初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试优秀同步训练题

数学八年级下册第一章三角形的证明检测题

(考试时间：120分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是                                                （B）

A．，，    B．1，，

C．6，7，8         D．2，3，4

2．如图，已知CF垂直平分AB于点E，∠ACD＝70°，则∠A的度数是  （B）

A．25°    B．35°    C．40°    D．45°

第2题图

3．在用反证法证明命题“若a，b是整数，ab能被3整除，则a，b中至少有一个能被3整除”时，应该假设（D）

A．a，b都能被3整除   

B．a不能被3整除

C．a，b不都能被3整除   

D．a，b都不能被3整除

4．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是   （D）

A．3    B．4    C．5    D．6

                  第4题图

5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，CE＝4，则AE的长为   （D）

A．2    B．4        C．6    D．8

6．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（D）

A.2.5 s      B．3 s     C．3.5 s       D．4 s

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是如果一个三角形的两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真(选填“真”或“假”)命题．

8．等边三角形ABC的周长为12 cm，则它一边上的高为2 cm．

9．(兴化市期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠A＝32°，则∠BCD＝32°．

第9题图　第10题图

10．如图，O是△ABC的两个外角平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D，E，F是垂足，则点O在∠BAC的平分线上．

11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，斜边AC的垂直平分线DE与BC的交点是D，连接AD，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则DC的长为6.25 cm．

12．在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，1)，点P为坐标轴上一点，若要使△ABP为直角三角形，则点P的坐标为(0，0)或(1，0)或(0，－1)．

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．

证明：∵∠C＝90°，

∠A＝30°，

∴∠ABC＝90°－30°＝60°.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°.

∴∠A＝∠ABD.∴DA＝DB.

∴点D在AB的垂直平分线上．

14．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.求证：DE＝BD＋EC.

证明：∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB＝∠CEA＝90°.

∴在Rt△ABD和

Rt△CAE中，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，

∴AD＝CE，

∴DE＝AE＋AD＝BD＋EC.

15．如图，OE平分∠AOB，在OA，OB上取OC＝OD，点P是OE上一点，PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N.问线段PM与PN有什么关系？证明你的结论．

解：PM＝PN.

证明如下：易证

△COE≌△DOE(SAS)，

∴∠OEC＝∠OED，

又∵PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N，

∴PM＝PN.

16．在正方形网格中，点A，B，C都是格点，仅用无刻度的直尺按下列要求作图．

(1)在图①中，作线段AB的垂直平分线；

(2)在图②中，作∠ABC的角平分线．

解：(1)如图所示：直线CD即为所求．

(2)如图所示：射线BD即为所求．

17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．

解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，∴∠DEC＝90°.

∵∠ADC＝125°，

∴∠DCE＝∠ADC－∠DEC＝35°.

∵CD平分∠ACB.

∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.

又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.

∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AB＋CD＝12 cm，求△ABC的周长；

(2)用反证法证明：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.

(1)解：∵在△ABC中，

AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∵AB＋CD＝12 cm，

∴AC＋BD＝12 cm，

∴△ABC的周长为

(AB＋CD)＋(AC＋BD)＝24 cm.

(2)证明：假设∠B＝∠C，则

AB＝AC，这与已知AB≠AC矛盾，

∴假设不成立，

∴∠B≠∠C.

19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF.

证明：∵AD平分∠BAC，,DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∴D点在线段EF的垂直平分线上．

在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，

∴AE＝AF，∴A点在线段EF的垂直平分线上．

∵两点确定一条直线，∴AD垂直平分EF.

20．如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20 cm，D是腰AB上一点，且CD＝16 cm，BD＝12 cm.,(1)求证：CD⊥AB；,(2)求该三角形的腰长．

(1)  证明：∵BC＝20 cm，CD＝16 cm，BD＝12 cm.

∴BD2＋CD2＝BC2，∴根据勾股定理逆定理可知∠BDC＝90°，即CD⊥AB.

(2)  解：设腰长为x cm，则AD＝(x－12) cm，

由(1)可得AD2＋CD2＝AC2，即(x－12)2＋162＝x2，解得x＝.

∴该三角形的腰长为 cm.

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC.

(1)  求证：△PMN是等边三角形；

(2)  若AB＝9 cm，求CM的长度．

(1)  证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，

∵PN⊥AC，∴∠APN＝30°.

又∵MP⊥AB，∴∠MPN＝60°，

同理可得∠PMN＝∠MNP＝∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．

(2)  解：由(1)知PN＝PM＝MN.∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠MPB＝∠PNA＝∠NMC，

∴△APN≌△BMP≌△CNM，∴AN＝BP＝CM，

∵在Rt△APN中，∠APN＝30°，∴AN＝AP，则BP＝AN＝AB，

∵AB＝9 cm，

∴CM＝BP＝3 cm.

22．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF.

(1)  如图①，当点O在BC边中点时，试说明AB＝AC；

(2)  如图②，当点O在△ABC内部时，且OB＝OC，试说明AB与AC的关系，并给出证明过程；

(3)  当点O在△ABC外部时，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．(画出图形，写出结果即可，无须说明理由),

①　  　                    ②

解：(1)∵OE＝OF，OB＝OC，

∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.

(2)AB＝AC.,证明：同(1)易证得Rt△OBE≌Rt△OCF，

∴∠OBE＝∠OCF，OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC.

(3)如图③，当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB＝AC成立；③ 　　④

如图④，当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立．(图形不唯一，符合题意，画图规范即可)

六、(本大题共12分),23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，若点P从点A出发，以每秒2 cm的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒(t＞0).

(1)  若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；

(2)  若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；

(3)  在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

①      ②         ③

解：(1)由题意得PA＝PB＝2t，PC＝4－2t，

在Rt△PCB中，PC2＋CB2＝PB2，

即(4－2t)2＋32＝(2t)2，解得t＝，

∴当t＝时，PA＝PB.

(2) 当点P在∠BAC的平分线上时，如图①，过点P作PE⊥AB于点E，此时有,BP＝7－2t，PE＝PC＝2t－4，BE＝5－4＝1，

在Rt△BEP中，PE2＋BE2＝BP2，

即(2t－4)2＋12＝(7－2t)2，解得t＝，

当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，

∴当t＝或6时，点P恰好在∠BAC的平分线上.

(3)在Rt△ABC中，∵AB＝5 cm，BC＝3 cm，

∴AC＝4 cm，根据题意得AP＝2t，

当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，

∴PC＝BC，即4－2t＝3，∴t＝，

当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，

①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，

如图②，过P作PE⊥BC于E，,∴BE＝BC＝，∴PB＝AB，

即2t－3－4＝，解得t＝，

②PB＝BC，即2t－3－4＝3，解得t＝5，

③PC＝BC，如图③，过C作CF⊥AB于F，

∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，

∴CF＝＝＝，

∴BF＝＝.

∴＝，∴t＝.

∴当t＝，5，或时，△BCP为等腰三角形．