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高中人教B版 (2019)4.4 幂函数集体备课课件ppt
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这是一份高中人教B版 (2019)4.4 幂函数集体备课课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了目录索引，探究点二比较大小等内容，欢迎下载使用。
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 幂函数的定义一般地,函数y=xα称为幂函数,其中 为常数. 自变量在底数位置,要与指数函数区分 名师点睛幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数,如y= x2,y=(x+2)2,y=xx等都不是幂函数.
特别提醒1.不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数且可正可负,而指数函数恰好相反,底数为常数且是不为1的正数,指数为自变量.
2.幂函数y=x0的图象为两段平行于x轴的射线.
过关自诊1.下列函数,是幂函数的为 .(填序号) ①y=3x2;②y=x2+1;③y=- ;④ ;⑤y= ;⑥y=2x.
2.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),求这个函数的解析式.
知识点2 函数y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的图象与性质
名师点睛除函数 外,其余四个函数都具有奇偶性.
过关自诊[人教A版教材习题]利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:(1)(-1.5)3,(-1.4)3;
解 设f(x)=x3,则f(x)在R上为增函数.因为-1.5<-1.4,所以(-1.5)3<(-1.4)3.
知识点3 幂函数共有的性质1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点 . 2.如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数. 3.如果α<0,则幂函数在区间 上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴.
名师点睛1.幂函数的性质的补充说明对于一个具体的幂函数,一般先要确定其定义域和奇偶性,必要的情况下,可将分数指数幂转化成根式.2.幂函数的图象在第一象限内的特征
过关自诊1.下列说法正确的有( )①幂函数的图象均过点(1,1);②幂函数的图象均在两个象限内出现;③幂函数在第四象限内可以有图象;④对于幂函数y=xα,当α>0时,幂函数在第一象限内为增函数;⑤任意两个幂函数的图象最多有两个交点.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 对于幂函数y=xα,当x=1时,y=1,所以幂函数的图象均过点(1,1),故①正确;幂函数 的图象没有在两个象限内出现,故②不正确;当x>0时,xα>0,所以幂函数的图象不可能在第四象限,故③不正确;当α>0时,幂函数在(0,+∞)上单调递增,故④正确;幂函数y=x与y=x3的图象的交点为(-1,-1), (0,0),(1,1),共3个,故⑤不正确.故正确的说法有2个.
2.已知幂函数 在(0,+∞)上是减函数,则实数a的值为 .
探究点一 幂函数的概念
(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,当实数m为何值时,f(x):①是幂函数;②是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数.
解 ①因为函数是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.②当m=2时,f(x)=x-13,函数在(0,+∞)上是减函数,当m=-1时,f(x)=x2,函数在(0,+∞)上是增函数,综上,m=-1.
规律方法 幂函数的判断方法(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.
变式训练1下列函数: ③y=x2(x∈N),④y=x-5+3x,⑤y=3x(x∈Z),⑥y=x3x+1.其中是幂函数的为 .(填序号)
【例2】 比较下列各组数的大小:
规律方法 比较幂形式的两个数大小的常用方法
A.a
【例3】 (1)函数f(x)= 的大致图象是( )
解析 因为- <0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,排除选项B,C;又f(x)的定义域为(0,+∞),所以排除选项D.故选A.
(2)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,± 四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为( )
解析 根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn递增速度越快,故C1的n=2,C2的n= ,当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n=- ,曲线C4的n=-2.故选B.
规律方法 画幂函数图象(简图)的步骤求定义域→判断奇偶性→画在第一象限的图象→结合奇偶性画整个函数图象
变式训练3函数 (n∈N,n>9)的图象可能是( )
1.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是( )A.(2,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)
解析 设f(x)=xα(α为常数),由2α=4,得α=2,所以f(x)=x2.故其单调递增区间为[0,+∞).
A.c>a>bB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b
3.已知幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3过原点,则实数m的值为 .
解析 因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3为幂函数,所以m2+m-1=1,解得m=-2或m=1,当m=-2时,函数y=x7的图象过原点,符合题意;当m=1时,函数y=x-8的图象不经过原点,不符合题意.故m=-2.
4.已知幂函数 (k∈Z)是偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(2x-1)
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 幂函数的定义一般地,函数y=xα称为幂函数,其中 为常数. 自变量在底数位置,要与指数函数区分 名师点睛幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数,如y= x2,y=(x+2)2,y=xx等都不是幂函数.
特别提醒1.不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数且可正可负,而指数函数恰好相反,底数为常数且是不为1的正数,指数为自变量.
2.幂函数y=x0的图象为两段平行于x轴的射线.
过关自诊1.下列函数,是幂函数的为 .(填序号) ①y=3x2;②y=x2+1;③y=- ;④ ;⑤y= ;⑥y=2x.
2.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),求这个函数的解析式.
知识点2 函数y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的图象与性质
名师点睛除函数 外,其余四个函数都具有奇偶性.
过关自诊[人教A版教材习题]利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:(1)(-1.5)3,(-1.4)3;
解 设f(x)=x3,则f(x)在R上为增函数.因为-1.5<-1.4,所以(-1.5)3<(-1.4)3.
知识点3 幂函数共有的性质1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点 . 2.如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数. 3.如果α<0,则幂函数在区间 上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴.
名师点睛1.幂函数的性质的补充说明对于一个具体的幂函数,一般先要确定其定义域和奇偶性,必要的情况下,可将分数指数幂转化成根式.2.幂函数的图象在第一象限内的特征
过关自诊1.下列说法正确的有( )①幂函数的图象均过点(1,1);②幂函数的图象均在两个象限内出现;③幂函数在第四象限内可以有图象;④对于幂函数y=xα,当α>0时,幂函数在第一象限内为增函数;⑤任意两个幂函数的图象最多有两个交点.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 对于幂函数y=xα,当x=1时,y=1,所以幂函数的图象均过点(1,1),故①正确;幂函数 的图象没有在两个象限内出现,故②不正确;当x>0时,xα>0,所以幂函数的图象不可能在第四象限,故③不正确;当α>0时,幂函数在(0,+∞)上单调递增,故④正确;幂函数y=x与y=x3的图象的交点为(-1,-1), (0,0),(1,1),共3个,故⑤不正确.故正确的说法有2个.
2.已知幂函数 在(0,+∞)上是减函数,则实数a的值为 .
探究点一 幂函数的概念
(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,当实数m为何值时,f(x):①是幂函数;②是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数.
解 ①因为函数是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.②当m=2时,f(x)=x-13,函数在(0,+∞)上是减函数,当m=-1时,f(x)=x2,函数在(0,+∞)上是增函数,综上,m=-1.
规律方法 幂函数的判断方法(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.
变式训练1下列函数: ③y=x2(x∈N),④y=x-5+3x,⑤y=3x(x∈Z),⑥y=x3x+1.其中是幂函数的为 .(填序号)
【例2】 比较下列各组数的大小:
规律方法 比较幂形式的两个数大小的常用方法
A.a
【例3】 (1)函数f(x)= 的大致图象是( )
解析 因为- <0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,排除选项B,C;又f(x)的定义域为(0,+∞),所以排除选项D.故选A.
(2)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,± 四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为( )
解析 根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn递增速度越快,故C1的n=2,C2的n= ,当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n=- ,曲线C4的n=-2.故选B.
规律方法 画幂函数图象(简图)的步骤求定义域→判断奇偶性→画在第一象限的图象→结合奇偶性画整个函数图象
变式训练3函数 (n∈N,n>9)的图象可能是( )
1.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是( )A.(2,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)
解析 设f(x)=xα(α为常数),由2α=4,得α=2,所以f(x)=x2.故其单调递增区间为[0,+∞).
A.c>a>bB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b
3.已知幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3过原点,则实数m的值为 .
解析 因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3为幂函数,所以m2+m-1=1,解得m=-2或m=1,当m=-2时,函数y=x7的图象过原点,符合题意;当m=1时,函数y=x-8的图象不经过原点,不符合题意.故m=-2.
4.已知幂函数 (k∈Z)是偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(2x-1)
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