高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数导学案

第2课时　指数函数的图像和性质

1.下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝　　　B．y＝|x|

C．y＝2x      D．y＝x3

2．下列判断正确的是(　　)

A．1.51.5＞1.52    B．0.52＜0.53

C．e2＜e    D．0.90.2＞0.90.5

3．已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图像为(　　)

4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．

　利用指数函数的单调性比较大小[教材P12例1]

例1　利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

(1)0.8－0.1与0.8－0.2；(2)2.5a与2.5a＋1.

状元随笔　对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较．可以利用函数y＝0.8x和y＝2.5x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来．

教材反思

1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．

2．比较幂值大小的三种类型及处理方法

跟踪训练1　比较下列各题中两个值的大小：

 (1)与；

(2)与；

(3)0.20.3与0.30.2.

底数相同，指数不同；

底数不同，指数相同；

底数不同，指数不同．

　指数函数的图像问题[经典例题]

例2　(1)如图所示是下列指数函数的图像：

(1)先由a＞1，0＜a＜1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图像．

①y＝ax　　②y＝bx

③y＝cx    ④y＝dx

则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)

A．a＜b＜1＜c＜d    B．b＜a＜1＜d＜c

C．1＜a＜b＜c＜d    D．a＜b＜1＜d＜c

(2)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________.

(2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点．

【解析】　(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，且当底数越小，图像向下越靠近x轴，故选B.

(2)当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．

【答案】　(1)B　(2)(3，－1)

方法归纳

指数函数的图像随底数变化的规律可归纳为：

(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大．

(2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．

跟踪训练2　(1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为(　　)

由底数的范围判断函数图像 .

(2)若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图像一定在(　　)

A．第一、二、三象限    B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限    D．第一、二、四象限

　解简单的指数不等式[经典例题]

例3　(1)不等式3x－2＞1的解为________；

(2)若ax＋1＞ (a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．

状元随笔　首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围．

方法归纳

解指数不等式应注意的问题

　(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；

(2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．

跟踪训练3　(1)解不等式≤3；

(2)已知 ＞，求x的取值范围．

(1)化成同底，确定指数函数的单调性．

(2)判断a2＋2a＋3的范围．

　指数函数性质的综合应用

例4　已知函数f(x)＝a－ (x∈R)．

(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；

(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值．

(1)用定义法证明函数的单调性需4步：

①取值；②作差变形；③定号；④结论．

(2)先由f(x)为奇函数求a , 再由单调性求最小值．

方法归纳

(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；

(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．

跟踪训练4　已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数，

(1)求a的值；

(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明；

(3)求函数f(x)的值域．

(1)由偶函数求a.

(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．

(3)利用单调性求最值，得值域．

第2课时　指数函数的图像和性质

[基础自测]

1．解析：y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.

答案：D

2．解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，

所以0.90.2＞0.90.5.

答案：D

3．解析：方法一　y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝与y3＝10－x＝单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.

方法二　y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图像上升得快，y1＝与y2＝3x的图像关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图像关于y轴对称，所以选A.

答案：A

4．解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P(1，5).

答案：(1，5)

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)因为0.8－0.1与0.8－0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y＝0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.

(2)因为2.5a与2.5a＋1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y＝2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a<a＋1，所以2.5a<2.5a＋1.

跟踪训练1　解析：(1)因为0＜＜1，所以函数y＝在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以＜.

(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图像，如图所示．当x＝－0.5时，由图像观察可得＞.

(3)因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图像在函数y＝0.3x的图像的下方，所以0.20.2＜0.30.2.

又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜0.30.2.

跟踪训练2　

解析：(1)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图像，故选C.

(2)∵a＞1，且－1＜b＜0，故其图像如右图所示．

答案：(1)C　(2)A

例3　【解析】　(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解为(2，＋∞).

(2)因为ax＋1＞，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.

当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.

综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，

当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞).

【答案】　(1)(2，＋∞)　(2)见解析

跟踪训练3　解析：(1)－2＝(3－1)x2－2＝32－x2，

∴原不等式等价于 32－x2≤31.

∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.

∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.

∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．

(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2＞1，

∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．

∴x＞1－x，解得x＞.

∴x的取值范围是{ x| x＞}.

例4　【解析】　(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.

因为x1＜x2，

所以－＜0，

又(1＋)(1＋)＞0.

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).

所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．

(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，

所以f(0)＝0，

即a－＝0，解得a＝.

所以f(x)＝－，

由(1)知，f(x)为增函数，

所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1).

因为f(1)＝－＝，

所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为.

跟踪训练4　解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋＝＋a·2x成立，即2x(1－a)＝·(1－a)，

所以1－a＝0，

所以a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝＋－()＝(－)＋()＝(－)＋＝(－)(1-)＝(－)·，

因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，

所以＜，＞1，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，

所以f(x)≥f(0)＝2.

故函数f(x)的值域为[2，＋∞).