高中数学第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数学案及答案

对数函数的性质与图像

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(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1).(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．

知识点一　对数函数的概念

函数____________叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．

状元随笔　形如y＝2log2x，y＝都不是对数函数，可称其为对数型函数．

知识点二　对数函数的图像与性质

状元随笔　底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图像“下降”．

第1课时　对数函数的概念

基础自测

1.下列函数中是对数函数的是(　　)

A．y＝　　　　　　　B．y＝

C．y＝2D．y＝＋1

2．函数y＝ln (1－x)的定义域为(　　)

A．(0，1)    B．[0，1)

C．(0，1]    D．[0，1]

3．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图像大致是(　　)

4．若f(x)＝log2x，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________．

题型1 对数函数的概念[经典例题]

例1　下列函数中，哪些是对数函数？

(1)y＝loga(a＞0，且a≠1)；

(2)y＝log2x＋2；

(3)y＝8log2(x＋1)；

(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；

(5)y＝log6x.

用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠1)来判断．

【解析】　(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．

方法归纳

判断一个函数是对数函数的方法

跟踪训练1　若函数f(x)＝(a2－a＋1)·log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．

对数函数y＝logax系数为1.

题型2　求函数的定义域[经典例题]

例2　求下列函数的定义域：

(1)y＝log3x2；

(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1).

真数大于0.

方法归纳

求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．

跟踪训练2　求下列函数的定义域：

(1)y＝lg (x＋1)＋；

(2)y＝log(x－2)(5－x).

真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．

题型3　对数函数的图像问题

例3　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图像只可能是下图中的(　　)

(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则f(log32)＝________．

(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为________.

状元随笔　(1)由函数y＝x＋a的图像判断出a的范围．

(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．

(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．

方法归纳

解决对数函数图像的问题时要注意

(1)明确对数函数图像的分布区域．对数函数的图像在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．

(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.

(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像经过点：(1，0)，(a，1)和().

跟踪训练3　

(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)

A．，，，

B.，，，

C．，，

D．，

增函数底数a＞1，

减函数底数0＜a＜1.

(2)函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图像大致为(　　)

先去绝对值，再利用单调性判断．

4．2.3　对数函数的性质与图像

新知初探·自主学习

知识点一

y＝logax(a＞0，且a≠1)　x　(0，＋∞)

知识点二

(0，＋∞)　R　(1，0)　增函数　减函数

第1课时　对数函数的概念

[基础自测]

1．解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．

答案：A

2．解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln (1－x)的定义域为[0，1).

答案：B

3．解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝loga(x－1)的图像是由y＝logax的图像向右平移一个单位得到，故A正确．

答案：A

4．解析：因为f(x)＝log2x在[2，3]上是单调递增的，

所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23.

答案：[1，log23]

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.

又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.

答案：1

例2　【解析】　(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．

(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}.

跟踪训练2　解析：(1)要使函数有意义，

需即

∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1，1).

(2)要使函数有意义，需∴

∴定义域为(2，3)∪(3，5).

例3　【解析】　(1)A中，由y＝x＋a的图像知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．

(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.

(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.

过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.

【答案】　(1)C　(2)　(3)b＞a＞1＞d＞c

跟踪训练3　解析：(1)方法一　作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，，故选A.

方法二　由对数函数的图像在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即，，，.故选A.

(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.

答案：(1)A　(2)A