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人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数同步达标检测题
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这是一份人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数同步达标检测题，共22页。试卷主要包含了下列函数为幂函数的是，函数的图像恒过定点，下列幂函数中过点，的偶函数是，幂函数f＝的大致图像为，已知幂函数f＝xα具有如下性质，函数y＝的图像如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
4.4 幂函数
知识点一 幂函数的概念及图像
1．下列函数为幂函数的是( )
①y＝－x2；②y＝xn(n为常数)；③y＝(x－1)3；④y＝；⑤y＝x2＋.
A．①③⑤ B．①④
C．②④ D．只有⑤
2．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝x
D．y＝x－2
3．函数的图像恒过定点( )
A．(1,0) B．(2,1)
C．(0，－1) D．(m＋1,1)
4.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
5．下列说法中错误的序号有________．
①y＝x0的图像是一条直线；
②若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是；
③若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|－2≤x≤2}．
6．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；
②f(x)＝g(x)；③f(x)
7．(多选)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )
A．y＝ B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x2
8．幂函数f(x)＝的大致图像为( )
9．已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有如下性质：f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则f(x)( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
10．函数y＝(m，n∈N*，且m，n互质)的图像如图所示，则( )
A．m，n是奇数，<1
B．m是偶数，n是奇数，>1
C．m是偶数，n是奇数，<1
D．m是奇数，n是偶数，>1
11．已知幂函数y＝ (m∈N*)的图像与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，则m＝________.
知识点三 幂函数的单调性及其应用
12．函数y＝x5在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
13．(多选)已知函数f(x)＝是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列a，b的取值可能为( )
A．a＝1，b＝2 B．a＝－2，b＝1
C．a＝－2，b＝－3 D．a＝3，b＝－2
14．幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
15．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图像关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________.
16．比较下列各题中两个值的大小：
17．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的实数a的取值范围．
18．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
易错点一 条件考虑不全致误
若，则a的取值范围是________．
易错点二 对幂函数的概念理解不清致错
已知函数y＝是幂函数，求实数a的取值范围．
一、单项选择题
1．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C． D．2
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
3．函数y＝的图像是( )
4．下列结论中，正确的是( )
A．幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图像可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
5．当0
C．h(x)>f(x)>g(x) D．h(x)>g(x)>f(x)
6．幂函数y＝，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或2 D．m≠
7．已知幂函数f(x)＝xn的图像过点，且f(a＋1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
8．函数y＝－1的图像关于x轴对称的图像大致是( )
二、多项选择题
9．下列函数不是幂函数的是( )
A．y＝2x3 B．y＝2x2－1
C．y＝ D．y＝
10．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图像恒在直线y＝x的下方，则α的值可以是( )
A．－1 B．2
C． D．0
11．下列比较大小中，正确的是( )
A.0.5>0.5 B．
C． D．(－0.31)4>0.354
12．已知幂函数y＝xα的图像经过点(2,4)，则下列说法正确的是( )
A．该函数为偶函数
B．该函数为奇函数
C．当x>1时，y>1
D.>f(x1≠x2)
三、填空题
13．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＝________，n＝________.
14．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系为________．
15．已知幂函数f(x)的图像过点(9,3)，则函数f的定义域为________．
16．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}(max{a，b}表示a，b中的较大者)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)的最小值为________．
四、解答题
17．已知幂函数f(x)＝)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
18．已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．
19．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
20．已知函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图像经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
4.4 幂函数
知识点一 幂函数的概念及图像
1．下列函数为幂函数的是( )
①y＝－x2；②y＝xn(n为常数)；③y＝(x－1)3；④y＝；⑤y＝x2＋.
A．①③⑤ B．①④
C．②④ D．只有⑤
答案 C
解析 ①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；③y＝(x－1)3的底数是 x－1 而不是x，故不是幂函数；⑤y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显②④是幂函数．
2．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝x
D．y＝x－2
答案 B
解析 ∵函数y＝xα的图像过④⑧部分，∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，∴α<0，故排除A，C.对于B，又x＝2时，y＝，1>>，∴函数y＝的图像经过⑧部分，当x＝时，y＝，1<<2，∴函数y＝的图像经过④部分，∴B符合题意．对于D，当x＝2时，y＝，<，∴排除D.故选B.
3．函数的图像恒过定点( )
A．(1,0) B．(2,1)
C．(0，－1) D．(m＋1,1)
答案 B
解析 ∵所有的幂函数都过定点(1,1)，∴当x－1＝1时，即x＝2时，f(2)＝1，则f(x)恒过定点(2,1)．
4.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
答案 B
解析 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图像当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
5．下列说法中错误的序号有________．
①y＝x0的图像是一条直线；
②若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是；
③若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|－2≤x≤2}．
答案 ①②③
解析 y＝x0的图像是直线y＝1上去掉点(0,1)，①错误；若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是，②错误；若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域也可能是{x|0≤x≤2}，③错误．所以说法错误的有①②③.
6．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；
②f(x)＝g(x)；③f(x)
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图像，如图所示．
由图像知：
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0,1)时，f(x)
7．(多选)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )
A．y＝ B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x2
答案 BD
解析 偶函数为B，C，D，但过(0,0)，(1,1)的是B，D.
8．幂函数f(x)＝的大致图像为( )
答案 B
解析 f(x)＝，∵x∈R，f(－x)＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且在第一象限单调递增，故选B.
9．已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有如下性质：f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则f(x)( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
答案 B
解析 已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有性质f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则12α＋(－1)2α＝2[1α＋(－1)α－1]，即1＋1＝2[1＋(－1)α－1]，所以(－1)α＝1，故α为偶数．由幂函数的图像和性质可知，函数f(x)是偶函数．
10．函数y＝(m，n∈N*，且m，n互质)的图像如图所示，则( )
A．m，n是奇数，<1
B．m是偶数，n是奇数，>1
C．m是偶数，n是奇数，<1
D．m是奇数，n是偶数，>1
答案 C
解析 由图像可知y＝是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数．又当x∈(1，＋∞)时，y＝的图像在y＝x的图像下方，故<1.
11．已知幂函数y＝ (m∈N*)的图像与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，则m＝________.
答案 2
解析 ∵幂函数y＝(m∈N*)的图像与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，∴该幂函数为奇函数，∴m2－2m－3<0且m2－2m－3为奇数，即－1
12．函数y＝x5在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
答案 A
解析 由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x5在(0,1]上是增函数．设f(x)＝x5，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，所以f(x)＝x5是奇函数．因为奇函数的图像关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝x5也是增函数．当x＝0时，y＝0，故y＝x5在[－1,1]上是增函数且是奇函数．
13．(多选)已知函数f(x)＝是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列a，b的取值可能为( )
A．a＝1，b＝2 B．a＝－2，b＝1
C．a＝－2，b＝－3 D．a＝3，b＝－2
答案 BC
解析 由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意得函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且为奇函数．结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，所以a＋b<0.结合选项，可知选BC.
14．幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
答案 (－∞，0) (0，＋∞)
解析 设f(x)＝xα，由2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
15．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图像关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________.
答案 1
解析 因为幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图像关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，所以m＝1.
16．比较下列各题中两个值的大小：
解 (1)∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
又>，∴
(2)∵y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.3，
∴
(3)∵
函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，>，
∴
(4)由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又0.30.6<0.30.4，∴0.20.6<0.30.4.
17．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的实数a的取值范围．
解 (1)由题可知，函数在R上单调递增，
∴9－3m>0，解得m<3.
又m∈N＋，∴m＝1,2.
又函数图像关于原点对称，
∴9－3m为奇数，故m＝2.
∴f(x)＝x3.
(2)∵f(a＋1)＋f(3a－4)<0，
∴f(a＋1)<－f(3a－4)．
∵f(x)为奇函数，∴f(a＋1)
∴a<，即实数a的取值范围为.
18．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解 (1)∵f(x)为幂函数，∴(m－1)2＝1，
∴m＝0或2.
当m＝0时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意，舍去．
∴m＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝x2.
∵f(x)，g(x)在[1,2]上单调递增，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．
∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴解得0≤k≤1.
故实数k的取值范围为[0,1]．
易错点一 条件考虑不全致误
若，则a的取值范围是________．
易错分析 由幂函数y＝为增函数，直接得a＋1<3－2a，解得a的取值范围，未考虑到y＝x本身的定义域条件限制导致错误．
答案
正解 由y＝的单调性及定义域知，0≤a＋1<3－2a，解得－1≤a<.
易错点二 对幂函数的概念理解不清致错
已知函数y＝是幂函数，求实数a的取值范围．
易错分析 对幂函数的概念理解不清，易错解为指数有意义，有1－a2≠0，即a≠±1，所以实数a的取值范围是{a|a≠±1}，未考虑a2＋1＝1导致错误．
正解 根据幂函数y＝xα(α为常数)的定义，知a2＋1＝1，即a＝0，此时指数有意义，所以实数a的取值范围为{0}．
一、单项选择题
1．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C． D．2
答案 A
解析 由已知得k＝1，f(x)＝xα，∴f＝，即α＝，∴α＝－，∴k＋α＝1－＝，选A.
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
答案 A
解析 当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当α＝时，函数y＝的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.
3．函数y＝的图像是( )
答案 B
解析 y＝是幂函数，过点(1,1)．当0＜x＜1时，＞x，当x＞1时，＜x.故选B.
4．下列结论中，正确的是( )
A．幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图像可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
答案 C
解析 当α＝－1时，幂函数不过原点，A错误；幂函数的图像不可能出现在第四象限，B错误；y＝x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，在其整个定义域上不具有单调性，D错误，所以选C.
5．当0
C．h(x)>f(x)>g(x) D．h(x)>g(x)>f(x)
答案 D
解析 分别作出f(x)，g(x)，h(x)的大致图像如图所示，可知h(x)>g(x)>f(x)．故选D.
6．幂函数y＝，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或2 D．m≠
答案 A
解析 ∵y＝为幂函数．∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又当x∈(0，＋∞)时，y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为减函数，∴m2－2m－3<0，解得－1
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案 B
解析 因为幂函数f(x)＝xn的图像过点，所以2n＝，即2n＝2－2，解得n＝－2.因此f(x)＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)2，解得a<－3或a>1.故选B.
8．函数y＝－1的图像关于x轴对称的图像大致是( )
答案 B
解析 函数y＝－1的图像由幂函数y＝的图像沿y轴向下平移一个单位长度得到，则函数y＝－1过点(0，－1)，(1,0)且单调递增，则函数关于x轴对称的函数的图像一定过点(0,1)，(1,0)且单调递减，故大致图像如B所示．
二、多项选择题
9．下列函数不是幂函数的是( )
A．y＝2x3 B．y＝2x2－1
C．y＝ D．y＝
答案 ABD
解析 y＝2x3中，x3的系数不是1，故A不是幂函数；y＝2x2－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝x－1是幂函数；y＝＝3x－2中x－2的系数不是1，故D不是幂函数．
10．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图像恒在直线y＝x的下方，则α的值可以是( )
A．－1 B．2
C． D．0
答案 ACD
解析 由幂函数的图像特征知α<1.故选ACD.
11．下列比较大小中，正确的是( )
A.0.5>0.5 B．
C． D．(－0.31)4>0.354
答案 AC
解析 对于A，∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且>，∴0.5>0.5，故A正确；对于B，∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，且<，∴，故B错误；对于C，∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，∴，故C正确；对于D，∵y＝x4为R上的偶函数，∴(－0.31)4＝0.314.又函数y＝x4在[0，＋∞)上是增函数，且0.31<0.35，∴0.314<0.354，即(－0.31)4<0.354，故D错误．故选AC.
12．已知幂函数y＝xα的图像经过点(2,4)，则下列说法正确的是( )
A．该函数为偶函数
B．该函数为奇函数
C．当x>1时，y>1
D.>f(x1≠x2)
答案 ACD
解析 ∵y＝xα的图像经过点(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴y＝x2，该函数为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴当x>1时，y>1.幂函数y＝x2在[0，＋∞)上的大致图像如图所示．设A(x1，0)，C(x2，0)，其中0
AB＝f(x1)，CD＝f(x2)，EF＝，EG＝f，由图易知EF>EG，即>f，同理可证，当x1f也成立．
三、填空题
13．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＝________，n＝________.
答案 1 2
解析 ∵y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，
∴m＝1,2n－4＝0，即m＝1，n＝2.
14．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系为________．
答案 a>b>c
解析 y＝是幂函数，在[0，＋∞)上递增．
∴>>0>(－2)3，∴a>b>c.
15．已知幂函数f(x)的图像过点(9,3)，则函数f的定义域为________．
答案 (0,1]
解析 令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，故f(x)＝＝，令－1≥0，得0
答案 1
解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2与y＝x－2的图像，如图所示，则
f(x)＝
∴f(x)在x＝－1与x＝1处均取得最小值1，即f(x)min＝1.
四、解答题
17．已知幂函数f(x)＝)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
解 由f(x)＝ (m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)<0，所以m<2.因为m∈N，所以m＝0或1，因为f(x)是偶函数，所以只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝.
18．已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
解 (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，
即m2－2m－3<0，依据函数y＝m2－2m－3的图像，
解得－1
当m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，
则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1.
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)最小>2，且x∈R.
又g(x)最小＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
20．已知函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图像经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 (1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增．
(2)∵该函数图像过点(2，)，∴＝，
∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*)．
由f(2－a)>f(a－1)，得
解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
4.4 幂函数
知识点一 幂函数的概念及图像
1．下列函数为幂函数的是( )
①y＝－x2；②y＝xn(n为常数)；③y＝(x－1)3；④y＝；⑤y＝x2＋.
A．①③⑤ B．①④
C．②④ D．只有⑤
2．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝x
D．y＝x－2
3．函数的图像恒过定点( )
A．(1,0) B．(2,1)
C．(0，－1) D．(m＋1,1)
4.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
5．下列说法中错误的序号有________．
①y＝x0的图像是一条直线；
②若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是；
③若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|－2≤x≤2}．
6．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；
②f(x)＝g(x)；③f(x)
7．(多选)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )
A．y＝ B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x2
8．幂函数f(x)＝的大致图像为( )
9．已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有如下性质：f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则f(x)( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
10．函数y＝(m，n∈N*，且m，n互质)的图像如图所示，则( )
A．m，n是奇数，<1
B．m是偶数，n是奇数，>1
C．m是偶数，n是奇数，<1
D．m是奇数，n是偶数，>1
11．已知幂函数y＝ (m∈N*)的图像与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，则m＝________.
知识点三 幂函数的单调性及其应用
12．函数y＝x5在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
13．(多选)已知函数f(x)＝是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列a，b的取值可能为( )
A．a＝1，b＝2 B．a＝－2，b＝1
C．a＝－2，b＝－3 D．a＝3，b＝－2
14．幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
15．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图像关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________.
16．比较下列各题中两个值的大小：
17．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的实数a的取值范围．
18．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
易错点一 条件考虑不全致误
若，则a的取值范围是________．
易错点二 对幂函数的概念理解不清致错
已知函数y＝是幂函数，求实数a的取值范围．
一、单项选择题
1．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C． D．2
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
3．函数y＝的图像是( )
4．下列结论中，正确的是( )
A．幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图像可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
5．当0
C．h(x)>f(x)>g(x) D．h(x)>g(x)>f(x)
6．幂函数y＝，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或2 D．m≠
7．已知幂函数f(x)＝xn的图像过点，且f(a＋1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
8．函数y＝－1的图像关于x轴对称的图像大致是( )
二、多项选择题
9．下列函数不是幂函数的是( )
A．y＝2x3 B．y＝2x2－1
C．y＝ D．y＝
10．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图像恒在直线y＝x的下方，则α的值可以是( )
A．－1 B．2
C． D．0
11．下列比较大小中，正确的是( )
A.0.5>0.5 B．
C． D．(－0.31)4>0.354
12．已知幂函数y＝xα的图像经过点(2,4)，则下列说法正确的是( )
A．该函数为偶函数
B．该函数为奇函数
C．当x>1时，y>1
D.>f(x1≠x2)
三、填空题
13．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＝________，n＝________.
14．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系为________．
15．已知幂函数f(x)的图像过点(9,3)，则函数f的定义域为________．
16．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}(max{a，b}表示a，b中的较大者)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)的最小值为________．
四、解答题
17．已知幂函数f(x)＝)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
18．已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．
19．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
20．已知函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图像经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
4.4 幂函数
知识点一 幂函数的概念及图像
1．下列函数为幂函数的是( )
①y＝－x2；②y＝xn(n为常数)；③y＝(x－1)3；④y＝；⑤y＝x2＋.
A．①③⑤ B．①④
C．②④ D．只有⑤
答案 C
解析 ①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；③y＝(x－1)3的底数是 x－1 而不是x，故不是幂函数；⑤y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显②④是幂函数．
2．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝x
D．y＝x－2
答案 B
解析 ∵函数y＝xα的图像过④⑧部分，∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，∴α<0，故排除A，C.对于B，又x＝2时，y＝，1>>，∴函数y＝的图像经过⑧部分，当x＝时，y＝，1<<2，∴函数y＝的图像经过④部分，∴B符合题意．对于D，当x＝2时，y＝，<，∴排除D.故选B.
3．函数的图像恒过定点( )
A．(1,0) B．(2,1)
C．(0，－1) D．(m＋1,1)
答案 B
解析 ∵所有的幂函数都过定点(1,1)，∴当x－1＝1时，即x＝2时，f(2)＝1，则f(x)恒过定点(2,1)．
4.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
答案 B
解析 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图像当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
5．下列说法中错误的序号有________．
①y＝x0的图像是一条直线；
②若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是；
③若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|－2≤x≤2}．
答案 ①②③
解析 y＝x0的图像是直线y＝1上去掉点(0,1)，①错误；若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是，②错误；若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域也可能是{x|0≤x≤2}，③错误．所以说法错误的有①②③.
6．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；
②f(x)＝g(x)；③f(x)
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图像，如图所示．
由图像知：
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0,1)时，f(x)
7．(多选)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )
A．y＝ B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x2
答案 BD
解析 偶函数为B，C，D，但过(0,0)，(1,1)的是B，D.
8．幂函数f(x)＝的大致图像为( )
答案 B
解析 f(x)＝，∵x∈R，f(－x)＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且在第一象限单调递增，故选B.
9．已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有如下性质：f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则f(x)( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数
答案 B
解析 已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有性质f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则12α＋(－1)2α＝2[1α＋(－1)α－1]，即1＋1＝2[1＋(－1)α－1]，所以(－1)α＝1，故α为偶数．由幂函数的图像和性质可知，函数f(x)是偶函数．
10．函数y＝(m，n∈N*，且m，n互质)的图像如图所示，则( )
A．m，n是奇数，<1
B．m是偶数，n是奇数，>1
C．m是偶数，n是奇数，<1
D．m是奇数，n是偶数，>1
答案 C
解析 由图像可知y＝是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数．又当x∈(1，＋∞)时，y＝的图像在y＝x的图像下方，故<1.
11．已知幂函数y＝ (m∈N*)的图像与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，则m＝________.
答案 2
解析 ∵幂函数y＝(m∈N*)的图像与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，∴该幂函数为奇函数，∴m2－2m－3<0且m2－2m－3为奇数，即－1
12．函数y＝x5在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
答案 A
解析 由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x5在(0,1]上是增函数．设f(x)＝x5，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，所以f(x)＝x5是奇函数．因为奇函数的图像关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝x5也是增函数．当x＝0时，y＝0，故y＝x5在[－1,1]上是增函数且是奇函数．
13．(多选)已知函数f(x)＝是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列a，b的取值可能为( )
A．a＝1，b＝2 B．a＝－2，b＝1
C．a＝－2，b＝－3 D．a＝3，b＝－2
答案 BC
解析 由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意得函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且为奇函数．结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，所以a＋b<0.结合选项，可知选BC.
14．幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
答案 (－∞，0) (0，＋∞)
解析 设f(x)＝xα，由2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
15．已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图像关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________.
答案 1
解析 因为幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图像关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，所以m＝1.
16．比较下列各题中两个值的大小：
解 (1)∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
又>，∴
(2)∵y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.3，
∴
(3)∵
函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，>，
∴
(4)由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又0.30.6<0.30.4，∴0.20.6<0.30.4.
17．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的实数a的取值范围．
解 (1)由题可知，函数在R上单调递增，
∴9－3m>0，解得m<3.
又m∈N＋，∴m＝1,2.
又函数图像关于原点对称，
∴9－3m为奇数，故m＝2.
∴f(x)＝x3.
(2)∵f(a＋1)＋f(3a－4)<0，
∴f(a＋1)<－f(3a－4)．
∵f(x)为奇函数，∴f(a＋1)
∴a<，即实数a的取值范围为.
18．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解 (1)∵f(x)为幂函数，∴(m－1)2＝1，
∴m＝0或2.
当m＝0时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意，舍去．
∴m＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝x2.
∵f(x)，g(x)在[1,2]上单调递增，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．
∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴解得0≤k≤1.
故实数k的取值范围为[0,1]．
易错点一 条件考虑不全致误
若，则a的取值范围是________．
易错分析 由幂函数y＝为增函数，直接得a＋1<3－2a，解得a的取值范围，未考虑到y＝x本身的定义域条件限制导致错误．
答案
正解 由y＝的单调性及定义域知，0≤a＋1<3－2a，解得－1≤a<.
易错点二 对幂函数的概念理解不清致错
已知函数y＝是幂函数，求实数a的取值范围．
易错分析 对幂函数的概念理解不清，易错解为指数有意义，有1－a2≠0，即a≠±1，所以实数a的取值范围是{a|a≠±1}，未考虑a2＋1＝1导致错误．
正解 根据幂函数y＝xα(α为常数)的定义，知a2＋1＝1，即a＝0，此时指数有意义，所以实数a的取值范围为{0}．
一、单项选择题
1．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C． D．2
答案 A
解析 由已知得k＝1，f(x)＝xα，∴f＝，即α＝，∴α＝－，∴k＋α＝1－＝，选A.
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
答案 A
解析 当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当α＝时，函数y＝的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.
3．函数y＝的图像是( )
答案 B
解析 y＝是幂函数，过点(1,1)．当0＜x＜1时，＞x，当x＞1时，＜x.故选B.
4．下列结论中，正确的是( )
A．幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图像可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
答案 C
解析 当α＝－1时，幂函数不过原点，A错误；幂函数的图像不可能出现在第四象限，B错误；y＝x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，在其整个定义域上不具有单调性，D错误，所以选C.
5．当0
C．h(x)>f(x)>g(x) D．h(x)>g(x)>f(x)
答案 D
解析 分别作出f(x)，g(x)，h(x)的大致图像如图所示，可知h(x)>g(x)>f(x)．故选D.
6．幂函数y＝，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或2 D．m≠
答案 A
解析 ∵y＝为幂函数．∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又当x∈(0，＋∞)时，y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为减函数，∴m2－2m－3<0，解得－1
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案 B
解析 因为幂函数f(x)＝xn的图像过点，所以2n＝，即2n＝2－2，解得n＝－2.因此f(x)＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)
8．函数y＝－1的图像关于x轴对称的图像大致是( )
答案 B
解析 函数y＝－1的图像由幂函数y＝的图像沿y轴向下平移一个单位长度得到，则函数y＝－1过点(0，－1)，(1,0)且单调递增，则函数关于x轴对称的函数的图像一定过点(0,1)，(1,0)且单调递减，故大致图像如B所示．
二、多项选择题
9．下列函数不是幂函数的是( )
A．y＝2x3 B．y＝2x2－1
C．y＝ D．y＝
答案 ABD
解析 y＝2x3中，x3的系数不是1，故A不是幂函数；y＝2x2－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝x－1是幂函数；y＝＝3x－2中x－2的系数不是1，故D不是幂函数．
10．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图像恒在直线y＝x的下方，则α的值可以是( )
A．－1 B．2
C． D．0
答案 ACD
解析 由幂函数的图像特征知α<1.故选ACD.
11．下列比较大小中，正确的是( )
A.0.5>0.5 B．
C． D．(－0.31)4>0.354
答案 AC
解析 对于A，∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且>，∴0.5>0.5，故A正确；对于B，∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，且<，∴，故B错误；对于C，∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，∴，故C正确；对于D，∵y＝x4为R上的偶函数，∴(－0.31)4＝0.314.又函数y＝x4在[0，＋∞)上是增函数，且0.31<0.35，∴0.314<0.354，即(－0.31)4<0.354，故D错误．故选AC.
12．已知幂函数y＝xα的图像经过点(2,4)，则下列说法正确的是( )
A．该函数为偶函数
B．该函数为奇函数
C．当x>1时，y>1
D.>f(x1≠x2)
答案 ACD
解析 ∵y＝xα的图像经过点(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴y＝x2，该函数为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴当x>1时，y>1.幂函数y＝x2在[0，＋∞)上的大致图像如图所示．设A(x1，0)，C(x2，0)，其中0
AB＝f(x1)，CD＝f(x2)，EF＝，EG＝f，由图易知EF>EG，即>f，同理可证，当x1
三、填空题
13．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＝________，n＝________.
答案 1 2
解析 ∵y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，
∴m＝1,2n－4＝0，即m＝1，n＝2.
14．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系为________．
答案 a>b>c
解析 y＝是幂函数，在[0，＋∞)上递增．
∴>>0>(－2)3，∴a>b>c.
15．已知幂函数f(x)的图像过点(9,3)，则函数f的定义域为________．
答案 (0,1]
解析 令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，故f(x)＝＝，令－1≥0，得0
答案 1
解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2与y＝x－2的图像，如图所示，则
f(x)＝
∴f(x)在x＝－1与x＝1处均取得最小值1，即f(x)min＝1.
四、解答题
17．已知幂函数f(x)＝)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
解 由f(x)＝ (m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)<0，所以m<2.因为m∈N，所以m＝0或1，因为f(x)是偶函数，所以只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝.
18．已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
解 (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，
即m2－2m－3<0，依据函数y＝m2－2m－3的图像，
解得－1
当m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，
则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1.
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
∴g(x)最小>2，且x∈R.
又g(x)最小＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
20．已知函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图像经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 (1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增．
(2)∵该函数图像过点(2，)，∴＝，
∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*)．
由f(2－a)>f(a－1)，得
解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
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