高中人教B版 (2019)4.4 幂函数精品同步测试题

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这是一份高中人教B版 (2019)4.4 幂函数精品同步测试题，共14页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

人教B版（2019）必修第二册《第四章指数函数、对数函数与幂函数》2022年单元测试卷

一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1.（5分）已知定义在[0,10)的函数f(x)，满足：f(x+2)=f(x)+a，f(x)在[0,2)上的解析式为f(x)={ax+2+1,0⩽x⩽1a3x+1,1 A. 712 B. 79 C. -76 D. -73
2.（5分）函数y=x2-x+x-1-23-x的值域为( )
A. [-22,6+2] B. [-22-14,6+2]
C. [-22,6+3] D. [-22-14,6+3]
3.（5分）设函数f(x)=log2x，若f(a+1)<2，则a的取值范围为( )
A. (-1,3) B. (-∞,3) C. (-∞,1) D. (-1,1)
4.（5分）若函数f(x)=xln|x|，给出下面结论：①x=-1e时有极大值1e，②f(x)在(1,+∞)单调递减，③f(-1) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.（5分）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A. y=x2 B. y=2x C. y=log21|x| D. y=cosx
6.（5分）已知函数y=x3e|x|，则其图象为( )
A. B.
C. D.
7.（5分）给出下列结论：
①函数y=ex+e-x2为偶函数；
②函数y=ex-1ex+1在x∈R上单调递增；
③函数y=≶|x|在区间(0,+∞)上单调递减；
④函数y=(13)x与y=-log3x的图象关于直线y=x对称．
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.（5分）已知函数f(x)=|sinx|+cosx，则下列结论正确的是()
A. f(x)的最小值为-2
B. f(x)在区间[7π4,2π]上单调递增
C. y=f(x)-1在[-π,π]上有3个零点
D. 曲线y=f(x)关于直线x=π2对称
9.（5分）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)=M02-t30，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2(太贝克/年)，则M(60)=()
A. 5太贝克 B. 75In2太贝克
C. 150In2太贝克 D. 150太贝克
10.（5分）定义min{ a,b}={a,a⩽bb,a>b，若函数f(x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3}，且f(x)在区间[m,n]上的值域为[34,74]，则区间[m,n]长度的最大值为( )
A. 1 B. 74 C. 114 D. 72
二、多选题（本大题共2小题，共8分）
11.（4分）下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)=sinx2x+2-x的图象关于y轴对称
B. 函数y=ex与y=lnx的图象关于直线y=x对称
C. 函数f(x)=(12)x-x存在唯一零点
D. (a-m)2+(ea-m)2的最小值为-12
12.（4分）若x>0,y>0，则下列各式中，恒等的是( )
A. lgxy=lgx+lgy B. lgx.lgy=lgx+lgy
C. lg(x+y)=lgx+lgy D. lgx1n=lgx
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）跟踪演练6设偶函数f（x）的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图像如图所示，则不等式f（x）＜0的解集是__________.

14.（5分）司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mgmL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mgmL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车.(精确到1小时)
15.（5分）若a>0，且a≠1，则函数y=ax+3-4的图象必过点________．
16.（5分）若不等式(m2-m)2x-(12)x<1对一切x∈(-∞,-1]恒成立，则实数m的取值范围是______．
四、解答题（本大题共7小题，共72分）
17.（12分）［长沙一中高一期中］计算：
17-1.2723-2log23×log218+2lg(3+5+3-5);
17-2.(lg5)2+lg2×lg5+lg20+log225×log34×log59.
18.（12分）已知幂函数f(x)=(m2-m-1).x-2m-1在(0,+∞)上单调递增，又函数g(x)=2x+m2x．
(1)求实数m的值，并说明函数g(x)的单调性；
(2)若不等式g(1-3t)+g(1+t)⩾0恒成立，求实数t的取值范围．
19.（12分）物体在常温下的温度(单位：℃)变化满足一定的规律：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T-Ta=(T0-Ta)·(12)th，其中Ta表示环境温度，h为正常数．现有一杯89℃的热水放在25℃的房间中，如果热水降温到57℃需要10min，那么降温到40℃时，需要多长时间．(结果精确到1min，参考数据：ln0.5≈-0.693，ln0.2344≈-1.451)？
20.（12分）【例5】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台.现销售给A地10台，B地8台. 已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.
（1）设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数解析式；
（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案及最低的总运费.
21.（12分）已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|．
(Ⅰ)试求f(x)的值域；
(Ⅱ)设g(x)=ax2-3x+3x(a>0)若对∀s∈(0,+∞)，∀t∈(-∞,+∞)，恒有g(s)⩾f(t)成立，试求实数a的取值范围．
22.（12分）已知定义R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=x2+x+1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式：f(ax2-2x)+f(2-ax)>0(a∈R).

答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：当a>0时，当x∈[0,1]时，f(x)=ax+2+1，则a3+1⩽f(x)⩽a2+1，
当x∈(1,2)时，f(x)=a3x+1，则a3+1 所以x∈[0,2)时，a3+1⩽f(x)<2a3+1，
由f(x+2)=f(x)+a，则x∈[2,4)时，4a3+1⩽f(x)<5a3+1，
则x∈[4,6)时，7a3+1⩽f(x)<8a3+1，
所以则x∈[8,10)时，13a3+1⩽f(x)<14a3+1，
由则存在实数b，使得A⊆[b,b+3]，即存在实数b使得{b+3⩾14a3+1b⩽a3+114a3+1-(a3+1)⩽3，解得a⩽913，
由上可知，当a=0时，f(x)的值域为A={1}，显然满足题意．
当a<0时，当x∈[0,1]时，f(x)=ax+2+1，则a2+1⩽f(x)⩽a3+1，
当x∈(1,2)时，f(x)=a3x+1，则2a3+1 所以x∈[0,2)时，2a3+1⩽f(x) 同理可得，当x∈[8,10)时，14a3+1⩽f(x)<13a3+1，
由则存在实数b，使得A⊆[b,b+3]，即存在实数b使得{b+3⩾a3+1b⩽14a3+1a3+1-(14a3+1)⩽3，解得a⩾-913，
所以满足条件的a是范围：-913⩽a⩽913，
故选：A.
先求出当a>0时，f(x)的值域，从而得出f(x)在[0,10)的取值情况，根据条件参数a满足的不等式，求出参数a的范围，然后同理讨论a=0，a<0的情况，从而得出答案．
此题主要考查了分情况讨论求函数值域结合基本不等式，属于中档题．

2.【答案】A;
【解析】解：由题意，可知3-x⩾0，解得1⩽x⩽3，
所以函数的定义域为[1,3]，
因为y=x2-x在[1,3]上单调递增，y=x-1和y=-23-x在[1,3]上单调递增，
则函数y=x2-x+x-1-23-x在[1,3]上单调递增，
所以当x=1时，函数有最小值为-22，
当x=3时，函数有最大值6+2，
所以函数的值域为[-22,6+2].
故选：A.
先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，由单调性求解函数的值域即可．
此题主要考查了函数值域的求解，主要考查了利用函数单调性求解值域，属于中档题．

3.【答案】A;
【解析】
该题考查了对数函数的性质与对数不等式，属于基础题．
由题意将不等式化为log2(a+1)
解：由题意知，log2(a+1)<2，即log2(a+1) ∴0 解得-1 ∴a的取值范围是(-1,3)．
故选A．

4.【答案】C;
【解析】解：f(x)=xln|x|的定义域为{x|x≠0}，
且f(-x)=-xln|-x|=-xln|x|=-f(x)，则f(x)为奇函数，
当x>0时，f(x)=xlnx，f'(x)=lnx+1，由lnx+1=0，得x=1e，
∴当x∈(0,1e)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1e,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，且f(1e)=-1e，
可知当x=1e时，f(x)有极小值-1e，而f(x)为奇函数，则x=-1e时有极大值1e，故①正确；
f(x)在(1,+∞)单调递增，故②错误；
由f(x)在(1,+∞)单调递增，得f(1) ∴f(-1) ∴正确结论的个数为2个，
故选：C.
由奇函数定义判断函数为奇函数，求出x>0时的函数解析式，利用导数研究单调性与极值，结合奇偶性判断．
此题主要考查分段函数的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．

5.【答案】C;
【解析】解：在A中，y=x2是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，故A错误；
在B中，y=2x是非奇非偶函数，在(0,+∞)上单调递增，故B错误；
在C中，y=log21|x|既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减，故C正确；
在D中，y=cosx是偶函数，在(0,+∞)上不是减函数，故D错误．
故选：C．
在A中，y=x2在(0,+∞)上单调递增；在B中，y=2x是非奇非偶函数，在(0,+∞)上单调递增；在C中，y=log21|x|既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减；在D中，y=cosx在(0,+∞)上不是减函数．
此题主要考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

6.【答案】A;
【解析】解：根据函数y=x3e|x|为奇函数，可得它的图象关于原点对称，故排除C、D．
且当x⩾0时，f(x)=x3ex，f'(x)=x2.ex(3-x)e2x，∴f'(0)=0，
当x⩽0时，f(x)=x3e-x=x3⋅ex，f'(x)=3x2⋅ex+x3⋅ex=x2⋅ex(3-x)，∴f'(0)=0，
综上可得，f'(0)=0，即函数f(x)在x=0处的切线斜率为0，故排除B，
故选：A．
根据函数y=x3e|x|为奇函数，可得它的图象关于原点对称，故排除C、D；再根据f'(0)=0，即函数f(x)在x=0处的切线斜率为0，从而得出结论．
此题主要考查函数的奇偶性，函数的值域，函数在某一点的导数的几何意义，属于中档题．

7.【答案】C;
【解析】解：①函数f(-x)=ex+e-x2=f(x)，所以函数为偶函数；①正确；
②函数y=ex-1ex+1=1-2ex+1，在x∈R上y=ex+1是增函数，u=2ex+1是减函数，y=1-2ex+1是增函数，所以②正确；
③函数y=≶|x|在区间(0,+∞)上单调递减；错误，应该是增函数．
④函数y=(13)x与y=-log3x互为反函数，图象关于直线y=x对称，④正确；
故选：C．
利用函数地方奇偶性的定义判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用对数函数的单调性判断③的正误；由互为反函数的两个函数图象间的关系判断④；
该题考查命题的真假的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基本知识的考查．

8.【答案】C;
【解析】解：当sinx⩾0时，函数f(x)=|sinx|+cosx=sinx+cosx=2sin(x+π4)；
当sinx<0时，函数f(x)=|sinx|+cosx=-sinx+cosx=2cos(x+π4)，
画出f(x)在x∈[0,2π]上的图象，如图所示；

根据函数f(x)的图象，以及函数f(x)是周期为2π的偶函数知，
对于A，f(x)的最小值为-1，故A错误；
对于B，f(x)在[7π4,2π]上单调递减，故B错误；
对于C，函数y=f(x)-1在[-π,π]上有3个零点，分别是-π2、0、π2，所以C正确；
对于D，曲线y=f(x)关于直线x=π对称，所以D错误．
故选：C.
讨论sinx⩾0和sinx<0，分别写出函数f(x)的解析式，画出f(x)在x∈[0,2π]上的图象，结合f(x)的图象和周期性，判断选项中的命题是否正确即可．
此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想与数形结合思想，是中档题．

9.【答案】D;
【解析】解：因为M(t)=M02-t30，其中M0为t=0时铯137的含量；
所以铯137含量的变化率为M'(t)=-130M02-t30ln2，
所以当t=30时，M'(30)=-130M02-3030ln2=-160M0ln2=-10ln2，
解得M0=600，所以M(t)=600⋅2-t30，
所以M(60)=600×2-6030=600×14=150(太贝克).
故选：D.
利用函数的解析式求出函数的导数，代入数据求出M0的值，再求M(60)的值．
此题主要考查了函数的导数几何意义与应用问题，也考查了函数值的计算问题，是基础题．

10.【答案】B;
【解析】
这道题主要考查函数的新定义问题，分段函数的性质及应用，函数值域的求解，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度，属于中档题．
根据定义作出函数f(x)的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行求解即可．

解：由题意，定义min{ a,b}={a,a⩽bb,a>b，函数f(x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3}，
根据定义作出函数f(x)的图象如图所示：

其中A(1,1)，B(3,3)，
即f(x)={3-|x-3|,x⩽1或x⩾3x2-3x+3,1 当f(x)=34时，当x⩾3或x⩽1时，由3-|x-3|=34，得|x-3|=94，即xC=34或xG=214，
当1 当f(x)=74时，当1 当x⩾3时，由3-|x-3|=74，得|x-3|=54，得xF=174；
由图象知若f(x)在区间[m,n]上的值域为[34,74]，
xE-xC=52-34=74，xG-xF=214-174=1，
则区间[m,n]长度的最大值为74，
故选B．

11.【答案】BCD;
【解析】解：对于A：函数f(-x)=sin(-x)2x+2-x=-f(x)，故函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故A错误；
对于B：函数y=ex与y=lnx互为反函数，故函数的图象关于直线y=x对称，故B正确；
对于C：根据函数y=(12)x的图象和函数y=x的图象，

函数的图象只有一个交点，即存在唯一零点，故C正确；
对于D：(a-m)2+(ea-m)2的几何意义为点P(a,ea)与Q(m,m)距离的平方，而P和Q分别在曲线y=ex与直线y=x上，由y=ex，可得y'=ex=1，则x=0，所以y=1，则点(0,1)到直线y=x的距离的平方为(22)2=12，故D正确．
故选：BCD.
直接利用函数的性质奇偶性的判定，反函数的定义和性质，函数的图象的交点和函数的零点的关系，两点间的距离和函数的导数的应用判断A、B、C、D的结论．
此题主要考查的知识要点：函数的性质奇偶性的判定，反函数的定义和性质，函数的图象的交点和函数的零点的关系，两点间的距离和函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

12.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查了对数的运算，属于较易题.利用对数的运算公式直接逐项判断即可.

解：A.lgxy=lgx+lgy，由积的对数公式可知，A正确；
B.lg x+lgy=lgxy与lgx.lg y不一定相等，B错误；
C.lg x+lgy=lgxy与lg x+ y不一定相等，C错误；
D.lgx1n=lgx.由幂的对数公式可知，D正确；
故选AD.

13.【答案】x-5≤x<;-2或2<;x≤5;
【解析】略

14.【答案】5;
【解析】解：设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mgmL，
则有0.3⋅(34)x⩽0.09，即(34)x⩽0.3，
令x=1、2、3、4，可得(34)x>0.3，
当x=5时，(34)5<0.3，
则可得5小时后，可以开车．
故答案为：5．
先根据题意设x小时后，才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mgmL，”得到一个关于x的不等关系，解之即得答案．
本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等关系及指数不等式的解法等，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立数学模型；(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．

15.【答案】(-3,-3);
【解析】解：方法1：平移法
∵y=ax过定点(0,1)，
∴将函数y=ax向左平移3个单位得到y=ax+3，此时函数过定点(-3,1)，
将函数y=ax+3向下平移4个单位得到y=ax+3-4，此时函数过定点(-3,-3)．
方法2：解方程法
由x+3=0，解得x=-3，
此时y=1-4=-3，
即函数y=ax+3-4的图象一定过点(-3,-3)．
故答案为：(-3,-3)．
利用指数函数过定点的性质进行判断．
这道题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1，则用解方程的方法比较简单．

16.【答案】-2,3;
【解析】
这道题主要考查不等式恒成立问题，利用指数函数的性质将参数进行分类是解决本题的关键，本题属于中档题．
根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为参数恒成立即可．

解：(m2-m)2x-(12)x<1对一切x∈(-∞,-1]恒成立等价为
(m2-m)2x<(12)x+1，
即(m2-m)<2-x+12x=(2-x)2+12x=((12)x+12)2-14，
∵x∈(-∞,-1]，
∴(12)x⩾2，
即((12)x+12)2-14⩾(2+12)2-14=6，
即(m2-m)<6，
则m2-m-6<0，
解得-2 故答案为：-2,3

17.【答案】2723-2log23×log218+2lg(3+5+3-5)
=(33)23-3×log22-3+lg(3+5+3-5)2
=9+9+lg10
=19 (6分)
;(lg5)2+lg2×lg5+lg20+log225×log34×log59
=lg5(lg5+lg2)+lg20+log252×log322×log532
=lg5+lg20+8×lg5lg2×lg2lg3×lg3lg5
=2+8
=10 (12分);
【解析】略

18.【答案】解：(1)因为f(x)是幂函数，所以m2-m-1=1，解得m=-1或m=2，
又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以-2m-1>0，即m<-12，
即m=-1，则g(x)=2x-12x，
因为y=2x与y=-12x均在R上单调递增，
所以函数g(x)在R上单调递增．
(2)因为g(-x)=2-x-12-x=-(2x-12x)=-g(x)，
所以g(x)是奇函数，
所以不等式g(1-3t)+g(1+t)⩾0可变为g(1-3t)⩾-g(1+t)=g(-1-t)，
由(1)知g(x)在R上单调递增，所以1-3t⩾-1-t，
解得t⩽1.故实数t的取值范围是(-∞,1]．;
【解析】该题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)由f(x)是幂函数，得到m2-m-1=1，再由f(x)在(0,+∞)上单调递增，得到-2m-1>0，从而求出m=-1，进而g(x)=2x-12x，由此能求出函数g(x)在R上单调递增．
(2)由g(-x)=2-x-12-x=-(2x-12x)=-g(x)，得到g(x)是奇函数，从而不等式g(1-3t)+g(1+t)⩾0可变为g(1-3t)⩾-g(1+t)=g(-1-t)，由此能求出实数t的取值范围．

19.【答案】解：根据题干可以得到：T-Ta=(T0-Ta)·(12)th．
代入对应公式可得：57℃-25℃=(89℃-25℃)(12)10h12=(12)10h，解得h=10．
则得到40℃-25℃=(89℃-25℃)(12)t10．
可以解得t≈21．;
【解析】
由已知条件代入所给的式子可求出h=10，再计算所求结果．
此题主要考查选择选择合适函数模型解决实际问题，属于中档题．

20.【答案】解：（1）依题意，得y= 400（10-x）+800[12-（10-x）]+300x+500（6-x），即 y=200x+8600(0≤x≤6,x∈N）.
（2）由y≤9000，解得x≤2.又∵x∈N，0⩽x⩽6, ∴x=0，1、2，∴共有3种调运方案. (3）由一次函数的单调性知，当x=0时，总运费y最低为8600元，调运方案为从乙地调6台给B地，从甲地调10 台给A地、调2台给B地，这种调运方案的总运费最低，最低运费为8600元.;
【解析】略

21.【答案】解：（Ⅰ）函数可化为f(x)=-3(x＜-2)2x+1(-2≤x≤1)3(x＞1)，
∴f（x）∈[-3，3]（5分）
（Ⅱ）若x＞0，则g(x)=ax2-3x+3x=ax+3x-3≥23a-3，
即当ax2=3时，g(x)min=23a-3，又由（Ⅰ）知
∴f（x）max=3（8分）
若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，
即g（x）min≥f（x）max，
∴23a-3≥3，
∴a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．（10分）;
【解析】
(1)将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；
(2)恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g(x)min⩾f(x)max．
将含参不等式恒成立问题等价转化为函数最值问题运用参数分离法使原不等式化为一端只含参数的解析式，另一端化为与参数无关的主变元函数，这样函数的关系就由“隐”化为“显”．

22.【答案】解：（1）∵f（x）为定义R上的奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-x+1]=-x2+x-1，
故f（x）={x2+x+1，x＞00，x=0-x2+x-1，x＜0；
（2）∵f（ax2-2x）+f（2-ax）＞0，
∴f（ax2-2x）＞f（ax-2），
当x＞0时，f（x）单调递增且f（x）＞1，
且f（0）=0，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，
又f（x）为奇函数，
故f（x）在R上单调递增，
故ax2-2x＞ax-2，
即ax2-（a+2）x+2＞0，
即（ax-2）（x-1）＞0，
①当a＞2时，x∈（-∞，2a）∪（1，+∞）；
②当a=2时，x∈（-∞，1）∪（1，+∞）；
③当0＜a＜2时，x∈（-∞，1）∪（2a，+∞）；
④当a=0时，x∈（-∞，1）；
⑤当a＜0时，x∈（2a，1）；
综上：当a＞2时，x∈（-∞，2a）∪（1，+∞）；
当a=2时，x∈（-∞，1）∪（1，+∞）；
当0＜a＜2时，x∈（-∞，1）∪（2a，+∞）；
当a=0时，x∈（-∞，1）；
当a＜0时，x∈（2a，1）．;
【解析】
(1)由f(x)为定义R上的奇函数求x=0及x<0时的解析式即可；
(2)结合函数的奇偶性可判断f(x)在R上单调递增，从而化不等式为ax2-2x>ax-2，分类讨论求解集即可．
此题主要考查了函数的性质的判断与应用，应用了分类讨论的思想方法，属于中档题．