2020-2021学年3 一次函数的图象学案及答案

一次函数的图象和性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；

2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．

3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、函数图象及一次函数的定义

1.函数图象的概念

    把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.

2.一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.

要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.

3.画函数图象的一般步骤

   总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤

   第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．

   第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．

   第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．

要点二、一次函数的图象与性质

1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；

当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；

当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.

2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：

3. 、对一次函数的图象和性质的影响：

决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．

4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：

（1）与相交；   （2），且与平行；

要点三、待定系数法求一次函数解析式

　  一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.

要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.

要点四、分段函数

对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.

要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.

【典型例题】

类型一、待定系数法求函数的解析式 

1、根据函数的图象，求函数的解析式．

【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此＝2，可以设函数的解析式为，再利用过点（1.5，0），求出相应的值.

【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.

解：设函数的解析式为.

它的图象过点（1.5，0），（0，2）

∴该函数的解析式为.

【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.

举一反三：

【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．

【答案】  ；

提示：设一次函数的解析式为，它的图象与的图象平行，则，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋．解得．

∴  一次函数解析式为．

【变式2】（2020•岳池县模拟）如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．

（1）求该一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y=kx+b得，

解得．

所以一次函数解析式为y=x+；

（2）把x=0代入y=x+得y=，

所以D点坐标为（0，），

所以△AOB的面积=S△AOD+S△BOD

=××2+××1

=．

类型二、一次函数图象的应用

2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．

【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．

【答案与解析】

解：根据图象，当0≤≤50时，可设解析式为，

将(50，25)代入解析式，所以，所以；

    当＞50时可设解析式为，

将(50，25)，(100，70)代入解析式得，

解得，所以．

所以当0≤≤50时函数解析式为；当时函数解析式为．

∴  所求的一次函数解析式为：．

【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围.

举一反三：

【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是(    )

A.14分钟  B.17分钟  C.18分钟  D.20分钟

【答案】D；

提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.

类型三、一次函数的性质

3、（2020秋•高新区校级期末）已知一次函数y=（2m+4）x+（3﹣n）．

（1）当m、n是什么数时，y随x的增大而增大；

（2）当m、n是什么数时，函数图象经过原点；

（3）若图象经过一、二、三象限，求m、n的取值范围．

【答案与解析】

（1）2m+4＞0，即m＞﹣2，n为任何实数时，y随x的增大而增大；

（2）当m、n是满足即时，函数图象经过原点；

（3）若图象经过一、二、三象限，则，即．

【总结升华】一次函数的图象有四种情况：

①当＞0，＞0时，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；

②当＞0，＜0时，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；

③当＜0，＞0时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；

④当＜0，＜0时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．

4、（2020•玉林）关于直线l：y=kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（　　）

A．点（0，k）在l上                  B．l经过定点（﹣1，0）

C．当k＞0时，y随x的增大而增大      D．l经过第一、二、三象限

【思路点拨】直接根据一次函数的性质选择不正确选项即可．

【答案与解析】

解：A、当x=0时，y=k，即点（0，k）在l上，故此选项正确；

B、当x=﹣1时，y=﹣k+k=0，此选项正确；

C、当k＞0时，y随x的增大而增大，此选项正确；

D、不能确定l经过第一、二、三象限，此选项错误；

故选D．

【总结升华】本题解题的关键是掌握一次函数的性质，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．

举一反三：

【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（    ）．

【答案】B；

提示：不论为正还是为负，都大于0，图象应该交于轴上方，故选B.