初二数学上册秋季班培优讲义 第23讲 分式

分式

  模块一  分式方程的基本解法

   模块二  分式方程的增根和无解

模块一：分式方程的基本解法

1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．

2．分式方程的解法：

（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．

（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：

①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；

②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；

⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．

注意：解分式方程一定要验根．

模块二：分式方程的增根和无解

1．分式方程的增根

（1）产生增根的原因

增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．

（2）分式方程增根的应用

如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值．

2．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：

（1）原方程去分母后的整式方程无解；

（2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．

3．分式方程无解与增根的区别：

分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解．

下列方程中哪些是分式方程？

（1）                    （2）

（3） 　　　　　　　　　   （4）

（5）　　　　　　　　　　    （6）

（7）                   （8）

（9）（a为字母系数）    （10）（a为字母系数）

【解析】思路与技巧：分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数．其中分式方程有（3）、（5）、（7）、（8）、（10）

【教师备课提示】这道题主要讲解分式方程的定义，先看是否是方程，再看分母中是否有未知数．

解下列分式方程：（1）

（2）

（3）

【解析】（1）；（2）；

（3）两边同时乘以，得．

解这个方程，得．，检验：时，

不是原分式方程的解，原分式方程无解．

【教师备课提示】这道题主要讲解分式方程的基本解法：

关键两步，去分母，乘以最简公分母；验根，分式方程一定要验根，可能产生增根．

解下列分式方程：（1）

（2）

【解析】（1）原方程化为

方程两边同时乘以，约去分母，

得，整理得，

解这个整式方程，得，

检验：把代入，

得

所以是原方程的增根，原分式方程无解．

（2）原方程可变形为：

方程两边都乘以，

得

整理，得，∴，

检验，当时，

∴原方程的解是．

【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习下，熟悉下分式方程的一般步骤，建议老师们讲解一个，让孩子练习另外一个．

解下列分式方程：（1）

（2）

【解析】（1）原方程为，

∴，

∴，∴，

∴，∴．经检验是原方程的解．

（2）原方程变形为，即，

∴，解得．经检验是原方程的解．

【教师备课提示】这道题主要是分离常数，解分式方程更简单，所以要先观察，建议老师们讲解一个，让学生们练习另一个．

（2013年初二联赛）设实数k满足，解关于x的分式方程：．

【解析】由题意得，，

即，解得，

I．如果，即，则为原方程的增根；

II．如果且，则为原方程的根.

【教师备课提示】这道题主要讲解含参分式方程的解法，其实一样的（注意增根）．

（1）（实外半期）若关于x的分式方程有增根，则增根是________．

（2）如果分式方程出现了增根，那么k的值为________．

（3）（成外半期）若分式方程产生增根，则m的值为________．

（4）如果解方程时出现增根，则m的取值为________．

【解析】（1）；

去分母，得：，移项，得：，

当时，原方程无解，（分母为0的两种情况讨论）

当时为原方程的增根．

（2）1；

（3）或1；

（4）．

【教师备课提示】这道题主要讲解，分式方程有增根，求参数的取值范围，这样的题目在学校学习分式时，是一定会经常考查的题目，也是学生们的易错点，主要是要理解什么是增根，增根是使得分母为0，且是整式方程的根．

（1）若关于x的方程无解，则a的值是___________．

（2）若关于x的分式方程无解，则___________．

（3）若关于x的方程无解，求a的值．

【解析】（1）1或2；

（2）1或；

原方程化为，、、时，原方程均无解．

（3）解：原方程化为，①

∵原方程无解，

∴或，，

得，分别代入①，

得，，

综上知，或．

【教师备课提示】主要是分式方程无解包括两种情况：（1）转化的整式方程无解，（2）整式方程的根都是增根，讲解无解和有增根的关系．（分类讨论计算）

（1）（成外半期）若关于x的方程的根为正数，则m取值范围为________．

（2）若关于的分式方程的解是非负数，则a取值范围是________．

（3）（育才期末）若关于x的方程的解为正数，则a取值范围为_______．

【解析】（1）去分母，得：，化简可得：，

由题意得：且，即：且，

解得：且.

（2）且．

（3）且．

【教师备课提示】在这种问题中，学生们很容易忽略解不可以是增根，易错．

解下列分式方程：（1）     （2）

【解析】（1）;（2）．

解下列分式方程：（1）

（2）

【解析】（1）原方程可变形为：，

化简，去分母可得：，解得；

经检验，是原方程的根．

（2）原方程可化为

化简，得， ∴，解得，，

经检验不是原方程的增根，∴是原方程的根．

（1）若方程有增根，则它的增根是________．

（2）若关于x的分式方程有增根，则m的值是____________．

【解析】（1）;（2）．

（1）若关于x的方程无解，则m的值是________．

（2）当________时，关于x的分式方程无解．

【解析】（1）;（2）．

若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是_________．

【解析】且．