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    人教B版(2019)高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.3对数函数的性质与图同步习题(含答案)
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    高中数学4.2.3 对数函数的性质与图像课时练习

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    这是一份高中数学4.2.3 对数函数的性质与图像课时练习,共19页。试卷主要包含了函数y=lga+1的图像过定点,函数f=lga的图像一定过,函数f=lg2的定义域是,已知,则等内容,欢迎下载使用。


    知识点一 对数函数的概念
    1.下列函数表达式中,是对数函数的有( )
    ①y=lgx2;②y=lgax(a∈R);③y=lg8x;④y=ln x;⑤y= (x<0);⑥y=2lg4(x-1)(x>1).
    A.1个 B.2个
    C.3个 D.4个
    2.函数f(x)=(a2+a-5)lgax为对数函数,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))等于( )
    A.3 B.-3
    C.-lg36 D.-lg38
    3.若f(x)=lgax+a2-4a-5是对数函数,则a=________.
    知识点二 对数函数的图像问题
    4.函数y=lga(x+3)+1的图像过定点 ( )
    A.(1,2) B.(2,1)
    C.(-3,1) D.(-2,1)
    5.函数f(x)=lga|x|+1(06.(多选)函数f(x)=lga(x+2)(0A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    知识点三 对数型函数的定义域
    7.函数f(x)=lg2(x2+3x-4)的定义域是( )
    A.[-4,1] B.(-4,1)
    C.(-∞,-4]∪[1,+∞) D.(-∞,-4)∪(1,+∞)
    8.已知函数f(x)=eq \f(1,\r(1-x))的定义域为M,g(x)=ln (1+x)的定义域为N,则M∩N等于( )
    A.{x|x>-1} B.{x|x<1}
    C.{x|-19.设f(x)=lga(1+x)+lga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.求a的值及f(x)的定义域.
    10.已知,则( )
    A.7a>7b>7c B.7b>7a>7c
    C.7c>7b>7a D.7c>7a>7b
    11.比较下列各组数的大小:
    (1)lg2π与lg20.9;(2)lg20.3与lg0.20.3;
    知识点五 解对数不等式
    12.已知lg0.3(3x)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,2)))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))
    13.不等式的解集是( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(5,2)))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(5,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2))
    知识点六 与对数函数有关的最值、值域问题
    14.若函数y=lg2(x2-2)(a≤x≤b)的值域是[1,lg214],则a,b的值分别为( )
    A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-4,,b=-2)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2,,b=4))
    C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-4,,b=2)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-4,,b=-2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2,,b=4))
    15.求下列函数的值域:
    (1)y=lg2(x2+4);
    (2)y=
    16.已知f(x)=x2-x+k,且lg2f(a)=2,f(lg2a)=k,a>0,且a≠1.
    (1)求a,k的值;
    (2)当x为何值时,y=f(lg2x)有最小值?求出该最小值.
    17.判断函数f(x)=lg2(eq \r(x2+1)+x)的奇偶性.
    18.已知函数f(x)=lg eq \f(1-x,1+x)的定义域为(-1,1).
    (1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2020)));
    (2)探究函数f(x)的单调性,并证明.
    易错点一 忽视真数定义域而致误
    函数的定义域为________.
    易错点二 忽视底数a对函数图像的影响
    已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=lga(-x)的图像只能是( )
    一、单项选择题
    1.下列函数是对数函数的是( )
    A.y=lga(2x) B.y=lg 10x
    C.y=lga(x2+x) D.y=lg x
    2.函数y=eq \r(x) ln (1-x)的定义域为( )
    A.(0,1) B.[0,1)
    C.(0,1] D.[0,1]
    3.已知实数a=lg45,b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0,c=lg30.4,则a,b,c的大小关系为( )
    A.bC.c4.函数f(x)=lg2(3x+1)的值域为( )
    A.(0,+∞) B.[0,+∞)
    C.(1,+∞) D.[1,+∞)
    5.设函数f(x)=ln (1+x)-ln (1-x),则f(x)是( )
    A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
    B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
    C.偶函数,且在(0,1)上是增函数
    D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
    6.设函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2,x≤0,,lg x+1,x>0,))若f(x0)>1,则x0的取值范围为( )
    A.(-1,1) B.(-1,+∞)
    C.(-∞,9) D.(-∞,-1)∪(9,+∞)
    7.若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y=lga(x2+2)的最大值为-1,则实数a的值为( )
    A.2 B.eq \f(1,2)
    C.3 D.eq \f(1,4)
    8.函数y=ax2+bx与y= (ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是( )
    二、多项选择题
    9.下列函数中值域为R的是( )
    A.f(x)=3x-1 B.f(x)=lg (x2-2)
    C.f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2,0≤x≤2,,2x,x>2)) D.f(x)=ln (x2+1)
    10.若a>b>0,0A.lgcacb
    C.ac>bc D.lgc(a+b)>0
    11.已知集合M={x|y=eq \r(x-1)},N={x|y=lg2(2-x)},则下列各集合是∁R(M∩N)的子集的是( )
    A.[1,2) B.[2,+∞)
    C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) D.(-∞,3)
    12.已知函数f(x)=lga(x+1),g(x)=lga(1-x)(a>0,a≠1),则( )
    A.函数f(x)+g(x)的定义域为(-1,1)
    B.函数f(x)+g(x)的图像关于y轴对称
    C.函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0
    D.函数f(x)-g(x)在区间(0,1)上是减函数
    三、填空题
    13.函数f(x)=lg2eq \r(x)·的最小值为________.
    14.已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-2x-1,x≤1,,lgax,x>1,))若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为________.
    15.若函数则f(-8)=________;若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是________.
    16.设函数f(x)=lgax(a>0且a≠1),若f(x1x2…x2020)=8,则f(xeq \\al(2,1))+f(xeq \\al(2,2))+…+f(xeq \\al(2,2020)) =________.
    四、解答题
    17.求y=-eq \f(1,2)lgeq \f(1,2)x+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
    18.已知函数y=f(x)的图像与g(x)=lgax(a>0,且a≠1)的图像关于x轴对称,且g(x)的图像过点(9,2).
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)若f(3x-1)>f(-x+5)成立,求x的取值范围.
    19.已知f(x)=lg4(4x-1).
    (1)求f(x)的定义域;
    (2)讨论f(x)的单调性;
    (3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2))上的值域.
    20.设a>0,且a≠1,函数y=有最大值,求函数f(x)=lga(3-2x)的单调区间.
    4.2.3 对数函数的性质与图像
    知识点一 对数函数的概念
    1.下列函数表达式中,是对数函数的有( )
    ①y=lgx2;②y=lgax(a∈R);③y=lg8x;④y=ln x;⑤y= (x<0);⑥y=2lg4(x-1)(x>1).
    A.1个 B.2个
    C.3个 D.4个
    答案 B
    解析 符合对数函数的定义的只有③④.
    2.函数f(x)=(a2+a-5)lgax为对数函数,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))等于( )
    A.3 B.-3
    C.-lg36 D.-lg38
    答案 B
    解析 ∵函数f(x)=(a2+a-5)lgax为对数函数,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2+a-5=1,,a>0,,a≠1,))解得a=2,∴f(x)=lg2x,∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))=lg2eq \f(1,8)=-3.故选B.
    3.若f(x)=lgax+a2-4a-5是对数函数,则a=________.
    答案 5
    解析 ∵f(x)=lgax+a2-4a-5是对数函数,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2-4a-5=0,,a>0,,a≠1,))∴a=5.
    知识点二 对数函数的图像问题
    4.函数y=lga(x+3)+1的图像过定点 ( )
    A.(1,2) B.(2,1)
    C.(-3,1) D.(-2,1)
    答案 D
    解析 令x+3=1,即x=-2,得y=lga1+1=1,故函数y=lga(x+3)+1的图像过定点(-2,1).
    5.函数f(x)=lga|x|+1(0答案 A
    解析 解法一:当x>0时,函数f(x)=lgax+1(0解法二:由f(x)=lga|x|+1,得f(1)=1且f(-1)=1,排除D,再由00时,f(x)单调递减,排除B,C.故选A.
    6.(多选)函数f(x)=lga(x+2)(0A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    答案 BCD
    解析 f(x)=lga(x+2)(0知识点三 对数型函数的定义域
    7.函数f(x)=lg2(x2+3x-4)的定义域是( )
    A.[-4,1] B.(-4,1)
    C.(-∞,-4]∪[1,+∞) D.(-∞,-4)∪(1,+∞)
    答案 D
    解析 一是利用函数y=x2+3x-4的图像观察得到,要求图像正确、严谨;二是利用符号法则,即x2+3x-4>0可因式分解为(x+4)(x-1)>0,解得x>1或x<-4,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(1,+∞).
    8.已知函数f(x)=eq \f(1,\r(1-x))的定义域为M,g(x)=ln (1+x)的定义域为N,则M∩N等于( )
    A.{x|x>-1} B.{x|x<1}
    C.{x|-1答案 C
    解析 由1-x>0得函数f(x)的定义域M={x|x<1},由1+x>0得函数g(x)的定义域N={x|x>-1},所以M∩N={x|-19.设f(x)=lga(1+x)+lga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.求a的值及f(x)的定义域.
    解 ∵f(1)=2,∴lga2+lga2=2,∴lga2=1,
    ∴a=2.
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1+x>0,,3-x>0,))得-1故a的值为2,f(x)的定义域为{x|-1知识点四 利用对数函数的单调性比较大小
    10.已知,则( )
    A.7a>7b>7c B.7b>7a>7c
    C.7c>7b>7a D.7c>7a>7b
    答案 B
    解析 由于函数y=x为减函数,因此由b<a<c可得b>a>c,又由于函数y=7x为增函数,所以7b>7a>7c.
    11.比较下列各组数的大小:
    (1)lg2π与lg20.9;(2)lg20.3与lg0.20.3;
    (3)lg0.76,0.76与60.7;(4)lg20.4与lg30.4.
    解 (1)因为函数y=lg2x在(0,+∞)上是增函数,
    π>0.9,所以lg2π>lg20.9.
    (2)由于lg20.3<lg21=0,lg0.20.3>lg0.21=0,
    所以lg20.3<
    (3)因为60.7>60=1,0<0.76<0.70=1,
    又lg0.76<lg0.71=0,所以60.7>0.76>lg0.76.
    (4)底数不同,但真数相同,根据y=lgax的图像在a>1,0<x<1时,a越大,图像越靠近x轴,知lg30.4>lg20.4.
    知识点五 解对数不等式
    12.已知lg0.3(3x)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,2)))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))
    答案 A
    解析 因为函数y=lg0.3x是(0,+∞)上的减函数,所以原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x>0,,x+1>0,,3x>x+1,))解得x>eq \f(1,2).
    13.不等式的解集是( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(5,2)))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(5,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2))
    答案 B
    解析 由=-lg2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)))>-1,得
    lg2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)))<1=lg22,即0-eq \f(3,2)知识点六 与对数函数有关的最值、值域问题
    14.若函数y=lg2(x2-2)(a≤x≤b)的值域是[1,lg214],则a,b的值分别为( )
    A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-4,,b=-2)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2,,b=4))
    C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-4,,b=2)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-4,,b=-2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2,,b=4))
    答案 D
    解析 由1≤lg2(x2-2)≤lg214得2≤x2-2≤14,得4≤x2≤16,得-4≤x≤-2或2≤x≤4.由x2-2>0得x<-eq \r(2)或x>eq \r(2),故b<-eq \r(2)或a>eq \r(2).当a>eq \r(2)时,由函数y=lg2(x2-2)(a≤x≤b)单调递增得2≤x≤4,故a=2,b=4;当b<-eq \r(2)时,由函数y=lg2(x2-2)(a≤x≤b)单调递减得-4≤x≤-2,故a=-4,b=-2.
    15.求下列函数的值域:
    (1)y=lg2(x2+4);
    (2)y=
    解 (1)y=lg2(x2+4)的定义域是R.
    因为x2+4≥4,所以lg2(x2+4)≥lg24=2.
    所以y=lg2(x2+4)的值域为[2,+∞).
    (2)设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.
    因为u>0,所以0又y=在(0,4]上为减函数,
    所以≥4=-2,
    所以y= (3+2x-x2)的值域为[-2,+∞).
    16.已知f(x)=x2-x+k,且lg2f(a)=2,f(lg2a)=k,a>0,且a≠1.
    (1)求a,k的值;
    (2)当x为何值时,y=f(lg2x)有最小值?求出该最小值.
    解 (1)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2fa=2,,flg2a=k,))
    所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2-a+k=22,,lg2a2-lg2a+k=k,))
    解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k=4+a-a2,,lg2a=0或lg2a=1.))
    因为a≠1,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k=2,,a=2.))
    (2)y=(lg2x)2-lg2x+2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x-\f(1,2)))2+eq \f(7,4),
    所以当lg2x=eq \f(1,2),
    即x=eq \r(2)时,f(lg2x)有最小值,最小值为eq \f(7,4).
    知识点七 对数函数性质的综合
    17.判断函数f(x)=lg2(eq \r(x2+1)+x)的奇偶性.
    解 易知f(x)的定义域为(-∞,+∞),
    又f(-x)+f(x)=lg2(eq \r(x2+1)-x)+lg2(eq \r(x2+1)+x)=lg2(x2+1-x2)=lg21=0,
    即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
    18.已知函数f(x)=lg eq \f(1-x,1+x)的定义域为(-1,1).
    (1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2020)));
    (2)探究函数f(x)的单调性,并证明.
    解 (1)∵函数f(x)的定义域为(-1,1),关于坐标原点对称,
    且f(-x)=lg eq \f(1+x,1-x)=-lg eq \f(1-x,1+x)=-f(x),
    ∴函数f(x)为奇函数,
    ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2020)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))-feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2020)))=0;
    (2)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
    则f(x1)-f(x2)=lg eq \f(1-x1,1+x1)-lg eq \f(1-x2,1+x2)=lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1-x1,1+x1)·\f(1+x2,1-x2)))=lg eq \f(1+x21-x1,1+x11-x2).
    ∵-1<x1<x2<1,
    ∴1+x2>1+x1>0,1-x1>1-x2>0,
    ∴eq \f(1+x2,1+x1)>1,eq \f(1-x1,1-x2)>1,
    则eq \f(1+x21-x1,1+x11-x2)>1.
    ∴lg eq \f(1+x21-x1,1+x11-x2)>0,
    即f(x1)>f(x2).
    ∴函数f(x)在(-1,1)上是减函数.
    易错点一 忽视真数定义域而致误
    函数的定义域为________.
    易错分析 错误的根本原因是使函数有意义,不仅需要+1≥0,而且还需要真数x-1>0,忽视此条件导致错误.
    答案 (1,3]
    正解 要使函数有意义,
    需+1≥0且x-1>0,
    所以≥-1且x>1,解得1所以函数的定义域为(1,3].
    易错点二 忽视底数a对函数图像的影响
    已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=lga(-x)的图像只能是( )
    易错分析 解答本题易混淆函数类型或忽视底数a对函数图像的影响致误.
    答案 B
    正解 若0若a>1,则函数y=ax的图像上升且过点(0,1),函数y=lga(-x)的图像下降且过点(-1,0),只有B中图像符合.
    一、单项选择题
    1.下列函数是对数函数的是( )
    A.y=lga(2x) B.y=lg 10x
    C.y=lga(x2+x) D.y=lg x
    答案 D
    解析 由对数函数的概念,知D正确.
    2.函数y=eq \r(x) ln (1-x)的定义域为( )
    A.(0,1) B.[0,1)
    C.(0,1] D.[0,1]
    答案 B
    解析 因为y=eq \r(x) ln (1-x),所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0,,1-x>0,))解得0≤x<1.
    3.已知实数a=lg45,b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0,c=lg30.4,则a,b,c的大小关系为( )
    A.bC.c答案 D
    解析 由题知,a=lg45>1,b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0=1,c=lg30.4<0,故c4.函数f(x)=lg2(3x+1)的值域为( )
    A.(0,+∞) B.[0,+∞)
    C.(1,+∞) D.[1,+∞)
    答案 A
    解析 ∵3x>0,∴3x+1>1.∴lg2(3x+1)>0.∴函数f(x)的值域为(0,+∞).
    5.设函数f(x)=ln (1+x)-ln (1-x),则f(x)是( )
    A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
    B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
    C.偶函数,且在(0,1)上是增函数
    D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
    答案 A
    解析 由题意可得,函数f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln (1-x)-ln (1+x)=-f(x),故f(x)为奇函数.又f(x)=ln eq \f(1+x,1-x)=ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1-x)-1)),易知y=eq \f(2,1-x)-1在(0,1)上为增函数,故f(x)在(0,1)上为增函数.
    6.设函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2,x≤0,,lg x+1,x>0,))若f(x0)>1,则x0的取值范围为( )
    A.(-1,1) B.(-1,+∞)
    C.(-∞,9) D.(-∞,-1)∪(9,+∞)
    答案 D
    解析 当x0≤0时,由xeq \\al(2,0)>1得x0<-1;当x0>0时,由lg (x0+1)>1得x0>9.综上,x0<-1或x0>9.
    7.若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y=lga(x2+2)的最大值为-1,则实数a的值为( )
    A.2 B.eq \f(1,2)
    C.3 D.eq \f(1,4)
    答案 B
    解析 因为ax≥1=a0的解集为{x|x≤0},所以08.函数y=ax2+bx与y= (ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是( )
    答案 C
    解析 若|eq \f(b,a)|>1,则函数y=的图像为选项A,B中所示过点(1,0)的曲线,且|eq \f(b,2a)|>eq \f(1,2),故函数y=ax2+bx的图像的对称轴x=-eq \f(b,2a)应在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(1,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞))内,A,B都不正确;若0<|eq \f(b,a)|<1,则函数y=lgeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图像为选项C,D中所示过点(1,0)的曲线,且0<|eq \f(b,2a)|二、多项选择题
    9.下列函数中值域为R的是( )
    A.f(x)=3x-1 B.f(x)=lg (x2-2)
    C.f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2,0≤x≤2,,2x,x>2)) D.f(x)=ln (x2+1)
    答案 AB
    解析 A,B中函数的值域为R,C中当0≤x≤2时,f(x)∈[0,4],当x>2时,f(x)∈(4,+∞),故f(x)的值域为[0,+∞),D中f(x)的定义域为R,x2+1≥1,ln (x2+1)≥0,故f(x)的值域为[0,+∞).故选AB.
    10.若a>b>0,0A.lgcacb
    C.ac>bc D.lgc(a+b)>0
    答案 AC
    解析 ∵0b>0,得lgcab>0,得cab>0,∴eq \f(a,b)>1.又01,∴ac>bc,故C正确;取c=eq \f(1,2),a+b=2,则lgc(a+b)=lgeq \f(1,2)2=-1<0,故D错误,故选AC.
    11.已知集合M={x|y=eq \r(x-1)},N={x|y=lg2(2-x)},则下列各集合是∁R(M∩N)的子集的是( )
    A.[1,2) B.[2,+∞)
    C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) D.(-∞,3)
    答案 BC
    解析 由题意可得M={x|x-1≥0}={x|x≥1},N={x|2-x>0}={x|x<2},∴M∩N={x|1≤x<2}=[1,2),∴∁R(M∩N)=(-∞,1)∪[2,+∞).故选BC.
    12.已知函数f(x)=lga(x+1),g(x)=lga(1-x)(a>0,a≠1),则( )
    A.函数f(x)+g(x)的定义域为(-1,1)
    B.函数f(x)+g(x)的图像关于y轴对称
    C.函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0
    D.函数f(x)-g(x)在区间(0,1)上是减函数
    答案 AB
    解析 ∵f(x)=lga(x+1),g(x)=lga(1-x)(a>0,a≠1),∴f(x)+g(x)=lga(x+1)+lga(1-x),由x+1>0且1-x>0,得-11时,函数f(x)+g(x)在(-1,0)上单调递增,在[0,1)上单调递减,无最小值,故C错误;∵f(x)-g(x)=lga(x+1)-lga(1-x),当01时,f(x)=lga(x+1)在(0,1)上单调递增,g(x)=lga(1-x)在(0,1)上单调递减,函数f(x)-g(x)在(0,1)上单调递增,故D错误.故选AB.
    三、填空题
    13.函数f(x)=lg2eq \r(x)·的最小值为________.
    答案 -eq \f(1,4)
    解析 显然x>0,∴f(x)=lg2eq \r(x)·=eq \f(1,2)lg2x·lg2(4x2)=eq \f(1,2)lg2x·(lg24+2lg2x)=lg2x+(lg2x)2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x+\f(1,2)))2-eq \f(1,4)≥-eq \f(1,4),当且仅当x=eq \f(\r(2),2)时,有f(x)min=-eq \f(1,4).
    14.已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-2x-1,x≤1,,lgax,x>1,))若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为________.
    答案 {a|2<a≤3}
    解析 ∵函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
    ∴a的取值需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-2>0,,a>1,,lga1≥a-2-1,))
    解得2<a≤3.
    15.若函数则f(-8)=________;若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是________.
    答案 -3 (-1,0)∪(1,+∞)
    解析 当x=-8时,f(x)=8=-3.若a>0,则由f(a)>f(-a)得lg2a>a,即2lg2a>0,得a>1;若a<0,则由f(a)>f(-a)得(-a)>lg2(-a),即2lg2(-a)<0,得-11或-116.设函数f(x)=lgax(a>0且a≠1),若f(x1x2…x2020)=8,则f(xeq \\al(2,1))+f(xeq \\al(2,2))+…+f(xeq \\al(2,2020)) =________.
    答案 16
    解析 ∵f(xeq \\al(2,1))+f(xeq \\al(2,2))+f(xeq \\al(2,3))+…+f(xeq \\al(2,2020))
    =lgaxeq \\al(2,1)+lgaxeq \\al(2,2)+lgaxeq \\al(2,3)+…+lgaxeq \\al(2,2020)
    =lga(x1x2x3…x2020)2
    =2lga(x1x2x3…x2020)
    =2f(x1x2x3…x2020),
    ∴原式=2×8=16.
    四、解答题
    17.求y=-eq \f(1,2)lgeq \f(1,2)x+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
    解 因为2≤x≤4,所以lgeq \f(1,2)2≥lgeq \f(1,2)x≥lgeq \f(1,2)4,
    即-1≥≥-2.
    设t=,则-2≤t≤-1,
    所以y=t2-eq \f(1,2)t+5,其图像的对称轴为t=eq \f(1,4),
    所以当t=-2时,ymax=10;当t=-1时,ymin=eq \f(13,2).
    18.已知函数y=f(x)的图像与g(x)=lgax(a>0,且a≠1)的图像关于x轴对称,且g(x)的图像过点(9,2).
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)若f(3x-1)>f(-x+5)成立,求x的取值范围.
    解 (1)∵g(x)=lgax(a>0,且a≠1)的图像过点(9,2),
    ∴lga9=2,解得a=3,∴g(x)=lg3x.
    又函数y=f(x)的图像与g(x)=lg3x的图像关于x轴对称,∴f(x)=
    (2)∵f(3x-1)>f(-x+5),即(3x-1)> (-x+5),则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x-1>0,,-x+5>0,,3x-1<-x+5,))
    解得eq \f(1,3)<x<eq \f(3,2),
    ∴x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(1,3)<x<\f(3,2))).
    19.已知f(x)=lg4(4x-1).
    (1)求f(x)的定义域;
    (2)讨论f(x)的单调性;
    (3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2))上的值域.
    解 (1)由4x-1>0,解得x>0,
    因此f(x)的定义域为(0,+∞).
    (2)设0因此
    即f(x1)故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
    (3)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2))上单调递增,
    又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=0,f(2)=lg415,
    因此f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2))上的值域为[0,lg415].
    20.设a>0,且a≠1,函数y=有最大值,求函数f(x)=lga(3-2x)的单调区间.
    解 设t=x2-2x+3=(x-1)2+2.
    当x∈R时,t有最小值2,无最大值.
    所以lg (x2-2x+3)的最小值为lg 2,无最大值.
    又因为y=有最大值,所以0由f(x)=lga(3-2x),得其定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(3,2))).
    设u(x)=3-2x,x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(3,2))),
    则f(x)=lgau(x).
    因为u(x)=3-2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(3,2)))上是减函数,
    所以f(x)=lgau(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(3,2)))上是增函数.
    所以f(x)=lga(3-2x)的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(3,2))).
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