初二数学上册秋季班培优讲义 第18讲 因式分解（一）

1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．

2．因式分解结果的要求：

3．因式分解基本解法：

“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．

①提取公因式法

几个整式都含有的因式称为它们的公因式．

例如：

把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体．

②公式法

因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．

平方差公式

完全平方公式：

立方差公式：

立方和公式：

三项完全平方公式：

完全立方公式： 

大立方公式：

（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ）

A．            B．

C．     D．

（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．

（1）C；

（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．

【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：

（1）因式分解是一种恒等变形．

（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．

（1）多项式的公因式是___________．

（2）多项式公因式是_________．

（3）观察下列各式：①和；②和；③和；④和，其中有公因式的是___________．

（1）；（2）；（3）②③．

【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，式子找公因式．

因式分解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：

（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取．

原式

（2）视“多”为一：把多项式（如，等）分别整个看成是一个字母．

原式

（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．

原式

（4）提负数：原式

（5）提相反数：原式

（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．

原式．

因式分解（随堂练习）：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）（n是正整数）

（6）

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．

因式分解：（1）                     （2）

（3）            （4）

（5）               （6）

（7）

（1）；

（2）

；

（3）原式；

（4）

；

（5）；

（6）；

（7）原式．

因式分解（随堂练习）：（1）             （2）

（3）          （4）

（5）    （6）

（7）

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

；

（5）原式；

（6）原式；

（7）．

【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．

因式分解：（1）                       （2）

（3）                   （4）

（5）                       

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）

另解：

；

【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式．

因式分解：（1）

（2）

（1）；（2）．

【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．

下列因式分解正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

D．

因式分解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）

．

已知，求的值．

．

∵，∴，则原式．

因式分解：（1）     （2）

（3）      （4）

（5）  （6）

（7）

（1）；

（2）原式=；

（3）

；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）．

因式分解：（1）   （2）   （3）

（1）；

（2）；

（3）．