高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较精练

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较精练，共6页。试卷主要包含了41，3内，质点运动的平均速度为，3 B．36，1)－f＝2等内容，欢迎下载使用。

必备知识基础练
1.已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．4 B．0.41
C．0.1 D．4.41
2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a的值为( )
A．－3 B．2
C．3 D．－2
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝eq \f(1,x)中，平均变化率最大的是________.
5.四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时
间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
6．下列四种说法中，正确的是( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞lgax
C．对任意的x＞0，ax＞lgax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞lgax
7．当2A．2x＞x2＞lg2x B．x2＞2x＞lg2x
C．2x＞lg2x＞x2 D．x2＞lg2x＞2x
8．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
关于x呈指数函数变化的变量是________．
关键能力综合练
一、选择题
1．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
3．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( )
A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝eq \r(x)，d：y＝2－x
B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝eq \r(x)
C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝eq \r(x)，d：y＝2－x
D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝eq \r(x)
4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝lg2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
5．(易错题)下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝eq \f(1,100)ex B．y＝100ln x
C．y＝x10 D．y＝100·2x
6．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
二、填空题
7．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份该产品的产量为________万件．
8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．
9．(探究题)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
三、解答题
10．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．
学科素养升级练
1．(多选题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法正确的是( )
A．前三年产量增长的速度越来越快
B．前三年产量增长的速度越来越慢
C．第三年后这种产品停止生产
D．第三年后产量保持不变
2．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝3x，h(x)＝ln x，这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率的大小为________．
3．(学科素养—数学抽象)如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，而函数eq \f(fx,x)在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓减函数”，区间I叫做“缓减区间”．求函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－2x＋1区间的缓减区间．
4．5 增长速度的比较
必备知识基础练
1．解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
答案：B
2．解析：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1－3,3－1)＝－1.
答案：B
3．解析：根据平均变化率的定义，可知eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3.
答案：C
4．解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq \f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq \f(1,1＋Δx)＝－eq \f(10,13).
∴k3>k2>k1>k4.
答案：③
5．解析：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.故选D.
答案：D
6．解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞lgax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．故选D.
答案：D
7．解析：解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝lg2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝lg2x的图像，所以x2>2x>lg2x.
解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
答案：B
8．解析：从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
答案：y2
关键能力综合练
1．解析：S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速率eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(S3.3－S3,3.3－3)＝eq \f(1.89,0.3)＝6.3.故选A.
答案：A
2．解析：k1＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \f(x0＋Δx2－x\\al(2,0),Δx)＝2x0＋Δx；
k2＝eq \f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝eq \f(x\\al(2,0)－x0－Δx2,Δx)＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
答案：D
3．解析：a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.
答案：C
4．解析：由题干中的图像可知，该函数模型应为指数函数模型．
答案：A
5．解析：通过函数y＝ax(a>1)，y＝lgax(a>1)，y＝kx(k>0)的图像观察可得y＝ax的增长速度大于y＝kx的增长速度，y＝kx的增长速度大于y＝lgax的增长速度，∴A，D最快．
又∵y＝eq \f(1,100)ex中底数e>2.
∴y＝eq \f(1,100)ex的增长速度大于y＝100×2x，∴选A.
答案：A
6．解析：画出函数的图像，如图所示，当x∈(4，＋∞)，指数函数的图像位于二次函数图像上方，二次函数图像位于对数函数图像上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
答案：B
7．解析：由题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝0.5a＋b，,1.5＝0.25a＋b，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2，))
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75
8．解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e，解得k＝2ln 2，y(5)＝e(2ln 2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个)．
答案：2ln 2 1 024
9．解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(s0,t0)，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq \f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq \f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故③正确，④错误．
答案：③
10．解析：eq \f(Δf1,Δx)＝eq \f(24－22,2)＝6，eq \f(Δf2,Δx)＝eq \f(42－22,2)＝6，eq \f(Δf3,Δx)＝eq \f(34－32,2)＝36.eq \f(Δf4,Δx)＝eq \f(43－23,2)＝28.所以在区间[2,4]上的平均变化率由大到小依次为eq \f(Δf3,Δx)>eq \f(Δf4,Δx)>eq \f(Δf2,Δx)＝eq \f(Δf1,Δx).
学科素养升级练
1．解析：由t∈[0,3]的图像联想到幂函数y＝xa(0答案：BC
2．解析：因为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(a＋12－a2,a＋1－a)＝2a＋1，
eq \f(Δg,Δx)＝eq \f(3a＋1－3a,a＋1－a)＝3，
eq \f(Δh,Δx)＝eq \f(lna＋1－ln a,a＋1－a)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))，
又因为a>1，所以2a＋1>2×1＋1＝3，
lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．
答案：f(x)>g(x)>h(x)
3．解析：对于f(x)＝eq \f(1,2)x2－2x＋1，对称轴为x＝2，
在区间(－∞，2]上是减函数．
对于y＝eq \f(fx,x)＝eq \f(x,2)＋eq \f(1,x)－2，令g(x)＝eq \f(x,2)＋eq \f(1,x)，
所以g(x)为奇函数，令0则g(x1)－g(x2)＝eq \f(x1,2)＋eq \f(1,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋\f(1,x2)))＝eq \f(1,2)(x1－x2)＋eq \f(1,x1)－eq \f(1,x2)＝eq \f(1,2)(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,x1x2)))＝(x1－x2)·eq \f(x1x2－2,2x1x2)，当x1，x2∈(0，eq \r(2)]上时，x1－x2<0，x1x2－2<0，
所以g(x1)－g(x2)>0，
所以g(x1)>g(x2)，g(x)为减函数．
当x1，x2∈[eq \r(2)，＋∞)时，x1－x2<0，x1x2－2>0，
所以g(x1)－g(x2)<0，g(x)为增函数，
又g(x)为奇函数，所以在[－eq \r(2)，0)上是减函数，在(－∞，－eq \r(2)]上是增函数，所以y＝eq \f(fx,x)在(－∞，－eq \r(2)]和[eq \r(2)，2]上是增函数，故函数f(x)的缓减区间为(－∞，－eq \r(2)]和[eq \r(2)，2]．x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907