2）
解：由，得，
又，解得，所以，
所以与的夹角.
18.（12分）已知O为坐标原点，，，，则在线段OC上是否存在点M，使得若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】或
【分析】
假设存在点，且,求出的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出,最后求出点坐标.
解：设存在点，且
，,
因为,所以,
有或
或存在或满足题意.
19.（12分）
已知向量，.①，共线，②.
（1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x的值；
（2）当时，求与夹角θ的余弦值.
【答案】（1）选择①，；选择②，；（2）.
【分析】
（1）选择①，根据共线即可得出，解出即可；选择②，先求出，根据即可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；
（2）时，可得出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出．
解：如果选择①，共线，，解得；
如果选择②，，且，，解得.
（2）解：当时，，，，
．
20.（12分）
已知向量，，，设
（1）若，求函数的最大值和最小值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式可得，再利用正弦函数的性质即得；
（2）由题可得，再利用同角关系式及两角和公式即得.
（1）
因为向量，
则函数
，若，则，
所以当，即时，；当，即时，．
（2）由，得，
因为，则，又，所以，
则，
所以．
21.（12分）
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若是单位向量，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．
【答案】（1）或；（2）的最小值为，此时与夹角的余弦值为.
【分析】
（1）设，根据平面向量的模长公式可求得的值，即可得出向量的坐标；
（2）由化简得出，构造函数，利用函数在区间上的单调性求出的最小值，即为的最小值，由此可求得与夹角的余弦值.
【详解】
（1），且，设，
由，得，得，
所以，或；
（2）由，得，
所以，，
，，所以，，可得，
，则函数、均为减函数，
令，则在上单调递减，
可得．即的最小值为．
此时与夹角的余弦值．
22.（12分）
已知向量，，函数，
（1）当时，求函数的值；
（2）若不等式对所有恒成立.求实数的范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标表示化简，将代入即可求解；
（2）将代入，令，则，，将不等式转化为关于的不等式，再分离转化为最值问题即可求解.
【详解】
（1）因为向量，，
，
当时， ，
；
（2）不等式对所有恒成立，
即对所有恒成立，
令，可得，所以，
因为，所以，，
所以
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
因为，所以对于恒成立，
令，，只需，
因为，
当且仅当即时，等号成立取得最小值，
所以，
所以实数的范围为.
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，若，则实数，的值为（ ）
A．B．C．4D．
2.若向量，，则（ ）
A．B．5C．D．6
3.已知向量则（ ）
A．B．C．D．5
4.已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．3
5.若向量，，则与一定满足（ ）.
A．B．C．D．
6.已知向量，向量与向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．
7.已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8.在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.向量，，则的值可以是（ ）
A．2B．C．4D．
10.下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，，若，则
B．单位向量，，则
C．若点为的重心，则
D．若，则
11.已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则
C．若，则D．若，则与的夹角为
12.设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.已知向量，，则______，的单位向量为______．
14.已知平面向量，，满足||＝||=1，=，，则与的夹角为__________；等于________．
15.已知，，为坐标原点，若对任意实数，都成立，则实数的最小值为___________.
16.已知向量，，且，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
18.（12分）已知O为坐标原点，，，，则在线段OC上是否存在点M，使得若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
19.（12分）
已知向量，.①，共线，②.
（1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x的值；
（2）当时，求与夹角θ的余弦值.
20.（12分）
已知向量，，，设
（1）若，求函数的最大值和最小值；
（2）若，且，求的值．
21.（12分）
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若是单位向量，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．
22.（12分）
已知向量，，函数，
（1）当时，求函数的值；
（2）若不等式对所有恒成立.求实数的范围.
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
-----专项检测
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，若，则实数，的值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【分析】
由向量垂直的坐标表示求解即可
【详解】因为，，
所以，解得，故选：C
2.若向量，，则（ ）
A．B．5C．D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件求出，再借助向量模的坐标表示计算即得.
【详解】因向量，，则，
所以.故选：B
3.已知向量则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】利用向量的坐标运算可得，即得.
【详解】∵向量∴，
∴.故选：B.
4.已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．3
【答案】A
【分析】设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，列方程组，能求出λ的值．
解：设＝（x，y），∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，
∴，解得λ＝．故选：A．
5.若向量，，则与一定满足（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由向量平行、垂直的条件，向量的模计算分析判断即可
【详解】
对于A，因为不一定成立，所以与不一定平行，所以A错误，
对于B，因为不一定成立，所以与不一定垂直，所以B错误，
对于C，因为，，所以C错误，
对于D，因为，，所以，所以 ，所以D正确，
故选：D
6.已知向量，向量与向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【分析】先求出，再利用平面向量数量积的定义求出.
解：，，
由平面向量数量积的定义可得，解得，故选：B.
7.已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.
【详解】因为，所以，，，因为，所以，
设，，，，，
所以，即，
所以点在以为圆心，半径的圆上，
表示圆上的点与定点的距离，
所以的最小值为，故选：D.
8.在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，结合向量的坐标运算得出当时，取得最小值，再由数量积运算得出向量与夹角的余弦值.
【详解】以的中点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系
，设
，当时，取得最小值为
此时，故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.向量，，则的值可以是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】ABC
【分析】
利用公式表达出，利用三角函数恒等变换，求出的范围，进而求出结果.
【详解】
，所以，因为，所以，，显然ABC均满足题意.
故选：ABC
10.下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，，若，则
B．单位向量，，则
C．若点为的重心，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据平面向量平行、模的坐标表示判断AB选项的正确性，利用向量运算、向量共线的知识判断CD选项的正确性.
【详解】A选项，由于，所以，A错误.
B选项，，B正确.
C选项，依题意是三角形的重心，设是的中点，连接，三点共线，如图所示，则，所以，C正确.
D选项，时就不行，D错误.
故选：AD
11.已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则
C．若，则D．若，则与的夹角为
【答案】BC
【分析】
利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m，即可判断A、B的正误；由m的值写出的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求、与的夹角，即可判断C、D正误.
【详解】
A：与垂直，则，可得，故错误；
B：，则，可得，故正确；
C：有，则，可得，故正确；
D：时，有，所以，即与的夹角不为，故错误.
故选：BC
12.设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由题设不等式恒成立，得出或，然后根据所在区域内点判断各选项．
【详解】
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，
则，，，
由得，，
对任意，恒成立，则，即或，
此时（当时取得），A正确；
若，则，，B错；
（时等号成立），C正确；
例如点坐标是时， ，，D错，
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.已知向量，，则______，的单位向量为______．
【答案】5
【分析】
利用线性运算的坐标表示求出，即可求出和的单位向量.
【详解】因为，，所以，所以.
的单位向量为.故答案为：5；.
14.已知平面向量，，满足||＝||=1，=，，则与的夹角为__________；等于________．
【答案】
【分析】把=平方求得，然后由数量积定义求得夹角，然后设，，，由数量积的坐标表示求得，再由向量模的坐标运算计算．
【详解】由=得，，
而，所以，设，，，由，解得，
所以．故答案为：；．
15.已知，，为坐标原点，若对任意实数，都成立，则实数的最小值为___________.
【答案】
【分析】
利用向量模的坐标表示求得，由进行化简，由此列不等式组，解不等式组求得的最小值.
【详解】
根据已知得向量，，.
所以.
由得，
因为，.所以，
所以解得或，结合，得到，
所以实数的最小值为.故答案为：
16.已知向量，，且，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
由题意设，，，由把用表示，由得出满足的关系式，用换元法，设，，
这样可得用表示，从而可得其范围．
【详解】设，，，则，
由得，
，，由得，
设，，由，
因为，所以．故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
【答案】（1）或.（2）.
【分析】（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；
（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.
解：设，因为，所以．①
又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．
（2）
解：由，得，
又，解得，所以，
所以与的夹角.
18.（12分）已知O为坐标原点，，，，则在线段OC上是否存在点M，使得若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】或
【分析】
假设存在点，且,求出的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出,最后求出点坐标.
解：设存在点，且
，,
因为,所以,
有或
或存在或满足题意.
19.（12分）
已知向量，.①，共线，②.
（1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x的值；
（2）当时，求与夹角θ的余弦值.
【答案】（1）选择①，；选择②，；（2）.
【分析】
（1）选择①，根据共线即可得出，解出即可；选择②，先求出，根据即可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；
（2）时，可得出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出．
解：如果选择①，共线，，解得；
如果选择②，，且，，解得.
（2）解：当时，，，，
．
20.（12分）
已知向量，，，设
（1）若，求函数的最大值和最小值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式可得，再利用正弦函数的性质即得；
（2）由题可得，再利用同角关系式及两角和公式即得.
（1）
因为向量，
则函数
，若，则，
所以当，即时，；当，即时，．
（2）由，得，
因为，则，又，所以，
则，
所以．
21.（12分）
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若是单位向量，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．
【答案】（1）或；（2）的最小值为，此时与夹角的余弦值为.
【分析】
（1）设，根据平面向量的模长公式可求得的值，即可得出向量的坐标；
（2）由化简得出，构造函数，利用函数在区间上的单调性求出的最小值，即为的最小值，由此可求得与夹角的余弦值.
【详解】
（1），且，设，
由，得，得，
所以，或；
（2）由，得，
所以，，
，，所以，，可得，
，则函数、均为减函数，
令，则在上单调递减，
可得．即的最小值为．
此时与夹角的余弦值．
22.（12分）
已知向量，，函数，
（1）当时，求函数的值；
（2）若不等式对所有恒成立.求实数的范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标表示化简，将代入即可求解；
（2）将代入，令，则，，将不等式转化为关于的不等式，再分离转化为最值问题即可求解.
【详解】
（1）因为向量，，
，
当时， ，
；
（2）不等式对所有恒成立，
即对所有恒成立，
令，可得，所以，
因为，所以，，
所以
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
因为，所以对于恒成立，
令，，只需，
因为，
当且仅当即时，等号成立取得最小值，
所以，
所以实数的范围为.
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