北师大版八年级上册3 一次函数的图象知识点教学设计

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专题05 一次函数图象与性质
知识网络



重难突破
知识点一 一次函数图象性质及变换
1．一次函数的定义
若两个变量，间的对应关系可以表示成(，为常数，)的形式，则称是的一次函数．特别地，当时，称是的正比例函数．


2．一次函数的图象性质


3．一次函数(，为常数，)沿坐标轴平移个单位长度后的函数关系式

平移
平移变换后的函数关系式
沿轴
向上平移个单位长度

向下平移个单位长度

沿轴
向右平移个单位长度

向左平移个单位长度


4．一次函数(，为常数，)关于坐标轴对称后的函数关系式

关于坐标轴对称
对称变换后的函数关系式
关于轴对称

关于轴对称


典例1
(2019•常德)若一次函数y＝(k﹣2)x+1的函数值y随x的增大而增大，则(　　)
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
【解答】解：由题意，得
k﹣2＞0，
解得k＞2，
故选：B．
典例2
(2018秋•福田区期末)一次函数y＝kx﹣k(k＜0)的图象大致是(　　)
A． B．
C． D．
【解答】解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，
故选：D．
典例3
(2020春•东阿县期末)如图，两直线y1＝kx+b和y2＝bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是(　　)
A． B．
C． D．
【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＞0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，符合；
B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，不符合；
C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；
D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；
故选：A．
典例4
(2019秋•武侯区期末)如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为　 　．

【解答】解：设直线OA的解析式为：y＝kx，
把(1，2)代入，得k＝2，
则直线OA解析式是：y＝2x．
将其上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+3．
故答案是：y＝2x+3．

知识点二 一次函数与二元一次方程(组)
1．一次函数与二元一次方程的关系
一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上．

2．一次函数与二元一次方程组的关系
如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应二元一次方程组的解．
所以求两直线交点的方法为：联立函数关系式，求解方程组．
已知两直线和相交于一点，求交点坐标．
①联立两个直线的函数关系式得到方程组
②解关于x和y的方程组，得到交点坐标．
用一次函数的图象法求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法．

典例1
(2019秋•永安市期末)如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A(﹣1，b)，则关于x、y的方程组的解为(　　)

A． B． C． D．
【解答】解：∵直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝mx+n交于点A(﹣1，b)，
∴当x＝﹣1时，b＝﹣1+3＝2，
∴点A的坐标为(﹣1，2)，
∴关于x、y的方程组的解是，
故选：C．
典例2
(2019秋•峄城区期末)如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝﹣3x+k的图象相交于点P(1，m)，则两条直线与x轴围成的三角形的面积为　　．

【解答】解：∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝﹣3x+k的图象相交于点P(1，m)，
∴m＝2×1＝2，m＝﹣3+k
∴k＝5，
∴一次函数解析式为y＝﹣3x+5，
∴一次函数y＝﹣3x+5的图象与x轴的交点坐标为(，0)
∴两条直线与x轴围成的三角形的面积2

典例3
(2019秋•罗湖区校级期末)如图，函数y＝ax+4和y＝2x的图象相交于点A(m，3)，则不等式ax+4＞2x的解集为(　　)

A．x B．x＜3 C．x D．x＞3
【解答】解：∵函数y＝2x过点A(m，3)，
∴2m＝3，
解得：m，
∴A(，3)，
∴不等式ax+4＞2x的解集为x．
故选：A．


巩固训练

一、单选题(共6小题)
1．(2019秋•新密市期末)一次函数，y随x的增大而增大，则该函数的图象经过第(　　)象限．
A．一、三、四 B．一、二、三 C．一、二、四 D．二、三、四
【解答】解：由题意得：，解得：m＝±2，
y随x的增大而增大，故m＞0，
故m＝2，
一次函数表达式为：y＝x+1，
该图象过一、二、三象限，
故选：B．
2．(2019秋•历下区期末)在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　)

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选：C．
3．(2019秋•金牛区期末)已知点(﹣3，y1)，(1，y2)都在直线yx+b上，则y1，y2的值的大小关系是(　　)
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【解答】解：当x＝﹣3时，y1(﹣3)+b＝1+b，
当x＝1时，y21+bb．
∵1+bb，
∴y1＞y2．
故选：A．
4．(2020春•滨城区期末)如图所示，已知点A(﹣1，2)是一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象上的一点，则下列判断中正确的是(　　)

A．y随x的增大而减小 B．k＞0，b＜0
C．当x＜0时，y＜0 D．方程kx+b＝2的解是x＝﹣1
【解答】解：由图象知，
A、y随x的增大而增大；
B、k＞0，b＞0；
C、当x＜0时，y＞0或y＜0；
D、方程kx+b＝2的解是x＝﹣1，
故选：D．
5．(2019秋•南山区期末)两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的(　　)
A． B．
C． D．
【解答】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
A．y1＝ax﹣b：a＞0，b＜0；y2＝bx﹣a：a＜0，b＜0．A错误；
B．y1＝ax﹣b：a＞0，b＜0；y2＝bx﹣a：a＞0，b＜0．B正确；
C．y1＝ax﹣b：a＞0，b＞0；y2＝bx﹣a：a＜0，b＜0．C错误；
D．y1＝ax﹣b：a＞0，b＞0；y2＝bx﹣a：a＞0，b＜0．D错误；
故选：B．
6．(2020春•兰陵县期末)如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点(2，0)，点(0，3)．有下列结论：
①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；
②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；
③当x＞2时，y＜0；
④当x＜0时，y＜3．其中正确的是(　　)

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【解答】解：由图象得：①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，正确；
②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0，正确；
③当x＞2时，y＜0，正确；
④当x＜0时，y＞3，错误；
故选：A．
二、填空题(共5小题)
7．(2019秋•罗湖区校级期末)若函数y＝(k﹣1)x+2是一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围是　 　．
【解答】解：∵一次函数y＝(k﹣1)x+2图象是函数值y随自变量x的值增大而减小，
∴k﹣1＜0，
解得，k＜1；
故答案是：k＜1．
8．(2019秋•福田区期末)我们规定：当k，b为常数(k≠0，b≠0)时，称y＝kx+b与yx互为倒数函数，例如：y＝3x﹣5的倒数函数是yx，则在平面直角坐标系中，函数y＝2x﹣4与它倒数函数两者图象的交点坐标为　 　．
【解答】解：由题可得，函数y＝2x﹣4的倒数函数为yx，
解方程组，
可得，
∴函数y＝2x﹣4与它倒数函数两者图象的交点坐标为(，1)．
故答案为：(，1)．
9．(2019秋•胶州市期末)如图，一次函数y＝kx+b的图象l1与一次函数y＝﹣x+3的图象l2相交于点P，则方程组的解为　　 ．

【解答】解：从图象可知：两函数图象都过点P(a，2)，
把点P的坐标代入一次函数y＝﹣x+3得：2＝﹣a+3，
解得：a＝1，
即P的坐标为(1，2)，
所以方程组的解为，
故答案为：．
10．(2020•亭湖区一模)如图，在平面直角坐标系中，点A(12，0)，点B(0，4)，点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　 　．

【解答】解：如图所示，

将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为(﹣4，﹣8)，
由于旋转可知，△ABC为等腰直角三角形，令线段AC和线段BP交于点M，则M为线段AC的中点，
所以点M的坐标为(4，﹣4)，又B为(0，4)，设直线BP为y＝kx+b，将点B和点M代入可得，
解得k＝﹣2，b＝4，可得直线BP为y＝﹣2x+4，由于点P为直线BP和直线y＝﹣x﹣1的交点，
则由解得，所以点P的坐标为(5，﹣6)，
故答案为(5，﹣6)．
11．(2018秋•罗湖区期末)如图，直线l1⊥x轴于点(1，0)，直线l2⊥x轴于点(2，0)，直线l3⊥x轴于点(3，0)，…，直线ln⊥x轴于点(n，0)(其中n为正整数)．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S，四边形A1A2B2B1的面积记作S1，四边形A2A3B3B2的面积记作S2，…，四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积记作Sn，那么S2018＝　 　．

【解答】解：根据题意得AnBn＝2n﹣n＝n，
An+1Bn+1＝2n+1﹣n＝n+1，
∵直线ln⊥x轴于点(n，0)，直线ln+1⊥x轴于点(n+1，0)，
∴AnBn∥An+1Bn+1，且ln与ln+1间的距离为1，
∴四边形AnAn+1Bn+1Bn是梯形，
Sn(n+n+1)×1(2n+1)，
当n＝2018时，S2018(2×2018+1)＝2018.5．
故答案为：2018.5．

三、解答题(共2小题)
12．(2019秋•罗湖区校级期末)如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别相交于E，F．点E的坐标为(﹣6，0)，点P是直线EF上的一点．
(1)求k的值；
(2)若△POE的面积为6，求点P的坐标．

【解答】解：(1)把E的坐标为(﹣6，0)代入直线y＝kx+3得，
﹣6k+3＝0，解得：k，
答：k的值为．
(2)设P(x，y)，
∵S△POEOE•|y|6×|y|＝6，
∴|y|＝2，即y＝2，或y＝﹣2，
当y＝2时，即2x+3，解得：x＝﹣2，∴P(﹣2，2)
当y＝﹣2时，即﹣2x+3，解得：x＝﹣10，∴P(﹣10，﹣2)
答：点P的坐标为(﹣2，2)或(﹣10，﹣2)
13．(2019春•河南期末)阅读如下材料，然后解答后面的问题：
已知直线l1：y＝﹣2x﹣2和直线l2：y＝﹣2x+4如图所示，可以看到直线l1∥l2，且直线l2可以由直线l1向上平移6个单位长度得到，直线l2可以由直线l1向右平移3个单位长度得到．这样，求直线l2的函数表达式，可以由直线l1的函数表达式直接得到．即：如果将直线l1向上平移6的单位长度后得到l2，得l2的函数表达式为：y＝﹣2x﹣2+6，即y＝﹣2x+4；如果将直线l1向右平移3的单位长度后得到得l2，l2的函数表达式为：y＝﹣2(x﹣3)﹣2，即y＝﹣2x+4．
(1)将直线y＝2x﹣3向上平移2个单位长度后所得的直线的函数表达式是　　 ；
(2)将直线y＝3x+1向右平移m(m＞0)个单位长度后所得的直线的函数表达式是　　 ；
(3)已知将直线yx+1向左平移n(n＞0)个单位长度后得到直线yx+5，则n＝　 　．

【解答】解：(1)将直线y＝2x﹣3向上平移2个单位长度后所得的直线的函数表达式是y＝2x﹣3+2，即y＝2x﹣1．
故答案为y＝2x﹣1；

(2)将直线y＝3x+1向右平移m(m＞0)个单位长度后所得的直线的函数表达式是y＝3(x﹣m)+1，即y＝3x﹣3m+1．
故答案为y＝3x﹣3m+1；

(3)∵将直线yx+1向左平移n(n＞0)个单位长度后得到直线y(x+n)+1，即yxn+1，
∴n+1＝5，解得n＝8．
故答案为8．