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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数评优课课件ppt
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【思考】(1)幂函数的解析式有什么特征？提示：①系数为1；②底数为x自变量；③指数为常数.
(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？提示：①自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指数.②底数不同，幂函数的底数是自变量，指数函数的底数是常数.
2.幂函数共同的性质(1)所有幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，在第一象限内都有图像，并且图像都通过(1，1).(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数.
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x趋向于+∞时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)幂函数的图像在四个象限均有可能出现. ( )(2)当α<0时，幂函数在R上是减函数.( )(3)当α=0时，幂函数的图像是一条直线.( )
【思维·引】1.代入点的坐标，求出α后代入求值.2.根据幂函数解析式的特征求出m，确定解析式后求值.
【类题·通】求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.
【解析】由题意f(2)=2a= ，所以a= ，所以f(x)= ，所以f(9)= =3.答案：3
A.-1， ，1，2 B.2，1， ，-1C. ，-1，2，1D.2， ，-1，1
【思维·引】1.根据各个函数的图像特征选取.2.根据幂函数图像所在的象限判断.
【内化·悟】在第一象限内，幂函数的图像有什么特征？提示：当α>0时，图像从左向右逐渐上升，随着指数增大，图像上升越快，当α<0时，图像从左向右逐渐下降.
【类题·通】解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，+∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).
【解析】选D.由幂函数图像和单调性可知：a<0，b>1，0
【解析】选A.因为a= ，c= ，由幂函数y= 的单调性，所以ab，可得b
【解析】因为a= 由幂函数y= 的单调性，知a
【解析】因为y=x-2= ，所以定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，记f(x)=x-2，则f(-x)=(-x)-2= =x-2=f(x)，
因此函数y=x-2是偶函数.因此函数图像关于y轴对称.通过列表描点，可以先画出y=x-2在x∈(0，+∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(-∞，0)时的图像，如图所示.
由图像可以看出，函数y=x-2在区间(0，+∞)上是单调递减函数，在(-∞，0)上是单调递增函数.
【类题·通】1.关于指数式比较大小(1)变为同指数：利用幂函数的单调性比较大小.(2)变为同底数：利用指数函数的单调性比较大小.
2.关于函数图像、性质的探究(1)探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究.
(2)几点说明：①奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇偶性的函数可先描点作出y轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像；②作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作出的图像才更加准确；
③此种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习.
2.讨论函数y=x-3的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性.
【解析】因为y=x-3= ，所以定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，记f(x)=x-3，则f(-x)=(-x)-3= =-x-3=-f(x)，因此函数y=x-3是奇函数.因此函数图像关于原点对称.
通过列表描点，可以先画出y=x-3在x∈(0，+∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(-∞，0)时的图像，如图所示.
由图像可以看出，函数y=x-3在区间(0，+∞)，(-∞，0)上都是单调递减函数.
A.在定义域内有单调递减区间B.图像过定点(1，1)C.是奇函数D.其定义域是R
【思考】(1)幂函数的解析式有什么特征？提示：①系数为1；②底数为x自变量；③指数为常数.
(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？提示：①自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指数.②底数不同，幂函数的底数是自变量，指数函数的底数是常数.
2.幂函数共同的性质(1)所有幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，在第一象限内都有图像，并且图像都通过(1，1).(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数.
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x趋向于+∞时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)幂函数的图像在四个象限均有可能出现. ( )(2)当α<0时，幂函数在R上是减函数.( )(3)当α=0时，幂函数的图像是一条直线.( )
【思维·引】1.代入点的坐标，求出α后代入求值.2.根据幂函数解析式的特征求出m，确定解析式后求值.
【类题·通】求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.
【解析】由题意f(2)=2a= ，所以a= ，所以f(x)= ，所以f(9)= =3.答案：3
A.-1， ，1，2 B.2，1， ，-1C. ，-1，2，1D.2， ，-1，1
【思维·引】1.根据各个函数的图像特征选取.2.根据幂函数图像所在的象限判断.
【内化·悟】在第一象限内，幂函数的图像有什么特征？提示：当α>0时，图像从左向右逐渐上升，随着指数增大，图像上升越快，当α<0时，图像从左向右逐渐下降.
【类题·通】解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，+∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).
【解析】选D.由幂函数图像和单调性可知：a<0，b>1，0
【解析】选A.因为a= ，c= ，由幂函数y= 的单调性，所以a
【解析】因为a= 由幂函数y= 的单调性，知a
【解析】因为y=x-2= ，所以定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，记f(x)=x-2，则f(-x)=(-x)-2= =x-2=f(x)，
因此函数y=x-2是偶函数.因此函数图像关于y轴对称.通过列表描点，可以先画出y=x-2在x∈(0，+∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(-∞，0)时的图像，如图所示.
由图像可以看出，函数y=x-2在区间(0，+∞)上是单调递减函数，在(-∞，0)上是单调递增函数.
【类题·通】1.关于指数式比较大小(1)变为同指数：利用幂函数的单调性比较大小.(2)变为同底数：利用指数函数的单调性比较大小.
2.关于函数图像、性质的探究(1)探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究.
(2)几点说明：①奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇偶性的函数可先描点作出y轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像；②作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作出的图像才更加准确；
③此种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习.
2.讨论函数y=x-3的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性.
【解析】因为y=x-3= ，所以定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，记f(x)=x-3，则f(-x)=(-x)-3= =-x-3=-f(x)，因此函数y=x-3是奇函数.因此函数图像关于原点对称.
通过列表描点，可以先画出y=x-3在x∈(0，+∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(-∞，0)时的图像，如图所示.
由图像可以看出，函数y=x-3在区间(0，+∞)，(-∞，0)上都是单调递减函数.
A.在定义域内有单调递减区间B.图像过定点(1，1)C.是奇函数D.其定义域是R
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