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    人教B版(2019)高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.1对数运算同步习题(含答案)
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    人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算随堂练习题

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    这是一份人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算随堂练习题,共15页。试卷主要包含了2.1 对数运算,设=25,则x的值等于,已知lg2x=3,则等于,将下列指数式、对数式互化等内容,欢迎下载使用。


    知识点一 对数的概念
    1.对数式M=lg(a-3)(10-2a)中,实数a的取值范围是( )
    A.(-∞,5) B.(3,5)
    C.(3,+∞) D.(3,4)∪(4,5)
    2.使对数lga(-2a+1)有意义的a的取值范围为( )
    A.a>eq \f(1,2)且a≠1 B.0C.a>0且a≠1 D.a3.方程lg4(1-2x)=1的解x=________.
    知识点二 对数式与指数式的互化与求值
    4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
    A.40=1与lg41=0
    B.=eq \f(1,3)与lg27eq \f(1,3)=-eq \f(1,3)
    C.lg39=2与=3
    D.lg55=1与51=5
    5.设=25,则x的值等于( )
    A.5 B.6
    C.8 D.9
    6.已知lg2x=3,则等于( )
    A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2\r(3))
    C.eq \f(1,3\r(3)) D.eq \f(\r(2),4)
    7.若lg216a=2,则a=________.
    8.若m=lg37,则3m+3-m=________.
    9.将下列指数式、对数式互化.
    (1)35=243;
    (2)2-5=eq \f(1,32);
    (3) =-4;
    (4)lg2128=7.
    10.若=m,=m+2,求eq \f(x2,y)的值.
    11.已知lg2(lg3(lg4x))=0,且lg4(lg2y)=1.
    求的值.
    知识点三 对数恒等式
    12.化简:等于( )
    A.2eq \r(2) B.8
    C.eq \f(1,8) D.2
    13.已知lgaeq \f(1,2)=m,lga3=n,则am+2n等于( )
    A.3 B.eq \f(3,4)
    C.9 D.eq \f(9,2)
    14.设=2,则x的值等于________.
    15.已知lgx27=,则x=________.
    16.(1)计算;
    (2) (a,b为不等于1的正数,c>0).
    知识点四 常用对数与自然对数
    17.若ln (lg x)=0,则x=________.
    18.lg5m=lg20n=eq \f(1,3),求lg (mn)的值.
    19.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
    (1)43=64;(2)ln a=b;(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m=n;(4)lg 1000=3.
    20.求下列各式中x的值.
    (1)lg64x=-eq \f(2,3);
    (2)lgx8=6;
    (3)lg 100=x;
    (4)-ln e2=x.
    易错点 忽视底数的取值范围
    已知lg(x+3)(x2+3x)=1,则实数x=________.
    一、单项选择题
    1.lgab=1成立的条件是( )
    A.a=b B.a=b且b>0
    C.a>0,a≠1 D.a>0,a=b≠1
    2.lg3eq \f(1,81)等于( )
    A.4 B.-4
    C.eq \f(1,4) D.-eq \f(1,4)
    3.方程=eq \f(1,4)的解是( )
    A.x=eq \f(1,9) B.x=eq \f(\r(3),3)
    C.x=eq \r(3) D.x=9
    4.若对数式lg(a-2)9=2,则a=( )
    A.-1 B.5
    C.eq \f(13,4) D.-1或5
    5.若lgaeq \r(5,b)=c,则下列等式正确的是( )
    A.b5=ac B.b=a5c
    C.b=5ac D.b=c5a
    6.若lg2(lgx9)=1,则x=( )
    A.3 B.±3
    C.9 D.2
    7.已知lg3(lg5a)=lg4(lg5b)=0,则eq \f(a,b)的值为( )
    A.1 B.-1
    C.5 D.eq \f(1,5)
    8.已知f(a2)=lg2a,则f(4)=( )
    A.4 B.2
    C.1 D.-1
    二、多项选择题
    9.下列四个命题,其中正确的是( )
    A.对数的真数是非负数
    B.若a>0且a≠1,则lga1=0
    C.若a>0且a≠1,则lgaa=1
    D.若a>0且a≠1,则=2
    10.以下四个结论中,正确的是( )
    A.lg (lg 10)=0 B.ln (ln e)=0
    C.若10=lg x,则x=10 D.若e=ln x,则x=e2
    11.下列指数式与对数式互化正确的是( )
    A.e0=1与ln 1=0
    B.=eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)=-eq \f(1,3)
    C.lg 100=2与=10
    D.lg77=1与71=7
    12.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是( )
    A.若M=N,则lgaM=lgaN
    B.若lgaM=lgaN,则M=N
    C.若lgaM3=lgaN3,则M=N
    D.若M=N,则lgaM2=lgaN2
    三、填空题
    13.若lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1-2x,5)))=1,则x=________.
    14.已知方程x2+xlg26+lg23=0的两根为α,β,则2α+β=________.
    15.若lg(1-x)(1+x)2=1,则x=________.
    16.已知f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2-x,x≤1,,lg81x,x>1,))则f(3)=________,满足f(x)=eq \f(1,4)的x的值为________.
    四、解答题
    17.将下列指数式与对数式互化:
    (1)ea=16;(2) =eq \f(1,4);
    (3)lg327=3;(4)lgxy=z(x>0且x≠1,y>0).
    18.求下列各式中的x.
    (1)lg8x=-eq \f(2,3);(2)lg (lg2x)=1;
    (3)lg3(2x+2)=1;(4)
    19.计算:
    20.(1)已知lg189=a,lg1854=b,求182a-b的值;
    (2)已知lgx27=,求x的值.
    4.2 对数与对数函数
    4.2.1 对数运算
    知识点一 对数的概念
    1.对数式M=lg(a-3)(10-2a)中,实数a的取值范围是( )
    A.(-∞,5) B.(3,5)
    C.(3,+∞) D.(3,4)∪(4,5)
    答案 D
    解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10-2a>0,,a-3>0,,a-3≠1,))解得32.使对数lga(-2a+1)有意义的a的取值范围为( )
    A.a>eq \f(1,2)且a≠1 B.0C.a>0且a≠1 D.a答案 B
    解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-2a+1>0,,a>0,,a≠1,))解得03.方程lg4(1-2x)=1的解x=________.
    答案 -eq \f(3,2)
    解析 由1-2x=4,得x=-eq \f(3,2).
    知识点二 对数式与指数式的互化与求值
    4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
    A.40=1与lg41=0
    B.=eq \f(1,3)与lg27eq \f(1,3)=-eq \f(1,3)
    C.lg39=2与=3
    D.lg55=1与51=5
    答案 C
    解析 lg39=2与32=9互化,=3与lg93=eq \f(1,2)互化.故选C.
    5.设=25,则x的值等于( )
    A.5 B.6
    C.8 D.9
    答案 D
    解析 =52,∴lg3x=2,∴x=9.
    6.已知lg2x=3,则等于( )
    A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2\r(3))
    C.eq \f(1,3\r(3)) D.eq \f(\r(2),4)
    答案 D
    解析 因为lg2x=3,所以x=23=8.所以=eq \f(1,2\r(2))=eq \f(\r(2),4).故选D.
    7.若lg216a=2,则a=________.
    答案 eq \f(1,2)
    解析 lg216a=2,16a=22=4,故a=eq \f(1,2).
    8.若m=lg37,则3m+3-m=________.
    答案 eq \f(50,7)
    解析 因为m=lg37,所以3m=7,则3m+3-m=7+7-1=eq \f(50,7).
    9.将下列指数式、对数式互化.
    (1)35=243;
    (2)2-5=eq \f(1,32);
    (3) =-4;
    (4)lg2128=7.
    解 (1)lg3243=5.
    (2)lg2eq \f(1,32)=-5.
    (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))-4=81.
    (4)27=128.
    10.若=m,=m+2,求eq \f(x2,y)的值.
    解 因为=m,所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m=x,x2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m.
    因为=m+2,所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))m+2=y,y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m+4.
    所以eq \f(x2,y)=eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m+4)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m-(2m+4)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))-4=16.
    11.已知lg2(lg3(lg4x))=0,且lg4(lg2y)=1.
    求的值.
    解 因为lg2(lg3(lg4x))=0,所以lg3(lg4x)=1,
    所以lg4x=3,所以x=43=64.
    由lg4(lg2y)=1,知lg2y=4,所以y=24=16.
    所以=eq \r(64)×=8×8=64.
    知识点三 对数恒等式
    12.化简:等于( )
    A.2eq \r(2) B.8
    C.eq \f(1,8) D.2
    答案 B
    解析 设lg0.78=a⇒0.7a=8.∴选B.
    13.已知lgaeq \f(1,2)=m,lga3=n,则am+2n等于( )
    A.3 B.eq \f(3,4)
    C.9 D.eq \f(9,2)
    答案 D
    解析 am+2n==eq \f(1,2)×32=eq \f(9,2).
    14.设=2,则x的值等于________.
    答案 eq \f(3,4)
    解析 ==eq \f(1,2x-1)=2.所以4x-2=1,x=eq \f(3,4).
    15.已知lgx27=,则x=________.
    答案 eq \r(3)
    解析 lgx27==3×2=6.
    所以x6=27,所以x6=33,又x>0,所以x=eq \r(3).
    16.(1)计算;
    (2) (a,b为不等于1的正数,c>0).
    解 (1) =23×3+eq \f(35,9)=24+27=51.
    (2)原式==c.
    知识点四 常用对数与自然对数
    17.若ln (lg x)=0,则x=________.
    答案 10
    解析 因为ln (lg x)=0,所以lg x=e0=1,
    所以x=10.
    18.lg5m=lg20n=eq \f(1,3),求lg (mn)的值.
    解 由lg5m=lg20n=eq \f(1,3)可得m=,n=,所以mn=×=,所以lg (mn)=eq \f(2,3).
    19.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
    (1)43=64;(2)ln a=b;(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m=n;(4)lg 1000=3.
    解 (1)因为43=64,所以lg464=3.
    (2)因为ln a=b,所以eb=a.
    (3)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m=n,所以=m.
    (4)因为lg 1000=3,所以103=1000.
    20.求下列各式中x的值.
    (1)lg64x=-eq \f(2,3);
    (2)lgx8=6;
    (3)lg 100=x;
    (4)-ln e2=x.
    解 (1)由lg64x=-eq \f(2,3),得x==4-2=eq \f(1,16).
    (2)由lgx8=6,得x6=8,
    又x>0,即x==eq \r(2).
    (3)由lg 100=x,得10x=100=102,即x=2.
    (4)由-ln e2=x,得ln e2=-x,所以e-x=e2,-x=2,x=-2.
    易错点 忽视底数的取值范围
    已知lg(x+3)(x2+3x)=1,则实数x=________.
    易错分析 本题容易忽视底数大于0且不等于1,真数大于0.
    答案 1
    正解 由题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+3x=x+3,,x+3>0,,x+3≠1,,x2+3x>0,))解得x=1.
    一、单项选择题
    1.lgab=1成立的条件是( )
    A.a=b B.a=b且b>0
    C.a>0,a≠1 D.a>0,a=b≠1
    答案 D
    解析 由lgab=1得a>0,且a=b≠1.故选D.
    2.lg3eq \f(1,81)等于( )
    A.4 B.-4
    C.eq \f(1,4) D.-eq \f(1,4)
    答案 B
    解析 因为3-4=eq \f(1,81),所以lg3eq \f(1,81)=-4.
    3.方程=eq \f(1,4)的解是( )
    A.x=eq \f(1,9) B.x=eq \f(\r(3),3)
    C.x=eq \r(3) D.x=9
    答案 A
    解析 ∵=eq \f(1,4),∴,∴lg3x=lg2eq \f(1,4)=-2,∴x=eq \f(1,9).故选A.
    4.若对数式lg(a-2)9=2,则a=( )
    A.-1 B.5
    C.eq \f(13,4) D.-1或5
    答案 B
    解析 若lg(a-2)9=2,则(a-2)2=9.故a-2=±3,a=-1或5,因为a-2>0且a-2≠1,故a=5.
    5.若lgaeq \r(5,b)=c,则下列等式正确的是( )
    A.b5=ac B.b=a5c
    C.b=5ac D.b=c5a
    答案 B
    解析 根据指数式和对数式的互化关系可知,若lgaeq \r(5,b)=c,则ac=eq \r(5,b),所以b=a5c.故选B.
    6.若lg2(lgx9)=1,则x=( )
    A.3 B.±3
    C.9 D.2
    答案 A
    解析 ∵lg2(lgx9)=1,∴lgx9=2,即x2=9,又x>0,∴x=3.
    7.已知lg3(lg5a)=lg4(lg5b)=0,则eq \f(a,b)的值为( )
    A.1 B.-1
    C.5 D.eq \f(1,5)
    答案 A
    解析 由lg3(lg5a)=0得lg5a=1,即a=5,同理b=5,故eq \f(a,b)=1.
    8.已知f(a2)=lg2a,则f(4)=( )
    A.4 B.2
    C.1 D.-1
    答案 C
    解析 令a2=4,即a=±2,因为a>0,故a=2,所以f(4)=lg22=1.
    二、多项选择题
    9.下列四个命题,其中正确的是( )
    A.对数的真数是非负数
    B.若a>0且a≠1,则lga1=0
    C.若a>0且a≠1,则lgaa=1
    D.若a>0且a≠1,则=2
    答案 BCD
    解析 对数的真数为正数,A错误;∵a0=1,∴lga1=0,B正确;∵a1=a,∴lgaa=1,C正确;由对数恒等式=N,得=2,D正确.
    10.以下四个结论中,正确的是( )
    A.lg (lg 10)=0 B.ln (ln e)=0
    C.若10=lg x,则x=10 D.若e=ln x,则x=e2
    答案 AB
    解析 lg (lg 10)=lg 1=0,ln (ln e)=ln 1=0,故A,B正确;若10=lg x,则x=1010,故C错误;若e=ln x,则x=ee,故D错误.
    11.下列指数式与对数式互化正确的是( )
    A.e0=1与ln 1=0
    B.=eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)=-eq \f(1,3)
    C.lg 100=2与=10
    D.lg77=1与71=7
    答案 ABD
    解析 lg 100=2⇒102=100, =10⇒lg10010=eq \f(1,2),C不正确,A,B,D均正确.
    12.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是( )
    A.若M=N,则lgaM=lgaN
    B.若lgaM=lgaN,则M=N
    C.若lgaM3=lgaN3,则M=N
    D.若M=N,则lgaM2=lgaN2
    答案 BC
    解析 对于A,若M,N小于或等于0时,lgaM=lgaN不成立;B,C正确;对于D,当M=N=0时不正确.故选BC.
    三、填空题
    13.若lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1-2x,5)))=1,则x=________.
    答案 -7
    解析 由已知得eq \f(1-2x,5)=3,解得x=-7.
    14.已知方程x2+xlg26+lg23=0的两根为α,β,则2α+β=________.
    答案 eq \f(1,6)
    解析 因为α+β=-lg26,所以2α+β===eq \f(1,6).
    15.若lg(1-x)(1+x)2=1,则x=________.
    答案 -3
    解析 由题意知1-x=(1+x)2,解得x=0或x=-3.
    验证知,当x=0时,lg(1-x)(1+x)2无意义,
    故x=0不符合题意,应舍去.所以x=-3.
    16.已知f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2-x,x≤1,,lg81x,x>1,))则f(3)=________,满足f(x)=eq \f(1,4)的x的值为________.
    答案 eq \f(1,4) 3
    解析 ∵当x>1时,f(x)=lg81x,∴f(3)=lg813=eq \f(1,4),由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1,,2-x=\f(1,4)))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1,,lg81x=\f(1,4)))②,解①得x=2,与x≤1矛盾,故舍去,解②得x=3,符合x>1.∴x=3.
    四、解答题
    17.将下列指数式与对数式互化:
    (1)ea=16;(2) =eq \f(1,4);
    (3)lg327=3;(4)lgxy=z(x>0且x≠1,y>0).
    解 (1)lge16=a,即ln 16=a.
    (2)lg64eq \f(1,4)=-eq \f(1,3).
    (3)33=27.
    (4)xz=y.
    18.求下列各式中的x.
    (1)lg8x=-eq \f(2,3);(2)lg (lg2x)=1;
    (3)lg3(2x+2)=1;(4)
    解 (1)由lg8x=-eq \f(2,3),得
    x==2-2=eq \f(1,4).
    (2)∵lg (lg2x)=1,
    ∴lg2x=10,∴x=210=1024.
    (3)由lg3(2x+2)=1,得2x+2=3,∴x=eq \f(1,2).
    (4)由=0,得
    =1,lg2x=eq \f(1,2),x=eq \r(2).
    19.计算:

    20.(1)已知lg189=a,lg1854=b,求182a-b的值;
    (2)已知lgx27=,求x的值.
    解 (1)18a=9,18b=54,
    ∴182a-b=eq \f(18a2,18b)=eq \f(92,54)=eq \f(81,54)=eq \f(3,2).
    (2)lgx27=31×=3×2=6,
    ∴x6=27,∴x==eq \r(3).
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