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    数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数优质ppt课件

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    这是一份数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数优质ppt课件,共21页。PPT课件主要包含了学习目标,随堂小测,课堂小结等内容,欢迎下载使用。

    1.通过具体实例,结合函数 的图象,理解幂函数图象的变化规律.2.了解幂函数的概念.核心素养:数学抽象、数学建模、直观想象

    【探究】(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克,那么他需要支付 的钱数P=t元,这里P是t的函数;
    (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数;
    (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数;
    (4)如果正方形广场的面积为S,那么广场的边长c= ,这里c是S的函数;
    (5)如果某人t秒内汽车前进了1km,那么他的平均速度v= km/s,这里 v是t的函数;
    【以下各个函数有什么共同的特征?】
    可以发现,这些函数的表达式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数.分别是1,2,3,0.5,-1;它们都是形如 的函数.
    一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.
    【1】在函数① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中,是幂函数的是( ) .
    【解】根据幂函数的定义,只有①⑤⑥是幂函数. 选项②系数不为1;选项③系数不为1且多了常数项 选项④同理.
    【1】 的系数为1
    【2】 的底数为自变量
    【3】 的指数为常数
    只有同时满足这三个条件的,才是幂函数.形如 等的函数不是幂函数.
    判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为 ( 为常数)的形式.反过来,若一个函数为幂函数,那么它也一定具有这个形式.在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.
    【1】已知幂函数 的图像经过点 ,求这个函数的表达式.
    【解】由题意设函数的表达式为
    把点 代入,得:
    即 ,所以
    所以这个函数的表达式为
    和初中解决一次函数一样,利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数,所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式.
    【说明】对于幂函数,我们只研究 时图像的性质.
    在同一坐标系中画出函数
    【总结】①只有 时图像才是直线;
    ②图像一定会出现在第一象限, 一定不会出现在第四象限;
    ③图像一定经过 (1,1) 这个定点;
    ④第一象限内 由上到下递减.
    【总结】⑤ 时,图像在定义域内上升;
    ⑥ 时,图像在第一象限下降;
    ⑦只有 时,图像才与坐标轴 相交,且交点一定为原点;
    ⑧ 时,图像是y=1这条直线.
    【1】求幂函数 的定义域并讨论其奇偶性和单调性.
    【解】因为 , ,又 为 两个连续的正整数相乘,其结果必为正偶数,所以 为正奇数,所以函数的定义域为R.
    由 为正奇数,得
    ,所以 为增函数.
    因为 ,所以 是正的奇次方根,所以 在定义域内为增函数.
    和 两种情况下幂函数的图像变化及性质表:
    在(0,+∞)上都有定义,定义域与a的取值有关
    图像过点(0,0)和点(1,1)
    在(0,+∞)上是增函数
    在(0,+∞)上是减函数
    在第一象限,当0<a<1时,图像上凸;当a>1时,图像下凹
    在第一象限,图像都下凹
    【2】利用幂函数的性质,比较下列两个数的大小.
    【解】设 ,则 在R上为增函数.
    比较大小用作差法.由增减性,根据自变量的大小,比较函数值的大小;或者根据函数值的大小,比较自变量的大小.
    ∵ -1.5<-1.4,∴ (-1.5)3<(-1.4)3
    (-1.5)3 和 (-1.4)3
    幂函数 奇偶性的判断方法
    【例题】证明幂函数 是增函数.
    【证明】函数的定义域是[0,+∞).
    因为 , ,所以
    即幂函数 是增函数.
    2.以下结论正确的是A.当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增 大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限
    A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
    4.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a
    所以5a<0.5a<5-a.
    5.先分析函数 的性质,再画出其图象.
    1.幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数,这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查:(1)α>0时,图象过点(0,0),(1,1),在第一象限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性,α>1时,曲线下凸;0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸.3.在具体应用时,不一定是y=xα,α=-1, ,1,2,3这五个已研究熟的幂函数,这时可根据需要构造幂函数,并针对性地研究某一方面的性质.
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