初二数学上册秋季班培优讲义 第20讲 因式分解（三）

模块一：换元法

如果在多项式中某个数或式子多次出现，那么可将这个数或式子用一个字母代替，这样做常常使多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式．

（1）整体换元

（2）和积换元

模块二：选主元

在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．

因式分解：（1）          

（2）

（3）

（4）

（1）原式；

（2）原式；

（3）原式

；

（4）令，则

原式

．

【教师备课提示】这道题主要考查整体换元，换元后再十字相乘．

因式分解：（1）

（2）

（1）解法一：将看作一个整体，设，则

原式；

解法二：将看作一个整体，设，则

原式；

解法三：将看作一个整体，过程略．

（2）解法一：令，则

原式

；

解法二：令，则

原式

.

【教师备课提示】这道题主要考查整体换元，但整体换元最好是找平均数换元．

因式分解：（1）

（2）

（1）原式

令，则

原式

；

（2）原式

设，

原式．

【教师备课提示】这道题主要考查先两两组合，再整体换元．

因式分解：（1）

（2）

（1）原式

令，

原式

；

（2）原式，

令，则

原式

．

【教师备课提示】这道题主要考查先拆开，再重新组合，最后再整体换元．

因式分解：（1）

（2）

（1）设，，则

原式；

（2）设，，则

原式

．

【教师备课提示】这道题主要考查和积换元．

因式分解：（1）

（2）

（3）

（1）把a视为未知数，其它视为参数．

原式

；

（2）将原式展开并写成关于a的二次三项式：，可以分解为：，

再次运用十字相乘法可知原式；

（3）选x为主元，原式．

因式分解：（1）

（2）

（1）原式

；

（2）原式．

【教师备课提示】这道题主要考查选主元因式分解，选主元通常用于式子长字母多．

用合适的方法因式分解：（1）

（2）

（3）

（4）

（1）原式（提取公因式和十字相乘）；

（2）原式（分组分解）；

（3）原式（换元）；

（4）原式（先拆开再重组换元）．

【教师备课提示】这道题主要是综合练习下．

因式分解：（1）

（2）

（3）

（4）

（1）；

（2）；

（3）原式；

（4）原式．

因式分解：（1）

（2）

（3）

（1）原式；

（2）原式

设，原式；

（3）原式

设

原式

．

因式分解：（1）

（2）

（1）设，，则

原式；

（2）设，，则

原式

．

因式分解：（1）

（2）

（1）首先将原式按a的降幂排列，写成关于a的二次三项式，此时的“常数”提取公因式即可分解成，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成；

（2）这是x的二次式，“常数项”可分解为再对整个式子运用十字相乘．

因式分解：

原式

．