高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数精品课件ppt

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数精品课件ppt，共40页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

1.两角和与差的正弦公式
sin αcs β+cs αsin β
sin αcs β-cs αsin β
【思考】　对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗?提示:可简单记为“正余余正,符号相同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.
2.辅助角公式辅助角公式:asin x+bcs x= ·sin(x+φ)(或asin x+bcs x= ·cs(x-φ)),其中sin φ= ,cs φ= (或cs φ= ,sin φ= ).
【思考】　辅助角公式是如何推导出来的?提示:推导过程:asin x+bcs x= 令cs φ= ,sin φ= ,则asin x+bcs x= (sin xcs φ+cs xsin φ)= sin(x+φ).
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(　　)(2)存在α,β∈R,使得sin(α+β)=sin α+sin β成立.(　　)(3)sin 56°cs 26°-cs56°sin 26°=sin 30°. (　　)
提示:(1)√.根据公式的推导过程可得.(2)√.当α=30°,β=0°时,sin(α+β)=sin α+sin β.(3)√.因为sin 56°cs 26°-cs 56°sin 26°=sin(56°-26°)=sin 30°,故原式正确.
2.cs 17°sin 13°+sin 17°cs 13°的值为(　　)A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.以上都不对【解析】选A.原式=sin(13°+17°)= sin 30°= .
3.(教材二次开发:例题改编)函数y=sin x-cs x的最小正周期是(　　)A. B.πC.2πD.4π【解析】选C.y=sin x-cs x= 所以函数的最小正周期为T=2π.
4.已知α为锐角,sin α= ,β是第四象限角,cs(π+β)=- ,则sin(α+β)=________. 【解析】因为α为锐角且sin α= ,所以cs α= .又β为第四象限角,且cs(π+β)=-cs β=- ,所以cs β= ,sin β=- .所以sin(α+β)= × + × =0.答案:0
类型一　给角求值问题(数学运算)【题组训练】1.cs 70°sin 50°-cs 200°sin 40°的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.- B.- C. D. 2. 的值是(　　) 3.若θ是第二象限角且sin θ= ,则cs(θ+60°)=________. 
【解析】1.选D.cs 70°sin 50°-cs 200°sin 40°=cs 70°sin 50°-(-sin 70°)cs 50°=sin(50°+70°)=sin 120°= .2.选A.原式
3.因为θ是第二象限角且sin θ= ,所以cs θ=所以cs(θ+60°)= cs θ- sin θ 答案:-
【解题策略】解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)解决三角函数的给角求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.
【补偿训练】1. =(　　) 【解析】选C.
2.(tan 10°- ) =________. 【解析】原式=(tan 10°-tan 60°) 答案:-2
类型二　给值求值(角)问题(数学运算)【典例】设α∈ ,若cs α=- ,sin β=- ,求sin(α+β)的值.【思路导引】应用公式⇒注意角的范围⇒所求角的正弦值.
【解析】因为α∈ ,cs α=- ,所以sin α= ,因为β∈ ,sin β=- ,所以cs β= .所以sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β= × + × = .
【变式探究】1.(变结论)若条件不变,试求sin(α-β)+cs(α-β)的值.【解析】sin(α-β)+cs(α-β)=sin αcs β-cs αsin β+cs αcs β+sin αsin β=
2.(变条件)若将角β的条件改为β 为第三象限角,其他条件不变,则结果如何?【解析】因为α∈ ,cs α=- ,所以sin α= .因为β为第三象限角,sin β=- ,所以cs β=- .所以sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β= × + × =- + =0.
【解题策略】解决给值求值问题的解题策略1.当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.
【跟踪训练】1.已知 (α为锐角),则sin α=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】选D.因为α∈ ,cs = >0,所以α+ ∈ .所以sin = 所以sin α=sin =sin cs -cs sin
2.已知sin α= ,cs β=- ,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.【解析】因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin α= ,cs β=- ,所以cs α= ,sin β= ,所以sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β= × + × = .
类型三　辅助角公式的应用(数学运算)【典例】1.cs α- sin α化简的结果可以是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. cs B.2cs C. cs D.2cs 2.若函数f(x)=5cs x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cs θ等于(　　)A. 　B.- 　C. 　D.- 【思路导引】利用辅助角公式进行变形.
【解析】1.选B.cs α- sin α=2 =
2.选B.f(x)=5cs x+12sin x=13 =13sin(x+α),其中sin α= ,cs α= ,由题意知θ+α=2kπ- (k∈Z)得θ=2kπ- -α(k∈Z),所以cs θ=cs =-sin α=- .
【解题策略】　把形如y=asin x+bcs x的式子化为y= sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
【跟踪训练】1.函数f(x)=sin x-cs x,x∈ 的最小值为(　　)A.-2 　B.- 　C.- 　D.-1【解析】选D.f(x)= sin ,因为0≤x≤ ,所以- ≤x- ≤ ,- ≤sin ≤ ,所以f(x)的最小值为-1.
2.已知sin 则cs x+cs 的值为(　　)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　A.- B. C.- D. 【解析】选B.cs x+cs =cs x+ cs x+ sin x= cs x+ sin x= sin = .
【补偿训练】1.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cs x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是(　　) 【解析】选A.f(x)=cs x-sin x= cs 在 上单调递减,所以[-a,a]⊆ ,故-a≥- 且a≤ ,解得02.若f(x)=3sin x-4cs x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是(　　)
【解析】选D.因为f(x)=3sin x-4cs x=5sin(x-φ) ,则sin(a-φ)=±1,所以a-φ=kπ+ ,k∈Z,即a=kπ+ +φ,k∈Z,而tan φ= 且0<φ< ,所以 <φ< ,所以kπ+ 1.若cs α=- ,α是第三象限角,则sin =(　　) 【解析】选A.因为cs α=- ,α为第三象限角,所以sin α=- ,由两角和的正弦公式得sin =sin αcs +cs αsin
2.函数f(x)=sin x-cs 的值域为(　　)A.[-2,2]　　　　　B. C.[-1,1]D. 【解析】选B.f(x)=sin x-cs =sin x- cs x+ sin x= sin x- cs x= sin ,所以函数f(x)的值域为 .
3.sin 155°cs 35°-cs 25°cs 235°=________. 【解析】原式=sin 25°cs 35°+cs 25°sin 35°=sin(25°+35°)=sin 60°= .答案:
4.sin(45°+A)-sin(45°-A)=________. 【解析】sin(45°+A)-sin(45°-A)=2cs 45°sin A= sin A.答案: sin A