高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数学案

第2课时　对数函数的图像和性质

1.函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则(　　)

A．f(x)＝lgx　　B．f(x)＝log2x

C．f(x)＝lnxD．f(x)＝xe

2．若log3a＜0，＞1，则(　　)

A．a＞1，b＞0B．0＜a＜1，b＞0

C．a＞1，b＜0D．0＜a＜1，b＜0

3．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)

A．y＝3xB．y＝103x

C．y＝log2xD．y＝x3

4．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．

题型1　比较大小[教材P26例1]

例1　比较下列各组数的大小：

(1)log0.33与log0.35；

(2)ln3与ln3.001；

(3)log70.5与0.

构造对数函数，利用函数单调性比较大小．

【解析】　(1)因为0<0.3<1，所以y＝log0.3x是减函数，又因为3<5，所以log0.33>log0.35.

(2)因为e>1，所以y＝lnx是增函数，又因为3.001>3，所以ln3<ln3.001.

(3)因为7>1，所以y＝log7x是增函数，又因为log71＝0，而且0.5<1，所以log70.5<log71＝0.

教材反思

比较对数值大小时常用的三种方法

跟踪训练1　(1)设a＝log2π，b＝，c＝π－2，则(　　)

A．a＞b＞cB．b＞a＞c

C．a＞c＞bD．c＞b＞a

(2)比较下列各组值的大小：

①，.②log1.51.6，log1.51.4.

③log0.57，log0.67.④log3π，log20.8.

状元随笔　(1)选择中间量0和1，比较大小．

(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小．

④用中间量0比较大小．

题型2　解对数不等式[经典例题]

例2　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；

(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．

状元随笔　(1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．

(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．

方法归纳

两类对数不等式的解法

(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；

②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x).

(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；

②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.

跟踪训练2　(1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；

(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：

①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；

②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a).

(1)log33＝1.

(2)由对数函数的单调性求解．

题型3　对数函数性质的综合应用[经典例题]

例3　已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1).

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的最小值为－2，

求实数a的值．

真数大于0.

分0＜a＜1，a＞1两类讨论.

方法归纳

1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题

①要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.

②判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．

2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断

首先要确保f(x)＞0，

当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．

当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝log2(1＋x2).

求证：(1)函数f(x)是偶函数；

(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

(1)函数是偶函数，f(－x)＝f(x).

(2)用定义法证明函数是增函数．

第2课时　对数函数的图像和性质

[基础自测]

1．解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝lnx.

答案：C

2．解析：由函数y＝log3x，y＝的图像知，0＜a＜1，b＜0.

答案：D

3．解析：指数函数模型增长速度最快，故选A.

答案：A

4．解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，

函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0，4).

令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，

当x∈(0，2]时，u＝4x－x2是增函数，

当x∈(2，4]时，u＝4x－x2是减函数．

又∵y＝log3u是增函数，

∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0，2].

答案：(0，2]

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：(1)a＝log2π＞1，b＝＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.

(2)①因为函数y＝是减函数，且0.5＜0.6，所以＞.

②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.

③因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57.

④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.

答案：(1)C　

(2)①＞.②log1.51.6＞log1.51.4.

③log0.67＜log0.57.④log3π＞log20.8.

例2　【解析】　(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1，

即x的取值范围是(1，＋∞).

【解析】(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，

当a＞1时，有解得2≤x＜3.

当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.

综上可得，

当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；

当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].

【答案】　(1)(1，＋∞)　(2)见解析

跟踪训练2　解析：(1)因为log3x＜1＝log33，

所以x满足的条件为

即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．

(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．

因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以解得a＞1，

即实数a的取值范围是a＞1.

②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，

所以解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.

答案：(1){x|0＜x＜3}　(2)①(1，＋∞)　②(－1，1)

例3　【解析】　(1)由题意得

解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).

(2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)

＝loga[－(x－1)2＋4]，

若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，

所以loga4＝－2，a－2＝4，

又0＜a＜1，所以a＝.

若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．

综上可知，a＝.

跟踪训练3　证明：(1)函数f(x)的定义域是R，

f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，

所以函数f(x)是偶函数．

(2)设0＜x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋)－log2(1＋)＝，

由于0＜x1＜x2，则0＜＜，则0＜1＋＜1＋，

所以0＜＜1.

又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

所以＜0.所以f(x1)＜f(x2).

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．