必修 第二册4.4 幂函数教学设计

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【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
幂函数的概念
例1：函数f（x）＝是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，求f（x）的解析式．
解：根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f（x）＝x3在（0，＋∞）上是增函数，
当m＝－1时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求．
所以f（x）的解析式为f（x）＝x3．
eq \a\vs4\al()总结升华
（1）本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．
（2）幂函数y＝xα（α∈R）中，α为常数，系数为1，底数为单一的x．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
探究点2：
幂函数的图像
例2：如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为（ ）
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2
B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2，2，eq \f(1,2)
D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
解析：考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，故c1的n＝2，c2的n＝eq \f(1,2)，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－eq \f(1,2)，曲线c4的n＝－2，故选B．
答案：B
eq \a\vs4\al()规律方法：
幂函数图像的特征：
（1）在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．
（2）当α＞0时，幂函数的图像都经过（0，0）和（1，1）点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过（1，1）点，在第一象限内，曲线下凸．
探究点3：
比较幂的大小
例3：比较下列各组数中两个数的大小：
（1）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up6(\f(1,2))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))；（2）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1)；
（3）0.25－eq \s\up6(\f(1,4))与6.25eq \s\up6(\f(1,4))；（4）0.20.6与0.30.4．
解：（1）因为y＝xeq \s\up6(\f(1,2))是[0，＋∞）上的增函数，且eq \f(1,3)＞eq \f(1,4)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up6(\f(1,2))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))．
（2）因为y＝x－1是（－∞，0）上的减函数，且－eq \f(2,3)＜－eq \f(3,5)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1)．
（3）0.25－eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,4))＝2eq \s\up6(\f(1,2))，6.25eq \s\up6(\f(1,4))＝2.5eq \s\up6(\f(1,2))，
因为y＝xeq \s\up6(\f(1,2))是[0，＋∞）上的增函数，且2＜2.5，
所以2eq \s\up6(\f(1,2))＜2.5eq \s\up6(\f(1,2))，即0.25－eq \f(1,4)＜6.25eq \s\up6(\f(1,4))．
（4）由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4．
eq \a\vs4\al()规律方法：
（1）比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
（2）若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
二、课堂总结
1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
2．幂函数的图像与性质
（1）五个常见幂函数的图像
（2）五个常见幂函数的性质：
三、课堂检测
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A．y＝5xB．y＝x5
C．y＝5xD．y＝（x＋1）3
解析：选B．函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝（x＋1）3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A．y＝xeq \s\up6(\f(1,3))B．y＝x－eq \s\up6(\f(1,2))
C．y＝xeq \s\up6(\f(5,3))D．y＝xeq \s\up6(\f(2,3))
解析：选D．y＝xeq \s\up6(\f(2,3))＝eq \r(3,x2)，其定义域为R，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同．
3．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为（ ）
A．1，3B．－1，1
C．－1，3D．－1，1，3
解析：选A．可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1，3．
4．若a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(3,5))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up6(\f(3,5))，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________．
解析：因为y＝xeq \s\up6(\f(3,5))在（0，＋∞）上为增函数．
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(3,5))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up6(\f(3,5))，即a＞b＞0．
而c＝(－2)3＝－23＜0，
所以a＞b＞c．
答案：a＞b＞c
5．已知幂函数f（x）＝（n2＋2n－2）xn2－3n（n∈Z）的图像关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为________．
解析：由于f（x）为幂函数，
所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，
经检验只有n＝1适合题意．
答案：1教学重难点
教学目标
核心素养
幂函数的概念
了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式
数学抽象
幂函数的性质
结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))的图像，掌握它们的性质
数学运算
幂函数性质的应用
能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小
数学运算
函数
性质
y＝x
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x2
y＝x3
y＝x-1
定义域
R
[0，＋∞）
R
R
（－∞，0）∪（0，＋∞）
值域
R
[0，＋∞）
（0，＋∞）
R
（－∞，0）∪（0，＋∞）
奇偶性
奇
非奇非偶
偶
奇
奇
单调性
R上增
[0，＋∞）上增
（－∞，0）上减
[0，＋∞）上增
R上增
（－∞，0）上减
（0，＋∞）上减
公共点
（1，1）