2021学年4.4 幂函数学案

这是一份2021学年4.4 幂函数学案，共12页。学案主要包含了幂函数的概念，幂函数的图像，比较幂值的大小等内容，欢迎下载使用。


知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
提醒 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
知识点二 幂函数的图像和性质
1．幂函数的图像
在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图像如图．
2．五个幂函数的性质
1．y＝－eq \f(1,x)是幂函数．( × )
2．当x∈(0,1)时，x2>x3.( √ )
3．y＝与y＝定义域相同．( × )
4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )
一、幂函数的概念
例1 (1)(多选)下列函数为幂函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x
C．y＝4x2 D．y＝x
答案 AD
解析 B项为指数函数，C中的函数的系数不为1，AD为幂函数．
(2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
解 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\f(3,2).))
所以m＝－3或1，n＝eq \f(3,2).
反思感悟 判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
跟踪训练1 已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D．0
答案 A
解析 因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，
即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
二、幂函数的图像
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为( )
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2 B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2) D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
答案 B
解析 根据幂函数y＝xn的性质，
故c1的n＝2，c2的n＝eq \f(1,2)，
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，
所以曲线c3的n＝－eq \f(1,2)，曲线c4的n＝－2.
反思感悟 解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝
x－1 或y＝或y＝x3)来判断．
跟踪训练2 函数f(x)＝的大致图像是( )
答案 A
解析 因为－eq \f(1,2)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B，C；又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.
三、比较幂值的大小
例3 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；
(3)与.
解 (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
(3)∵函数y1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x为R上的减函数，
又eq \f(3,4)>eq \f(2,3)，∴>.
又∵函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(3,4)>eq \f(2,3)，
∴>，∴>.
反思感悟 比较幂值大小的方法
跟踪训练3 比较下列各组值的大小：
(1)，；
(2)，，1.42.
解 (1)∵y＝为R上的偶函数，
∴＝.
又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，
∴<，即<.
(2)∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，
∴<.
又∵y＝1.4x为增函数，且eq \f(1,2)<2，
∴<1.42，∴<<1.42.
幂函数性质的应用
典例 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N＋)的图像关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．
解 因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，
所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N＋，
所以m＝1,2.
因为函数的图像关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为.
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得eq \f(2,3)故a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1或\f(2,3)))[素养提升] (1)幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．
(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
答案 B
解析 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
答案 A
解析 由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．
3．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
答案 A
解析 可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，
又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1,3.
4．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，则k＋α等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 A
解析 ∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，∴k＝1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \r(2)，
即α＝－eq \f(1,2)，∴k＋α＝eq \f(1,2).
5．已知f(x)＝，若0A．f(a)B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))C．f(a)D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))答案 C
解析 因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
又0故f(a)1．知识清单：
(1)幂函数的概念．
(2)幂函数的图像．
(3)幂函数的性质及其应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．
1．幂函数f(x)＝xα的图像经过点(2,4)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C．－eq \f(1,4) D．2
答案 B
解析 幂函数f(x)＝xα的图像经过点(2,4)，
则2α＝4，解得α＝2；
∴f(x)＝x2，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＝eq \f(1,4).
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
答案 A
解析 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B，D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．
3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 ∵y＝(x>0)为增函数，
又eq \f(3,5)>eq \f(2,5)，∴a>c.∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R)为减函数，
又eq \f(2,5)b.∴a>c>b.
4．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq \f(1,a)的图像可能是( )
答案 C
解析 选项A中，幂函数的指数a<0，
则y＝ax－eq \f(1,a)应为减函数，A错误；
选项B中，幂函数的指数a>1，
则y＝ax－eq \f(1,a)应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a<0，
则－eq \f(1,a)>0，直线y＝ax－eq \f(1,a)在y轴上的截距为正，D错误．
5．若幂函数f(x)的图像过点(2，eq \r(2))，则函数g(x)＝f(x)－3的零点是( )
A.eq \r(3) B．9 C．(eq \r(3)，0) D．(9,0)
答案 B
解析 ∵幂函数f(x)＝xα的图像过点(2，eq \r(2))，
∴f(2)＝2α＝eq \r(2)，解得α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝，
∴函数g(x)＝f(x)－3＝－3，
由－3＝0，得x＝9.
∴函数g(x)＝f(x)－3的零点是9.
6．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
则f(x)的单调递增区间是________．
答案 [0，＋∞)
解析 因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(\r(2),2)，即α＝eq \f(1,2)，
所以f(x)＝的单调递增区间是[0，＋∞)．
7．已知幂函数f(x)＝xα(α∈R)的图像经过点(8,4)，则不等式f(6x＋3)≤9的解集为________．
答案 [－5,4]
解析 由题意知8α＝4，故α＝lg84＝eq \f(2,3)，由于f(x)＝＝eq \r(3,x2)为R上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f(6x＋3)≤9即为f(6x＋3)≤f(27)，所以|6x＋3|≤27，解得－5≤x≤4.
8．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c从小到大的顺序是________．
答案 b解析 由a＝，b＝，可利用幂函数的性质，得a>b，可由指数函数的单调性得c>a，
∴b9．已知幂函数f(x)＝xα的图像过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图像并指出该函数的定义域与单调区间．
解 因为f(x)＝xα的图像过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，
所以f(2)＝eq \f(1,4)，即2α＝eq \f(1,4)，
得α＝－2，
即f(x)＝x－2，f(x)的图像如图所示，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．
10．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的a的取值范围．
解 (1)由幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m>0，
解得m<3，m∈N＋，可得m＝1,2，
若m＝1，则f(x)＝x6的图像不关于原点对称，舍去；
若m＝2，则f(x)＝x3的图像关于原点对称，且在R上单调递增，成立．则f(x)＝x3.
(2)由(1)可得f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
由f(a＋1)＋f(3a－4)<0，
可得f(a＋1)<－f(3a－4)＝f(4－3a)，
即为a＋1<4－3a，解得a11．若函数f(x)＝(m＋2)xa是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g(x)＝ lga(x＋m)的单调递增区间为( )
A．(－2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 B
解析 由题意得m＋2＝1，解得m＝－1，
则f(x)＝xa，将(2,4)代入函数的解析式得，
2a＝4，解得a＝2，
故g(x)＝lga(x＋m)＝lg2(x－1)，
令x－1>0，解得x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
12．函数y＝－1的图像关于x轴对称的图像大致是( )
答案 B
解析 y＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝－1的图像可看作由y＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，将y＝－1的图像关于x轴对称后即为选项B.
13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．
答案 9
解析 由题意可知加密密钥y＝xα(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝eq \f(1,2)，则y＝.由＝3，得x＝9，即明文是9.
14．已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)答案 (3,5)
解析 ∵f(x)＝＝eq \f(1,\r(x))(x>0)，
易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
又f(a＋1)∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1>0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－1，,a<5，,a>3.))∴315.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA，那么，αβ等于________．
答案 1
解析 由条件，得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)))，
可得eq \f(1,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))α，eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))β，
即α＝eq \f(1,3)，β＝eq \f(2,3).
所以αβ＝eq \f(1,3)·eq \f(2,3)＝eq \f(lg \f(1,3),lg \f(2,3))·eq \f(lg \f(2,3),lg \f(1,3))＝1.
16．已知幂函数g(x)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，且f(x)＝x2＋ag(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
解 (1)设幂函数的解析式g(x)＝xα(α为常数)．
因为幂函数g(x)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，
所以2α＝eq \f(1,2)，解得α＝－1，所以g(x)＝eq \f(1,x).
(2)由(1)得f(x)＝x2＋eq \f(a,x).
①当a＝0时，f(x)＝x2.
由于f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，可知f(x)为偶函数．
②当a≠0时，由于f(－x)＝(－x)2＋eq \f(a,－x)＝x2－eq \f(a,x)≠x2＋eq \f(a,x)＝f(x)，且f(－x)＝(－x)2＋eq \f(a,－x)＝x2－eq \f(a,x)≠－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(a,x)))＝－f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．
综上，①当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非
偶函数
奇函数
单调性
在R上是增函数
在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数
在R上是增函数
在[0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数
公共点
(1,1)
x
1
eq \f(1,2)
f(x)
1
eq \f(\r(2),2)