初中数学人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试同步训练题

这是一份初中数学人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试同步训练题，文件包含八年级数学上册专题12因式分解原卷版docx、八年级数学上册专题12因式分解解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题12 因式分解
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2018秋•雨花区校级月考）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路引导】根据题目中的式子，可以求得a﹣b、a﹣c、b﹣c的值，然后对所求式子变形，利用完全平方公式进行解答．
【完整解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
2．（2019秋•天心区校级月考）把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（　　）
A．（x﹣y+4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）
C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）
【思路引导】根据十字相乘法的分解方法，要把x﹣y看作是个整体．
【完整解答】解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，
＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．
故选：C．
3．（2022春•岳麓区校级期末）计算：652﹣352＝（　　）
A．30 B．300 C．900 D．3000
【思路引导】利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
【完整解答】解：652﹣352＝（65+35）（65﹣35）＝100×30＝3000，
故选：D．
4．（2022•长沙模拟）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）﹣x
C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+4
【思路引导】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
【完整解答】解：A．从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C．是因式分解，故C符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故D不符合题意．
故选：C．
5．（2021秋•开福区校级期中）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（　　）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
【思路引导】根据公因式的概念即可得出答案．
【完整解答】解：多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2，
故选：C．
6．（2021秋•望城区期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．4x2﹣4x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+xy+2y2 D．9+x2﹣4x
【思路引导】利用完全平方公式进行分解逐一判断，即可解答．
【完整解答】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合题意；
B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合题意；
C、x2+xy+y2＝（x+y）2，故C不符合题意；
D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合题意；
故选：A．
7．（2021秋•开福区校级期末）下列各式因式分解正确的是（　　）
A．x2+1＝（x+1）2 B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【思路引导】利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可．
【完整解答】解：A．x2+1，不能分解，故A不符合题意；
B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），故B符合题意；
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，不是因式分解，故C不符合题意；
D．x2+2x+1＝（x+1）2，故D不符合题意；
故选：B．
8．（2019秋•芙蓉区校级月考）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【思路引导】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a＝b，即可确定出三角形形状．
【完整解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
9．（2020秋•开福区校级月考）下列因式分解正确的是（　　）
A．2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x） B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x2+4xy+4y2＝（x+2y）2 D．m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n2）
【思路引导】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【完整解答】解：A、2ax2﹣4ax＝2ax（x﹣2），故本选项错误，不符合题意；
B、结果不是乘积的形式，且也不相等，故本选项错误，不符合题意；
C、x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，故本选项正确，符合题意；
D、还能再继续分解因式：m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n2）＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n），故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
10．（2019•岳麓区校级开学）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+4 C．a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣4
【思路引导】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【完整解答】解：A、a2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；
B、a2+4不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；
C、a2+2a+1＝（a+1）2，故正确；
D、a2﹣4a﹣4＝（a﹣2）2﹣8，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2022•开福区三模）因式分解25x﹣xy2＝　x（5+y）（5﹣y）　．
【思路引导】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【完整解答】解：25x﹣xy2
＝x（25﹣y2）
＝x（52﹣y2）
＝x（5+y）（5﹣y），
故答案为：x（5+y）（5﹣y）．
12．（2018秋•岳麓区校级期末）因式分解：2a2+8a+8＝　2（a+2）2　．
【思路引导】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【完整解答】解：原式＝2（a2+4a+4）＝2（a+2）2．
故答案是：2（a+2）2．
13．（2017春•芙蓉区校级月考）分解因式：﹣m3+2m2﹣m＝　﹣m（m﹣1）2　．
【思路引导】原式提取﹣m后，利用完全平方公式分解即可．
【完整解答】解：原式＝﹣m（m2﹣2m+1）＝﹣m（m﹣1）2．
故答案为：﹣m（m﹣1）2
14．（2020秋•长沙月考）分解因式：mx2﹣6mx+9m＝　m（x﹣3）2　．
【思路引导】先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【完整解答】解：mx2﹣6mx+9m＝m（x2﹣6x+9）＝m（x﹣3）2．
故答案为：m（x﹣3）2．
15．（2019•天心区一模）因式分解：x3﹣9x＝　x（x+3）（x﹣3）　．
【思路引导】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【完整解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
16．（2022•开福区一模）分解因式：x2﹣4x＝　x（x﹣4）　．
【思路引导】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
【完整解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
17．（2019春•开福区月考）分解因式：2m2﹣8＝　2（m+2）（m﹣2）　．
【思路引导】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【完整解答】解：2m2﹣8，
＝2（m2﹣4），
＝2（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2（m+2）（m﹣2）．
18．（2021秋•开福区校级期末）已知x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣3x2﹣11x+1＝　4　．
【思路引导】根据已知x2﹣3x﹣1＝0，可得x2＝3x+1．可以利用这个等式对预求的代数式进行降次、化简．
【完整解答】解：2x3﹣3x2﹣11x+1
＝2x×x2﹣3x2﹣11x+1
＝2x×（3x+1）﹣3（3x+1）﹣11x+1
＝6x2+2x﹣9x﹣3﹣11x+1
＝6x2﹣18x﹣2
＝6×（3x+1）﹣18x﹣2
＝18x+6﹣18x﹣2
＝4．
故答案为4．
19．（2019秋•长沙县期末）如图所示，根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解＝　（a+b）（a+4b）　．

【思路引导】根据图形和等积法可以对题目中的式子进行因式分解．
【完整解答】解：由图可知，
a2+5ab+4b2＝（a+b）（a+4b），
故答案为：（a+b）（a+4b）．
20．（2018秋•天心区校级月考）把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是　a（x+y）2　．
【思路引导】首先提取公因式a，再利用完全平方公式进行分解即可．
【完整解答】解：原式＝a（x2+2xy+y2）
＝a（x+y）2．
故答案为：a（x+y）2．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2021秋•长沙县期末）因式分解：
（1）x（a﹣1）+（1﹣a）；
（2）3m2+6mn+3n2．
【思路引导】（1）利用提公因式法分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【完整解答】解：（1）x（a﹣1）+（1﹣a）＝（a﹣1）（x﹣1）；
（2）3m2+6mn+3n2．
＝3（m2+2mn+n2）
＝3（m+n）2．
22．（8分）（2021秋•开福区校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴，解得．
故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值．
【思路引导】设另一个因式为（x+p），得x2+3x+k＝（x+p）（x﹣5）＝x2+（p﹣5）x﹣5p，可知p﹣5＝3，﹣5p＝k，继而求出p和k的值及另一个因式．
【完整解答】解：另一个因式为x+p，
由题意得：x2+3x﹣k＝（x+p）（x﹣5），
即x2+3x﹣k＝x2+（p﹣5）x﹣5p，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x+8）；k的值为40．
23．（8分）（2021秋•长沙县期末）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝　±2　代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
【思路引导】（1）将x＝±2代入即可；
（2）由题意得x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，再由系数关系求a、b即可；
（3）多项式有因式（x﹣2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，再由系数关系求a、b即可．
【完整解答】解：（1）当x＝±2时，x2﹣4＝0，
故答案为：±2；
（2）由题意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），
∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，
∴1﹣a＝1，b＝﹣3，
∴a＝0，b＝﹣3；
（3）当x＝2时，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，
∴多项式有因式（x﹣2），
设另一个因式为（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，
∴a﹣2＝4，2b＝18，
∴a＝6，b＝9，
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．
24．（8分）（2021秋•望城区期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的最小值．
【思路引导】（1）①模仿例题利用分组法进行因式分解即可；
②利用①题结论进行讨论计算；
（2）由题意得ab＝a+b+1，然后将整式M进行配方部分因式分解就能求得此题结果．
【完整解答】解：（1）①ab﹣2a﹣2b+4
＝a（b﹣2）﹣2（b﹣2）
＝（b﹣2）（a﹣2）；
②∵ab﹣2a﹣2b﹣4
＝ab﹣2a﹣2b+4﹣8
＝0，
由①可知：（b﹣2）（a﹣2）＝8，
∵a，b（a＞b）都是正整数，
∴a﹣2＞b﹣2，且a﹣2、b﹣2都为整数，
可得，或或或
解得，或，或（不合题意，舍去），或（不合题意，舍去），
∴当a＝10，b＝3时，
2a+b＝2×10+3＝20+3＝23，
当a＝6，b＝4时，
2a+b＝2×6+4＝12+4＝16，
∴2a+b的值为23或16；
（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得，
ab＝a+b+1，
∴M＝a2+3（a+b+1）+b2﹣9a﹣7b
＝a2+3a+3b+3+b2﹣9a﹣7b
＝（a2﹣6a+9）+（b2﹣4b+4）﹣9﹣4+3
＝（a﹣3）2+（b﹣2）2﹣10，
∴整式M的最小值是﹣10．
25．（8分）（2021秋•长沙期中）阅读理解：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：
（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．

【思路引导】（1）利用题干中所给的方法解答即可；
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，可得AE﹣AG＝1，AE•AG＝；利用题干中的方法可求得AE+AG，利用阴影部分的面积等于正方形GFIH与正方形AGJK的面积之差即可求得结论．
【完整解答】解：（1）设a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，则：
a+b＝﹣2，a2+b2＝10．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴10+2ab＝（﹣2）2．
∴ab＝﹣3．
∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3．
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，
∴AE﹣AG＝1．
∵长方形AEFG的面积是，
∴AE•AG＝．
∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2，
∴AE2+AG2＝1+＝．
∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2，
∴（AE+AG）2＝，
∴AE+AG＝．
∴S阴影部分＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK
＝AE2﹣AG2
＝（AE+AG）（AE﹣AG）
＝×1
＝．
26．（6分）（2021秋•开福区校级期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020
＝（x﹣6）2+1984
∵（x﹣6）2≥0，
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，
∴（x﹣6）2+1984≥1984，
∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，
∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）．
（1）分解因式x2﹣46x+520；
（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；
（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值．
【思路引导】（1）把x2﹣46x+520化为x2﹣46x+232﹣9的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（2）首先把y配方写成y＝＝﹣（x﹣2）2+1314，根据平方的非负性得y的最大值；
（3）用拆项的方法首先把多项式化为m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．
【完整解答】解：（1）x2﹣46x+520
＝x2﹣46x+232﹣9
＝（x﹣23）2﹣9
＝（x﹣26）（x﹣20）；
（2）y＝﹣x2+2x+1313
＝﹣x2+2x﹣1+1314
＝﹣（x2﹣2x+1）+1314
＝﹣（x﹣1）2+1314，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+1314≤1314，
∴y的最大值1314；
（3）m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030
＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020
＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020，
当m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0时代数式有最小值，
解得m＝4，n＝3，最小值为2020．
27．（7分）（2019秋•天心区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？
【思路引导】（1）利用神秘数的定义判断即可；
（2）根据题意表示出两个连续偶数的平方差，利用平方差公式化简即可做出判断；
（3）①根据神秘数得定义，只要证明此长方形的周长为两连续偶数的平方差便可；
②面积不为神秘数，用反证法进行说明．
【完整解答】解：（1）∵28＝82﹣62，
∴28是神秘数；
2014不是神秘数，神秘数必须是4的倍数；
（2）两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，
∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），
∴神秘数是4的倍数；
（3）①设长方形相邻两边长分别为2n+2和2n，（n为正整数），则其周长为：
2[（2n+2）+2n]＝8n+4，
∵（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4，
∴此长方形的周长＝（2n+2）2﹣（2n）2，即此长方形的周长等于两个连续偶数的平方差，
∴该长方形的周长一定为神秘数；
②该长方形的面积不为“神秘数”，理由如下：
长方形的面积为：（2n+2）•2n＝4n（n+1），
设两个连续的偶数为2k+2和2k，（k为非负整数），
假设此长方形的面积为“神秘数”，则4n（n+1）＝（2k+2）2﹣（2k）2，即4n（n+1）＝8k+4，
∴n（n+1）＝2k+1，
∵n为正整数，
∴n（n+1）必为偶数，
而2k+1为奇数，
∴n（n+1）＝2k+1不成立，
∴假设此长方形的面积为“神秘数”不正确，
故该长方形的面积不为“神秘数”．
28．（9分）（2019秋•开福区校级期末）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【思路引导】（1）对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【完整解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），
∵|n﹣n|＝0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，
∴y＝x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）＝，F（26）＝，F（37）＝，F（48）＝＝，F（59）＝，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．