人教B版 (2019)4.5 增长速度的比较同步训练题

这是一份人教B版 (2019)4.5 增长速度的比较同步训练题，共19页。


知识点一 函数的平均变化率
1．我们常用函数y＝f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
2．函数y＝2x＋1在(1,2)内的平均变化率为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
4．函数f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率是( )
A.eq \f(e3－2,1－e) B．eq \f(e3－2,e－1)
C．eq \f(e3＋2,e－1) D．eq \f(e3＋2,e＋1)
5．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率eq \f(Δy,Δx)等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
6．函数f(x)＝8x－6在[m，n]上的平均变化率为________．
7．在对数函数y＝lg2x的图像上，从x＝2到x＝4的平均变化率是多少？此变化率的几何意义是什么？
8．求函数y＝eq \r(x2＋1)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
9．函数f(x)＝x2在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，其中Δx>0，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1k2
C．k1＝k2 D．无法确定
10．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝lg2x，若这两个函数在区间[1,4]上的平均变化率分别为k1，k2，则k1________k2(填“>”“<”或“＝”)．
11．函数y1＝lg3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2(填“>”“<”或“＝”)．
12．函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大．
13．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝eq \f(1,x)中，平均变化率最大的是________．
14．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x.计算函数f(x)及g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率，并比较它们的大小．
知识点三 函数平均变化率的应用
15．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
16．已知函数f(x)＝2x＋3，g(x)＝x2，判断f(1)与g(1)的相对大小，并求出使得f(1＋Δx)17．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在任意区间[m，n](n>m)上的平均变化率为m＋n.求证：f(x)是一个二次函数．
18．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间内的平均变化率大，判断f(5)－f(2)与9的相对大小．
易错点 对函数平均变化率的实质理解不透致误
某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋eq \f(x,10)＋eq \f(x2,100)，总成本的单位是元．当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
一、单项选择题
1．函数f(x)＝eq \r(2x) 从x＝eq \f(1,2)到x＝2的平均变化率为( )
A．2 B．eq \f(2,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．eq \r(2)
2．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
3．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( )
A．2－Δx B．－2－Δx
C．2＋Δx D．(Δx)2－2Δx
4．过曲线y＝f(x)＝eq \f(x,1－x)图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作直线，则当Δx＝0.5时，直线的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．1 D．－eq \f(5,3)
5．已知函数y＝x3－2的图像上一点(1，－1)及邻近一点(1＋Δx，－1＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)等于( )
A．3 B．3＋(Δx)2
C．3＋3Δx D．3＋3Δx＋(Δx)2
6．函数y＝eq \f(1,x)在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]的平均变化率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k37．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( )
A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝eq \r(x)，d：y＝2－x
B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝eq \r(x)
C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝eq \r(x)，d：y＝2－x
D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝eq \r(x)
8．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
二、多项选择题
9．已知函数f(x)＝－x2＋3x，A(1，f(1))，B(3，f(3))，C(5，f(5))，下列结论正确的是( )
A．f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为0
B．f(x)在区间[2,3]上的平均变化率为－2
C．直线AB的斜率为－eq \f(1,2)
D．直线BC的斜率为－5
10．给出下列两个条件：
①若[a，b]是f(x)的定义域的子集，则f(x)在区间[a，b]上的平均变化率为负；②f(x)在整个定义域内不是减函数．
同时满足条件①②的函数f(x)的解析式可以为( )
A．f(x)＝eq \f(1,x) B．f(x)＝－2x＋3
C．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0)) D．f(x)＝－eq \r(x)
11．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)．则以下结论正确的是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当01时，丁走在最后面
C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
三、填空题
13．函数f(x)＝xex在区间[1,3]上的平均变化率为________．
14．过函数f(x)＝2x图像上两点A(0,1)，B(1,2)的直线的斜率为________．
15．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
16．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数型函数变化的变量是________，呈对数型函数变化的变量是________．
四、解答题
17．某河流在x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f(x)＝eq \r(3,x).当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
18．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围．
19．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．
20．比较函数f(x)＝4x，g(x)＝eq \f(3,4)x＋1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率的相对大小．
4.5 增长速度的比较
知识点一 函数的平均变化率
1．我们常用函数y＝f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
答案 D
解析 ∵自变量x由x0改变到x0＋Δx，当x＝x0时，y＝f(x0)，当x＝x0＋Δx时，y＝f(x0＋Δx)，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.
2．函数y＝2x＋1在(1,2)内的平均变化率为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为eq \f(5－3,2－1)＝2.故选C.
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案 B
解析 eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1－3,3－1)＝－1.故选B.
4．函数f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率是( )
A.eq \f(e3－2,1－e) B．eq \f(e3－2,e－1)
C．eq \f(e3＋2,e－1) D．eq \f(e3＋2,e＋1)
答案 B
解析 ∵f(e)－f(1)＝e3－1－1＝e3－2，∴函数f(x)在区间[1，e]上的平均变化率是eq \f(e3－2,e－1)，故选B.
5．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率eq \f(Δy,Δx)等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
答案 B
解析 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－1]－(2－1)＝2(Δx)2＋4Δx，所以eq \f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.
6．函数f(x)＝8x－6在[m，n]上的平均变化率为________．
答案 8
解析 eq \f(fn－fm,n－m)＝eq \f(8n－6－8m－6,n－m)＝8.
7．在对数函数y＝lg2x的图像上，从x＝2到x＝4的平均变化率是多少？此变化率的几何意义是什么？
解 从x＝2到x＝4的平均变化率为eq \f(lg24－lg22,4－2)＝eq \f(lg22,2)＝eq \f(1,2).
此变化率的几何意义是过对数函数y＝lg2x图像上两点(2,1)，(4,2)的直线的斜率．
8．求函数y＝eq \r(x2＋1)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
解 ∵Δy＝eq \r(x0＋Δx2＋1)－eq \r(x\\al(2,0)＋1)
＝eq \f(x0＋Δx2＋1－x\\al(2,0)＋1,\r(x0＋Δx2＋1)＋\r(x\\al(2,0)＋1))
＝eq \f(2x0Δx＋Δx2,\r(x0＋Δx2＋1)＋\r(x\\al(2,0)＋1))
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2x0＋Δx,\r(x0＋Δx2＋1)＋\r(x\\al(2,0)＋1)) .
知识点二 平均变化率的大小比较
9．函数f(x)＝x2在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，其中Δx>0，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1k2
C．k1＝k2 D．无法确定
答案 B
解析 ∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝x2＋x1，∴k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx.∴k1－k2＝2Δx.又∵Δx>0，∴k1－k2>0，即k1>k2.故选B.
10．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝lg2x，若这两个函数在区间[1,4]上的平均变化率分别为k1，k2，则k1________k2(填“>”“<”或“＝”)．
答案 >
解析 k1＝eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq \f(3x13x2－x1－1,x2－x1)，所以函数f(x)＝3x在区间[1,4]上的平均变化率为eq \f(3134－1－1,4－1)＝26.k2＝eq \f(Δg,Δx)＝eq \f(gx2－gx1,x2－x1)＝eq \f(lg2x2－lg2x1,x2－x1)，所以函数g(x)＝lg2x在区间[1,4]上的平均变化率为eq \f(lg24－lg21,4－1)＝eq \f(2－0,3)＝eq \f(2,3).
故k1>k2.
11．函数y1＝lg3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2(填“>”“<”或“＝”)．
答案 <
解析 由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度，所以Δy1<Δy2.
12．函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大．
答案 3
解析 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝eq \f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq \f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝eq \f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq \f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.
对任意Δx有，k1∴在x＝3附近的平均变化率最大．
13．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝eq \f(1,x)中，平均变化率最大的是________．
答案 ③
解析 Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq \f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq \f(1,1＋Δx)＝－eq \f(10,13).∴k3>k2>k1>k4.
14．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x.计算函数f(x)及g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率，并比较它们的大小．
解 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为eq \f(f－1－f－3,－1－－3)＝eq \f([2×－1＋1]－[2×－3＋1],2)＝2.
函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为eq \f(g－1－g－3,－1－－3)＝－2.因为2>－2，所以函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率大于g(x)在[－3，－1]上的平均变化率．
知识点三 函数平均变化率的应用
15．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
解 山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝eq \f(10－0,50－0)＝eq \f(1,5)，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝eq \f(15－10,70－50)＝eq \f(1,4)，∴hBC>hAB.
∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多．
16．已知函数f(x)＝2x＋3，g(x)＝x2，判断f(1)与g(1)的相对大小，并求出使得f(1＋Δx)解 f(1)＝2×1＋3＝5，g(1)＝1，故f(1)＞g(1)．
函数f(x)＝2x＋3在R上的平均变化率恒为2.
函数g(x)＝x2在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率eq \f(Δg,Δx)＝eq \f(1＋Δx2－1,Δx)＝Δx＋2>2.又因为当2x＋3＝x2，即x＝3(x＝－1舍去)时，f(x)＝g(x)，所以当Δx>3－1＝2时，f(1＋Δx)17．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在任意区间[m，n](n>m)上的平均变化率为m＋n.求证：f(x)是一个二次函数．
证明 函数f(x)在区间[m，n]上的平均变化率为
eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(fn－fm,n－m)＝m＋n.
变形得f(n)－f(m)＝n2－m2，
f(n)－n2＝f(m)－m2.
令f(n)－n2＝f(m)－m2＝c，c为常数，
所以有f(x)＝x2＋c.
所以函数f(x)是一个二次函数．
18．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间内的平均变化率大，判断f(5)－f(2)与9的相对大小．
解 函数g(x)＝3x－4在R上的平均变化率为3.根据题意，函数f(x)在[2,5]上的平均变化率大于3.
即eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f5－f2,5－2)>3.所以f(5)－f(2)>9.
易错点 对函数平均变化率的实质理解不透致误
某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋eq \f(x,10)＋eq \f(x2,100)，总成本的单位是元．当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
易错分析 函数平均变化率的实质是曲线上两点所在直线的斜率．本题的易错之处在于不能透彻理解函数变化率的实质，从而无法准确地写出函数平均变化率的实际意义．
正解 当x从200变到220时，
总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元．
此时总成本c关于产量x的平均变化率为eq \f(c220－c200,220－200)＝eq \f(86,20)＝4.3(元/件)，它表示产量从200件变到220件时，每多生产1件产品，总成本平均增加4.3元．
一、单项选择题
1．函数f(x)＝eq \r(2x) 从x＝eq \f(1,2)到x＝2的平均变化率为( )
A．2 B．eq \f(2,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．eq \r(2)
答案 B
解析 由题意知函数f(x)＝eq \r(2x)从x＝eq \f(1,2)到x＝2的增量为Δf＝f(2)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(2×2)－eq \r(2×\f(1,2))＝2－1＝1，∴f(x)＝eq \r(2x)从x＝eq \f(1,2)到x＝2的平均变化率为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(1,2－\f(1,2))＝eq \f(2,3)，故选B.
2．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
答案 A
解析 S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速率eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(S3.3－S3,3.3－3)＝eq \f(1.89,0.3)＝6.3.故选A.
3．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( )
A．2－Δx B．－2－Δx
C．2＋Δx D．(Δx)2－2Δx
答案 B
解析 eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f2＋Δx－f2,Δx)
＝eq \f(－2＋Δx2＋22＋Δx－－4＋4,Δx)
＝eq \f(－4－Δx2－4Δx＋4＋2Δx,Δx)
＝eq \f(－Δx2－2Δx,Δx)
＝－Δx－2.
故选B.
4．过曲线y＝f(x)＝eq \f(x,1－x)图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作直线，则当Δx＝0.5时，直线的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．1 D．－eq \f(5,3)
答案 B
解析 当Δx＝0.5时，2＋Δx＝2.5，故－2＋Δy＝eq \f(2.5,1－2.5)＝－eq \f(5,3).所求斜率即曲线f(x)从x＝2到x＝2.5的平均变化率eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(－\f(5,3)＋2,2.5－2)＝eq \f(2,3).故选B.
5．已知函数y＝x3－2的图像上一点(1，－1)及邻近一点(1＋Δx，－1＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)等于( )
A．3 B．3＋(Δx)2
C．3＋3Δx D．3＋3Δx＋(Δx)2
答案 D
解析 由题意，－1＋Δy＝(1＋Δx)3－2，∴Δy＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，∴eq \f(Δy,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3.故选D.
6．函数y＝eq \f(1,x)在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]的平均变化率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k3答案 A
解析 k1＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2)，k2＝eq \f(1,3)－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,6)，k3＝eq \f(1,4)－eq \f(1,3)＝－eq \f(1,12)，∴k17．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( )
A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝eq \r(x)，d：y＝2－x
B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝eq \r(x)
C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝eq \r(x)，d：y＝2－x
D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝eq \r(x)
答案 C
解析 a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.故选C.
8．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 画出函数的图像，可知当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
二、多项选择题
9．已知函数f(x)＝－x2＋3x，A(1，f(1))，B(3，f(3))，C(5，f(5))，下列结论正确的是( )
A．f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为0
B．f(x)在区间[2,3]上的平均变化率为－2
C．直线AB的斜率为－eq \f(1,2)
D．直线BC的斜率为－5
答案 ABD
解析 eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(－x\\al(2,2)＋3x2－－x\\al(2,1)＋3x1,x2－x1)
＝eq \f(x1－x2x1＋x2－3,x2－x1)
＝－(x1＋x2)＋3.
对于A，f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为－(1＋2)＋3＝0，正确；对于B，f(x)在区间[2,3]上的平均变化率为－(2＋3)＋3＝－2，正确；对于C，直线AB的斜率为－(1＋3)＋3＝－1，错误；对于D，直线BC的斜率为－(3＋5)＋3＝－5，正确；故选ABD.
10．给出下列两个条件：
①若[a，b]是f(x)的定义域的子集，则f(x)在区间[a，b]上的平均变化率为负；②f(x)在整个定义域内不是减函数．
同时满足条件①②的函数f(x)的解析式可以为( )
A．f(x)＝eq \f(1,x) B．f(x)＝－2x＋3
C．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0)) D．f(x)＝－eq \r(x)
答案 AC
解析 分别作出A，B，C，D中四个函数图像，易知A，C中函数满足条件①②，B，D中函数在整个定义域内都是减函数，不满足条件②，故选AC.
11．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
答案 BC
解析 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(s0,t0)，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq \f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq \f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故C正确，D错误．故选BC.
12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)．则以下结论正确的是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当01时，丁走在最后面
C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 BCD
解析 四个函数的大致图像如图所示，根据图像易知，B，C，D正确．
三、填空题
13．函数f(x)＝xex在区间[1,3]上的平均变化率为________．
答案 eq \f(3e3－e,2)
解析 eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq \f(f3－f1,3－1)＝eq \f(3e3－e,2)，故答案为eq \f(3e3－e,2).
14．过函数f(x)＝2x图像上两点A(0,1)，B(1,2)的直线的斜率为________．
答案 1
解析 直线AB的斜率为函数f(x)在区间[0,1]上的平均变化率eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f1－f0,1－0)＝eq \f(2－1,1)＝1.
15．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
答案 y＝x2
解析 当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2比xln x增长得要快．
16．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数型函数变化的变量是________，呈对数型函数变化的变量是________．
答案 y2 y4
解析 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2随着x的增大而迅速增加，y4随着x的增大而增大，但变化缓慢，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化，y4关于x呈对数型函数变化．
四、解答题
17．某河流在x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f(x)＝eq \r(3,x).当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解 当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为
eq \f(f8－f1,8－1)＝eq \f(2－1,7)＝eq \f(1,7)(m3/min)，它表示时间从1 min增加到8 min的过程中，每增加1 min，水量平均增加eq \f(1,7) m3.
18．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围．
解 质点在2到2＋Δt之间的平均速度为
eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f([2＋Δt2＋1]－22＋1,Δt)＝eq \f(4Δt＋Δt2,Δt)＝4＋Δt，
又eq \(v,\s\up6(－))≤5，即4＋Δt≤5，∴Δt≤1.
又Δt>0，∴Δt的取值范围为(0,1]．
19．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．
解 eq \f(Δf1,Δx)＝eq \f(24－22,2)＝6，eq \f(Δf2,Δx)＝eq \f(42－22,2)＝6，eq \f(Δf3,Δx)＝eq \f(34－32,2)＝36.eq \f(Δf4,Δx)＝eq \f(43－23,2)＝28.所以在区间[2,4]上的平均变化率由大到小依次为
eq \f(Δf3,Δx)>eq \f(Δf4,Δx)>eq \f(Δf2,Δx)＝eq \f(Δf1,Δx).
20．比较函数f(x)＝4x，g(x)＝eq \f(3,4)x＋1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率的相对大小．
解 因为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(4a－4a－1,a－a－1)＝4a－1(4－1)＝3×4a－1，
eq \f(Δg,Δx)＝eq \f(\f(3,4)a＋1－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)a－1＋1)),a－a－1)＝eq \f(3,4)，
又因为a<0，所以eq \f(Δf,Δx)＝3×4a－1<3×40－1＝3×4－1＝eq \f(3,4)，所以函数f(x)在区间[a－1，a]上的平均变化率比g(x)的小.
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
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2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907