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人教版数学八上14.3 因式分解 备课资料（典型例题）
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这是一份人教版数学八上14.3 因式分解 备课资料（典型例题），共12页。
14.3 因式分解
典型例题
题型一 因式分解
例1 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )
A.m(x-y)＝mx-my
B.x2+2x+1＝x(x+2)+1
C.a2+1＝
D.15x2-3x＝3x(5x-1)
解析：A是整式乘法；B中等号右边不是整式乘积的形式，是和的形式；C中等式右边不是整式乘积的形式.
答案：D
方法归纳
判断一个式子由左边到右边的变形是因式分解的方法：
1.因式分解的结果是整式乘积的形式，如x2+2x+1＝x(x+2)+1不是因式分解，因为x(x+2)+1不是整式乘积的形式.
2.因式分解的结果中每一个因式都是整式，如a2+1＝不是因式分解，因为a+不是整式.
例2 (2020·河北中考)对于①x-3xy＝x(1-3y)，②(x+3)(x-1)＝x2+2x-3，从左到右的变
形，表述正确的是( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
解析：对于①，左边是一个多项式，右边是两个整式的乘积，故①是因式分解；对于②，左边是两个整式的乘积，右边是一个多项式，故②是乘法运算.
答案：C
题型二 公因式
例3 (1)多项式3a2-6ab+3的公因式是 ；
(2)多项式4xy3-16x2-8x的公因式是 ；
(3)多项式x(b+c-a)-y(b+c-a)-(-a+b+c)的公因式是 ；
(4)多项式4x(x-2)2-2x(2-x)的公因式是 .
解析：先确定公因式的系数部分，再确定公因式的字母部分.(1)的公因式是3，因为(1)中最后一项不含字母，故公因式中也不含字母；(2)的公因式的系数是4，字母部分是x；(3)的公因式是b+c-a；(4)式可变形为4x(x-2)2 +2x(x-2)，故公因式的系数为2，字母部分为x(x-2).
答案：(1)3 (2)4x (3)b+c-a (4)2x(x-2)
方法归纳
确定公因式：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开.
题型三 用提公因式法分解因式
例4 (1)(2020·成都中考)分解因式：x2+3x＝ ；
(2)(2020·山东聊城中考)因式分解：x(x-2)-x+2＝ .
解析：(1)的公因式为x，(2)x(x-2)-x+2＝x(x-2)-(x-2)＝(x-2)(x-1).
答案：(1)x(x+3) (2)(x-2)(x-1)
例5 把下列各式分解因式.
(1)12x2y-18xy2-24x3y3；
(2)5x2-15x+5；
(3)-27a2b+9ab2-18ab；
(4)2x(a-2b)-3y(2b-a)-4z(a-2b).
分析：(1)题的公因式为6xy；(2)题的公因式为5；(3)题的公因式为-9ab；(4)题把-3y(2b-a)写成+3y(a- 2b)，可以看出公因式为a-2b.
解：(1)12x2y-18xy2-24x3y3
＝6xy·2x-6xy·3y-6xy·4x2y2
＝6xy(2x-3y-4x2y2)；
(2)5x2-15x+5＝5(x2-3x+1)；
(3)-27a2b+9ab2-18ab＝-9ab(3a-b+2)；
(4)2x(a-2b)-3y(2b-a)-4z(a-2b)
＝2x(a-2b)+3y(a-2b)-4z(a-2b)
＝(a-2b)(2x+3y-4z).
方法归纳
1.提公因式要彻底，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；
2.如果多项式的首项系数是负数，应先提出“-”；
3.把公因式提到前面，余下的因式写在括号内.可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”.
题型四 用平方差公式分解因式
例6 (1)(2020·安徽中考)分解因式：ab2-a＝ ；
(2)(2019·四川广安中考)分解因式：3a4-3b4＝ ；
(3)(杭州中考)若整式x2+ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内分解因式，则k的值可以是 (写出一个即可).
解析：因式分解的一般步骤：一提公因式，二套公式，三分解要彻底.
(1)ab2-a＝a(b2-1)＝a(b+1)(b-1).
(2)3a4-3b4＝3(a4-b4)＝3(a2+b2)(a2-b2)＝3(a2+ b2)(a+b)(a-b).
(3)x2与ky2没有公因式，要使x2+ky2能分解因式，只能考虑平方差公式，而要在有理数范围内分解因式，则k一定是负数，且它的绝对值是一个完全平方数或一个分数的平方，所以k可以是-1，-4，-9，…或-，-，….
答案：(1)a(b+1)(b-1) (2)3(a2+b2)(a+b)(a-b)
(3)-1(答案不唯一)
规律总结
若二项式能因式分解，如果没有公因式可以提取，那么观察二项式是否可以写成平方差的形式，用平方差公式分解因式.
例7 (湖北宜昌中考)小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b，x-y，x+y，a+b，x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字：昌，爱，我，宜，游，美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱美 B.宜昌游 C.爱我宜昌 D.美我宜昌
解析：先提公因式x2-y2，再因式分解.x2-y2＝(x+y)· (x-y)，a2-b2＝(a+b)(a-b).即原式＝(x2-y2)(a2-b2)＝(x-y)(x+y)(a+b)(a-b)，根据结果中不含有因式x2-y2和a2-b2，所以密码信息中不含有“游”和“美”两个字，故选C.
答案：C
例8 分解因式：
(1)a2-9b2； (2)25x2y2-4；
(3)(x+2)2-(2x-1)2； (4)-1+4m2；
(5)a3b-ab3； (6)x5-x.
分析：(1)(2)都符合平方差公式的特点，可以写成平方差的形式.(3)把x+2，2x-1分别看作一个整体，再用平方差公式分解.(4)利用加法的交换律交换位置为4m2-1，然后用平方差公式分解.(5)(6)先提取公因式，再用平方差公式分解.
解：(1)a2-9b2＝a2-(3b)2＝(a+3b)(a-3b)；
(2)25x2y2-4＝(5xy)2-22＝(5xy+2)(5xy-2)；
(3)(x+2)2-(2x-1)2
＝[(x+2)+(2x-1)][(x+2)-(2x-1)]
＝(3x+1)(3-x)；
(4)-1+4m2＝4m2-1＝(2m)2-12＝(2m+1)(2m-1)；
(5)a3b-ab3＝ab(a2-b2)＝ab(a+b)(a-b)；
(6)x5-x＝xx4-＝xx2+x2-
＝xx2+x+x-.
方法归纳
1.首先根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若是，再用平方差公式进行因式分解.
2.若负平方项在前面，可以利用加法的交换律把负平方项放在后面.一定要把两项写成a2-b2的形式，再套用平方差公式.
3.如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再看能否运用平方差公式进行因式分解.
4.因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解时为止.
题型五 用完全平方公式分解因式
例9 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A.4x2-1 B.4x2+4x-1
C.x2-xy+y2 D.x2-x+
解析：完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式子)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式子)的积的2倍或其相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解.
A.4x2-1是两项，不能用完全平方公式，故本选项错误；B.4x2+4x-1没有两数平方和的形式，不符合完全平方公式特点要求，故本选项错误；C.x2-xy+y2，中间不是x，y的积的2倍或其相反数，不符合完全平方公式特点要求，故本选项错误；D.x2-x+＝，符合完全平方公式特点要求，故本选项正确.
答案：D
例10 (2019·黑龙江齐齐哈尔中考)因式分解：a2+ 1-2a+4(a-1).
分析：先将前三项结合，构成完全平方公式，再提取公因式(a-1)完成因式分解.
解：a2+1-2a+4(a-1)＝(a-1)2+4(a-1)＝(a-1)(a- 1+4)＝(a-1)(a+3).
例11 把下列各式进行因式分解：
(1)a2+14a+49；
(2)(m+n)2-6(m+n)+9；
(3)3ax2+6axy+3ay2；
(4)-m2-4n2+4mn.
分析：(1)式可直接利用完全平方公式；(2)式可以把m+n作为一个整体；(3)提公因式3a后运用完全平方公式分解因式；(4)先提出“-”得-(m2+4n2-4mn)，括号内的二次三项式恰好可利用完全平方公式.
解：(1)a2+14a+49＝a2+2×7a+72＝(a+7)2；
(2)(m+n)2-6(m+n)+9
＝(m+n)2-2(m+n)×3+32＝(m+n-3)2；
(3)3ax2+6axy+3ay2＝3a(x2+2xy+y2)＝3a(x+y)2；
(4)-m2-4n2+4mn＝-(m2-4mn+4n2)
＝-[m2-2·m·2n+(2n)2]＝-(m-2n)2.
方法归纳
1.一个多项式能否运用完全平方公式分解因式，完全取决于多项式，如果有公因式，应先提取公因式，然后看能否运用完全平方公式分解因式.
2.当多项式第一项的系数是负数时，一般要提出“-”，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”时，多项式的各项都要变号.
题型六 综合运用多种方法进行因式分解
例12 (1)(湖南株洲中考)因式分解：a2(a-b)-4(a- b)＝ .
(2)(安徽中考)下列因式分解中正确的是( )
A.-x2+4x＝-x(x+4)
B.x2+xy+x＝x(x+y)
C.x(x-y)+y(y-x)＝(x-y)2
D.x2-4x+4＝(x+2)(x-2)
解析：(1)a2(a-b)-4(a-b)＝(a-b)(a2-4)＝ (a-b)(a+2)(a-2).
(2)A.-x2+4x＝-x(x-4)，故此选项错误；
B.x2+xy+x＝x(x+y+1)，故此选项错误；
C.x(x-y)+y(y-x)＝(x-y)2，故此选项正确；
D.x2-4x+4＝(x-2)2，故此选项错误.
答案：(1)(a-b)(a+2)(a-2) (2)C
例13 把下列多项式进行因式分解：
(1)4x3y-36xy3；
(2)x4-2x2+1；
(3)x3y+2x2y2+xy3；
(4)9x2(a-b)+y2(b-a).
分析：进行因式分解时，首先观察多项式是否有公因式，若有公因式，则先提出公因式，再观察剩下的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式，若符合则用公式法继续分解，否则停止分解；若没有公因式，则考虑用公式法因式分解.(1)先提出公因式4xy，再用平方差公式因式分解；(2)x4＝(x2)2，整理后满足完全平方公式，注意分解要彻底；(3)先提出公因式xy，再用完全平方公式因式分解；(4)先提出公因式a-b，再用平方差公式因式分解.
解：(1)4x3y-36xy3＝4xy(x2-9y2)
＝4xy(x+3y)(x-3y).
(2)x4-2x2+1＝(x2-1)2
＝[(x+1)(x-1)]2＝(x+1)2(x-1)2.
(3)x3y+2x2y2+xy3＝xy(x2+2xy+y2)＝xy(x+y)2.
(4)9x2(a-b)+y2(b-a)＝9x2(a-b)-y2(a-b)
＝(a-b)(3x+y)(3x-y).
方法归纳
分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法.若多项式有两项，可考虑用平方差公式；若多项式有三项，可考虑用完全平方公式.
题型七 运用因式分解简便计算
例14 (2020·河北中考) 若＝8×10×12，则k＝( )
A.12 B.10
C.8 D.6
解析：∵ ＝8×10×12，
∴ k＝.
∵ (92-1)(112-1)＝(9+1)(9-1)(11+1)(11-1)＝8×12×102，
∴ k＝＝10.
答案：B
例15 计算：
(1)7.6×201.4+4.3×201.4-1.9×201.4；
(2)5752×12-4252×12；
(3)992+198+1.
分析：本题应用提公因式法和公式法分解因式.
解：(1)原式＝201.4×(7.6+4.3-1.9)
＝201.4×10＝2 014；
(2)原式＝12×(5752-4252)
＝12×(575+425)×(575-425)
＝12×1 000×150＝1 800 000；
(3)原式＝992+2×99×1+12
＝(99+1)2＝1002＝10 000.
点拨：根据题目中数的特点，有公因式的先提公因式，再构造平方差公式或完全平方公式形式，进行简便计算.
例16 计算：
(1)32 021+6×32 020-32 022；
(2).
解：(1)原式＝32 020×(3+6-32)＝32 020×0＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
方法归纳
在算式很复杂的情况下，如果各项中有相同的因数，可以提取公因数简化运算.
例17 用简便方法计算…的值.
分析：每个括号中都可以利用平方差公式计算.
解：…
＝…
＝××××××…×× × ×
＝×＝.
例18 已知a＝2 021x+2 020，b＝2 021x+2 021， c＝2 021x+2 022，则a2+b2+c2-ab-bc-ca＝ .
解析：直接代入不容易计算，观察已知的式子和所求式子的特点可知：a-b＝-1，b-c＝-1，c-a＝2，于是可将所求式子进行变形，即a2+b2+c2-ab-bc-ca＝(2a2+ 2b2+ 2c2-2ab-2bc-2ca)＝[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)]＝[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]＝
[(-1)2 +(-1)2+22]＝3.
答案：3
点拨：解决本题的关键是观察已知条件和待求式子的特点及其之间的联系，从而得到解题的思路.
题型八 运用因式分解求值
例19 (山东菏泽中考)若a+b＝2，ab＝-3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 .
解析：将所求式子提取公因式ab进行因式分解.a3b+ 2a2b2+ab3＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2＝-3×22＝-12.
答案：-12
例20 已知x-y＝1，xy＝2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
分析：将所求式子先提公因式，再用完全平方公式分解因式.
解：x3y-2x2y2+xy3
＝xy(x2-2xy+y2)
＝xy(x-y)2＝2×12＝2.
点拨：解决此类题目的关键是将待求值的多项式分解因式，然后将已知式子的值整体代入.
题型九 因式分解在解方程中的应用
例21 解方程：(55x+35)(53x+26)-(55x+35)(53x+ 27)＝0.
分析：本题如果直接去做，将会很麻烦，甚至出现错误，通过细心观察不难发现，可以用提公因式法进行简便运算.
解：(55x+35)(53x+26)-(55x+35)(53x+27)＝0，
(55x+35)[53x+26-(53x+27)]＝0，
(55x+35)(53x+26-53x-27)＝0，
(55x+35)(-1)＝0，
∴ -5(11x+7)＝0，11x+7＝0，∴ x＝-.
例22 某养殖专业户现计划投资建仔猪场和成猪场，两个养猪场均为正方形，已知成猪场的面积比仔猪场的面积大40 m2，两个养猪场的围墙总长为80 m.请你帮助他算出这两个养猪场的面积分别是多少.(两个养猪场没有公共围墙)
分析：由题意可知：成猪场的面积-仔猪场的面积＝40 m2，成猪场的周长+仔猪场的周长＝80 m，因此，可列方程组求解.
解：设成猪场的边长为x m，仔猪场的边长为y m，
由题意得
将方程组变形为
把②代入①，得x-y＝2， ③
由③+②，得x＝11，由②-③，得y＝9.
所以仔猪场的面积为y2＝92＝81(m2)，成猪场的面积为x2＝112＝121(m2).
点拨：此方程组是二元二次方程组，若用代入法求解非常烦琐，但利用平方差公式将x2-y2＝40的左边进行因式分解可得(x+y)(x-y)＝40，再将x+y＝20整体代入可得x-y＝2，从而解方程组即可.
题型十 因式分解与几何知识的联系
例23 已知三角形三边长为a，b，c，且满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac.试判断三角形的形状.
分析：欲判断三角形的形状，需找出a，b，c三者间的关系，可把条件a2+b2+c2＝ab+bc+ac变形，化成几个非负数的和，方法是把a2+b2+c2＝ab+bc+ac两边同时乘2.
解：∵ a2+b2+c2＝ab+bc+ac，
∴ 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac＝0，
即(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)＝0，
即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2＝0，
∴ a-b＝0，且a-c＝0，且b-c＝0，
∴ a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，
∴ 三角形为等边三角形.
点拨：通过配方和非负数的性质得出a＝b＝c是解决此题的关键.
题型十一 因式分解的创新题
例24 若248-1能被60与70之间的两个整数整除，求这两个数.
分析：本题的关键是将248-1分解因式.
解：248-1＝(224+1)(224-1)
＝(224+1)(212+1)(212-1)
＝(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).
因为26+1＝65，26-1＝63，
所以248-1能被65和63整除.
点拨：本题的关键在于将248-1连续用平方差公式分解因式，直到出现含有60与70之间的两个整数因式为止.
例25 课堂上，学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例.
分析：运用平方差公式将(n+7)2-(n-3)2分解因式.
解：能.理由如下：
∵ (n+7)2-(n-3)2
＝[(n+7)+(n-3)][(n+7)-(n-3)]
＝(2n+4)×10＝2(n+2)×10
＝20(n+2)，
∴ (n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.
点拨：通过因式分解直到这个多项式中含有因式20为止.
题型十二 用分组法分解因式
例26 分解因式：
(1)2ax-10ay+5by-bx；
(2)x2-y2+ax+ay；
(3)x2+2xy+y2-4z2.
分析：(1)把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组中的项按x的降幂排列.然后从两组中分别提取公因式2a与-b，这时另一个因式是x-5y，继续提取公因式.也可以把第一项、第四项分为一组，第二项、第三项分为一组.
(2)把第一、二项归为一组，这两项虽然没有公因式，但可以用平方差公式分解因式，其中一个因式是x+y.把第三、四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是x+y.
(3)把前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项组成平方差公式可继续分解因式.
解：(1)2ax-10ay+5by-bx＝2a(x-5y)-b(x-5y)
＝(x-5y)(2a-b).
或：2ax-10ay+5by-bx
＝(2ax-bx)-(10ay-5by)
＝x(2a-b)-5y(2a-b)
＝(2a-b)(x-5y).
(2)x2-y2+ax+ay＝(x2-y2)+(ax+ay)
＝(x+y)(x-y)+a(x+y)＝(x+y)(x-y+a).
(3)x2+2xy+y2-4z2＝(x2+2xy+y2)-4z2
＝(x+y)2-4z2＝(x+y)2-(2z)2
＝(x+y+2z)(x+y-2z).
方法归纳
分组分解法主要应用于四项及四项以上的多项式.如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式法或提取公因式法进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能适用公式法或有公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.
拓展资料
例析“十字相乘法分解因式”
同学们都知道，x2+(p+q)x+pq型的二次三项式是因式分解中的常见类型，那么此类多项式该如何分解呢？
观察(x+p)(x+q)＝x2+(p+q)x+pq，可知x2+(p+q) x+pq＝(x+p)(x+q).
这就是说，对于二次三项式x2+ax+b，如果常数项b可以分解为p，q的积，并且有p+q＝a，那么x2+ax+b＝(x+p)(x+q).这就是因式分解的十字相乘法.
下面举例具体说明怎样进行因式分解.
例1 因式分解：x2-x-56.
分析：
7x+(-8x) ＝-x.
解：原式＝(x+7)(x-8).
例2 因式分解：x2-10x+16.
分析：
-2x+(-8x)＝-10x.
解：原式＝(x-2)(x-8).
例3 因式分解：6y2+19y+15.
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解.
9y+10y＝19y.
解：原式＝(2y+3)(3y+5).
例4 因式分解：14x2+3x-27.
分析：
21x+(-18x)＝3x.
解：原式＝(2x+3)(7x-9).
例5 因式分解：10(x+2)2-29(x+2)+10.
分析：该题可以将x+2看作一个整体来进行因式分解.
-25(x+2)+[-4(x+2)]＝-29(x+2).
解：原式＝[2(x+2)-5][5(x+2)-2]＝(2x-1)(5x+8).
例6 因式分解：(a2-a)2-14(a2-a)+24.
分析：该题可以先将a2-a看作一个整体用十字相乘法分解因式，接着再套用一次十字相乘法.
-2(a2-a)+[-12(a2-a)]＝-14(a2-a)，
a+(-2a)＝-a，3a+(-4a)＝-a.
解：原式＝[(a2-a)-2][(a2-a)-12]
＝(a+1)(a-2)(a+3)(a-4).
从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握.但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如x2-2x+5在实数范围内就不能利用十字相乘法进行因式分解.
杨辉三角
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图14-3-1所示为杨辉三角的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如：在三角形中第三行的三个数1，2，1恰好对应着(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中的各项系数；第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数.
图14-3-1
(1)根据上面的规律，写出(a+b)5的展开式；
(2)利用上面的规律计算25-5×24+10×23-10×22+ 5×2-1.
分析：根据规律可以推出第五行的数字为1，5，10，10，5，1.
解：(1)(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)25-5×24+10×23-10×22+5×2-1
＝25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+ 5×2×(-1)4+(-1)5
＝(2-1)5＝1.
用拼图验证平方差公式
我们都玩过拼图游戏，比如拼中国地图，利用七巧板拼各种图案等等.拼图在数学学习中也有着广泛的应用，我们可以将一些图形按照一定的要求拼凑在一起，以达到一定的目的，如验证定理、验证公式、培养审美能力等.在拼图的过程中，不但能更好地促进对知识的理解，还可以培养我们的动手能力和创新意识.拼图(无重叠)的核心是新图形的面积等于各部分的面积之和.下面我们就以平方差公式为例来体会拼图在数学中的应用.
方法1：拼成长方形
如图14-3-2所示，在边长为a的正方形一个顶点处剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，然后将阴影部分剪拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，可验证平方差公式.
① ②
图14-3-2
验证：从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，则图①的面积可以表示为a2-b2；将阴影部分拼成一个长方形，则图②的面积可以表示为(a+b)(a-b).
因为这两个阴影部分的面积相等，
所以a2-b2＝(a+b)(a-b).
方法2：拼成平行四边形.
如图14-3-3所示，从边长为a的大正方形中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形.那么通过计算阴影部分的面积也可以验证平方差公式.
① ②
图14-3-3
验证：从边长为a的大正方形中挖去一个边长为b的小正方形，则图①阴影部分的面积为a2-b2.
∵ 每个小等腰梯形的高为，
∴ 平行四边形的高等于一个等腰梯形高的2倍，
即h＝a-b.
∵ 图①中阴影部分的面积与图②中平行四边形的面积相等，
∴ a2-b2＝(a+b)(a-b).
方法3：拼成等腰梯形
如图14-3-4所示，在边长为a的正方形一个顶点处剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形中阴影部分的面积，验证平方差公式.
① ②
图14-3-4
验证：在边长为a的正方形一个顶点处剪去一个边长为b的小正方形，则剩下部分的面积为a2-b2，
把剩下的部分拼成一个梯形，则梯形的面积为
(2b+2a)×＝(a+b)(a-b)，
∴ a2-b2＝(a+b)(a-b).
利用因式分解编制密码
“二战”期间，英美两国研发计算机的初衷，是破解轴心国的密码.量子计算机开始引起科技界的兴趣，也是因为它能不费吹灰之力破解世界上最可靠的密码，而这种加密算法已经历30多年的考验.如果有一天量子计算机投入使用，它会是一根锐利的矛，能刺透最坚固的盾.而更加坚固的盾牌则是正在研发的量子密钥，它也是银行和网站运营者期望的理论上不可攻破的终极方案.
北京时间2012年8月20日，据物理学家组织网报道，美国加州大学圣巴巴拉分校的研究人员设计制造了一个量子处理器，可成功地将合数15分解成3和5的乘积.虽然这只是一个最基本的质因数分解运算，但这项突破是研制可进行更复杂因式分解运算的量子计算机道路上的一座里程碑，对于数字加密和网络安全具有重要意义.
在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有种用因式分解法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式x4-y4，因式分解的结果是(x+y)(x-y)(x2+y2)，若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是x-y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2或者4x-xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法你们能设计出一个密码吗？
14.3 因式分解
典型例题
题型一 因式分解
例1 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )
A.m(x-y)＝mx-my
B.x2+2x+1＝x(x+2)+1
C.a2+1＝
D.15x2-3x＝3x(5x-1)
解析：A是整式乘法；B中等号右边不是整式乘积的形式，是和的形式；C中等式右边不是整式乘积的形式.
答案：D
方法归纳
判断一个式子由左边到右边的变形是因式分解的方法：
1.因式分解的结果是整式乘积的形式，如x2+2x+1＝x(x+2)+1不是因式分解，因为x(x+2)+1不是整式乘积的形式.
2.因式分解的结果中每一个因式都是整式，如a2+1＝不是因式分解，因为a+不是整式.
例2 (2020·河北中考)对于①x-3xy＝x(1-3y)，②(x+3)(x-1)＝x2+2x-3，从左到右的变
形，表述正确的是( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
解析：对于①，左边是一个多项式，右边是两个整式的乘积，故①是因式分解；对于②，左边是两个整式的乘积，右边是一个多项式，故②是乘法运算.
答案：C
题型二 公因式
例3 (1)多项式3a2-6ab+3的公因式是 ；
(2)多项式4xy3-16x2-8x的公因式是 ；
(3)多项式x(b+c-a)-y(b+c-a)-(-a+b+c)的公因式是 ；
(4)多项式4x(x-2)2-2x(2-x)的公因式是 .
解析：先确定公因式的系数部分，再确定公因式的字母部分.(1)的公因式是3，因为(1)中最后一项不含字母，故公因式中也不含字母；(2)的公因式的系数是4，字母部分是x；(3)的公因式是b+c-a；(4)式可变形为4x(x-2)2 +2x(x-2)，故公因式的系数为2，字母部分为x(x-2).
答案：(1)3 (2)4x (3)b+c-a (4)2x(x-2)
方法归纳
确定公因式：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开.
题型三 用提公因式法分解因式
例4 (1)(2020·成都中考)分解因式：x2+3x＝ ；
(2)(2020·山东聊城中考)因式分解：x(x-2)-x+2＝ .
解析：(1)的公因式为x，(2)x(x-2)-x+2＝x(x-2)-(x-2)＝(x-2)(x-1).
答案：(1)x(x+3) (2)(x-2)(x-1)
例5 把下列各式分解因式.
(1)12x2y-18xy2-24x3y3；
(2)5x2-15x+5；
(3)-27a2b+9ab2-18ab；
(4)2x(a-2b)-3y(2b-a)-4z(a-2b).
分析：(1)题的公因式为6xy；(2)题的公因式为5；(3)题的公因式为-9ab；(4)题把-3y(2b-a)写成+3y(a- 2b)，可以看出公因式为a-2b.
解：(1)12x2y-18xy2-24x3y3
＝6xy·2x-6xy·3y-6xy·4x2y2
＝6xy(2x-3y-4x2y2)；
(2)5x2-15x+5＝5(x2-3x+1)；
(3)-27a2b+9ab2-18ab＝-9ab(3a-b+2)；
(4)2x(a-2b)-3y(2b-a)-4z(a-2b)
＝2x(a-2b)+3y(a-2b)-4z(a-2b)
＝(a-2b)(2x+3y-4z).
方法归纳
1.提公因式要彻底，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；
2.如果多项式的首项系数是负数，应先提出“-”；
3.把公因式提到前面，余下的因式写在括号内.可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”.
题型四 用平方差公式分解因式
例6 (1)(2020·安徽中考)分解因式：ab2-a＝ ；
(2)(2019·四川广安中考)分解因式：3a4-3b4＝ ；
(3)(杭州中考)若整式x2+ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内分解因式，则k的值可以是 (写出一个即可).
解析：因式分解的一般步骤：一提公因式，二套公式，三分解要彻底.
(1)ab2-a＝a(b2-1)＝a(b+1)(b-1).
(2)3a4-3b4＝3(a4-b4)＝3(a2+b2)(a2-b2)＝3(a2+ b2)(a+b)(a-b).
(3)x2与ky2没有公因式，要使x2+ky2能分解因式，只能考虑平方差公式，而要在有理数范围内分解因式，则k一定是负数，且它的绝对值是一个完全平方数或一个分数的平方，所以k可以是-1，-4，-9，…或-，-，….
答案：(1)a(b+1)(b-1) (2)3(a2+b2)(a+b)(a-b)
(3)-1(答案不唯一)
规律总结
若二项式能因式分解，如果没有公因式可以提取，那么观察二项式是否可以写成平方差的形式，用平方差公式分解因式.
例7 (湖北宜昌中考)小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b，x-y，x+y，a+b，x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字：昌，爱，我，宜，游，美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱美 B.宜昌游 C.爱我宜昌 D.美我宜昌
解析：先提公因式x2-y2，再因式分解.x2-y2＝(x+y)· (x-y)，a2-b2＝(a+b)(a-b).即原式＝(x2-y2)(a2-b2)＝(x-y)(x+y)(a+b)(a-b)，根据结果中不含有因式x2-y2和a2-b2，所以密码信息中不含有“游”和“美”两个字，故选C.
答案：C
例8 分解因式：
(1)a2-9b2； (2)25x2y2-4；
(3)(x+2)2-(2x-1)2； (4)-1+4m2；
(5)a3b-ab3； (6)x5-x.
分析：(1)(2)都符合平方差公式的特点，可以写成平方差的形式.(3)把x+2，2x-1分别看作一个整体，再用平方差公式分解.(4)利用加法的交换律交换位置为4m2-1，然后用平方差公式分解.(5)(6)先提取公因式，再用平方差公式分解.
解：(1)a2-9b2＝a2-(3b)2＝(a+3b)(a-3b)；
(2)25x2y2-4＝(5xy)2-22＝(5xy+2)(5xy-2)；
(3)(x+2)2-(2x-1)2
＝[(x+2)+(2x-1)][(x+2)-(2x-1)]
＝(3x+1)(3-x)；
(4)-1+4m2＝4m2-1＝(2m)2-12＝(2m+1)(2m-1)；
(5)a3b-ab3＝ab(a2-b2)＝ab(a+b)(a-b)；
(6)x5-x＝xx4-＝xx2+x2-
＝xx2+x+x-.
方法归纳
1.首先根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若是，再用平方差公式进行因式分解.
2.若负平方项在前面，可以利用加法的交换律把负平方项放在后面.一定要把两项写成a2-b2的形式，再套用平方差公式.
3.如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再看能否运用平方差公式进行因式分解.
4.因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解时为止.
题型五 用完全平方公式分解因式
例9 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A.4x2-1 B.4x2+4x-1
C.x2-xy+y2 D.x2-x+
解析：完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式子)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式子)的积的2倍或其相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解.
A.4x2-1是两项，不能用完全平方公式，故本选项错误；B.4x2+4x-1没有两数平方和的形式，不符合完全平方公式特点要求，故本选项错误；C.x2-xy+y2，中间不是x，y的积的2倍或其相反数，不符合完全平方公式特点要求，故本选项错误；D.x2-x+＝，符合完全平方公式特点要求，故本选项正确.
答案：D
例10 (2019·黑龙江齐齐哈尔中考)因式分解：a2+ 1-2a+4(a-1).
分析：先将前三项结合，构成完全平方公式，再提取公因式(a-1)完成因式分解.
解：a2+1-2a+4(a-1)＝(a-1)2+4(a-1)＝(a-1)(a- 1+4)＝(a-1)(a+3).
例11 把下列各式进行因式分解：
(1)a2+14a+49；
(2)(m+n)2-6(m+n)+9；
(3)3ax2+6axy+3ay2；
(4)-m2-4n2+4mn.
分析：(1)式可直接利用完全平方公式；(2)式可以把m+n作为一个整体；(3)提公因式3a后运用完全平方公式分解因式；(4)先提出“-”得-(m2+4n2-4mn)，括号内的二次三项式恰好可利用完全平方公式.
解：(1)a2+14a+49＝a2+2×7a+72＝(a+7)2；
(2)(m+n)2-6(m+n)+9
＝(m+n)2-2(m+n)×3+32＝(m+n-3)2；
(3)3ax2+6axy+3ay2＝3a(x2+2xy+y2)＝3a(x+y)2；
(4)-m2-4n2+4mn＝-(m2-4mn+4n2)
＝-[m2-2·m·2n+(2n)2]＝-(m-2n)2.
方法归纳
1.一个多项式能否运用完全平方公式分解因式，完全取决于多项式，如果有公因式，应先提取公因式，然后看能否运用完全平方公式分解因式.
2.当多项式第一项的系数是负数时，一般要提出“-”，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”时，多项式的各项都要变号.
题型六 综合运用多种方法进行因式分解
例12 (1)(湖南株洲中考)因式分解：a2(a-b)-4(a- b)＝ .
(2)(安徽中考)下列因式分解中正确的是( )
A.-x2+4x＝-x(x+4)
B.x2+xy+x＝x(x+y)
C.x(x-y)+y(y-x)＝(x-y)2
D.x2-4x+4＝(x+2)(x-2)
解析：(1)a2(a-b)-4(a-b)＝(a-b)(a2-4)＝ (a-b)(a+2)(a-2).
(2)A.-x2+4x＝-x(x-4)，故此选项错误；
B.x2+xy+x＝x(x+y+1)，故此选项错误；
C.x(x-y)+y(y-x)＝(x-y)2，故此选项正确；
D.x2-4x+4＝(x-2)2，故此选项错误.
答案：(1)(a-b)(a+2)(a-2) (2)C
例13 把下列多项式进行因式分解：
(1)4x3y-36xy3；
(2)x4-2x2+1；
(3)x3y+2x2y2+xy3；
(4)9x2(a-b)+y2(b-a).
分析：进行因式分解时，首先观察多项式是否有公因式，若有公因式，则先提出公因式，再观察剩下的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式，若符合则用公式法继续分解，否则停止分解；若没有公因式，则考虑用公式法因式分解.(1)先提出公因式4xy，再用平方差公式因式分解；(2)x4＝(x2)2，整理后满足完全平方公式，注意分解要彻底；(3)先提出公因式xy，再用完全平方公式因式分解；(4)先提出公因式a-b，再用平方差公式因式分解.
解：(1)4x3y-36xy3＝4xy(x2-9y2)
＝4xy(x+3y)(x-3y).
(2)x4-2x2+1＝(x2-1)2
＝[(x+1)(x-1)]2＝(x+1)2(x-1)2.
(3)x3y+2x2y2+xy3＝xy(x2+2xy+y2)＝xy(x+y)2.
(4)9x2(a-b)+y2(b-a)＝9x2(a-b)-y2(a-b)
＝(a-b)(3x+y)(3x-y).
方法归纳
分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法.若多项式有两项，可考虑用平方差公式；若多项式有三项，可考虑用完全平方公式.
题型七 运用因式分解简便计算
例14 (2020·河北中考) 若＝8×10×12，则k＝( )
A.12 B.10
C.8 D.6
解析：∵ ＝8×10×12，
∴ k＝.
∵ (92-1)(112-1)＝(9+1)(9-1)(11+1)(11-1)＝8×12×102，
∴ k＝＝10.
答案：B
例15 计算：
(1)7.6×201.4+4.3×201.4-1.9×201.4；
(2)5752×12-4252×12；
(3)992+198+1.
分析：本题应用提公因式法和公式法分解因式.
解：(1)原式＝201.4×(7.6+4.3-1.9)
＝201.4×10＝2 014；
(2)原式＝12×(5752-4252)
＝12×(575+425)×(575-425)
＝12×1 000×150＝1 800 000；
(3)原式＝992+2×99×1+12
＝(99+1)2＝1002＝10 000.
点拨：根据题目中数的特点，有公因式的先提公因式，再构造平方差公式或完全平方公式形式，进行简便计算.
例16 计算：
(1)32 021+6×32 020-32 022；
(2).
解：(1)原式＝32 020×(3+6-32)＝32 020×0＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
方法归纳
在算式很复杂的情况下，如果各项中有相同的因数，可以提取公因数简化运算.
例17 用简便方法计算…的值.
分析：每个括号中都可以利用平方差公式计算.
解：…
＝…
＝××××××…×× × ×
＝×＝.
例18 已知a＝2 021x+2 020，b＝2 021x+2 021， c＝2 021x+2 022，则a2+b2+c2-ab-bc-ca＝ .
解析：直接代入不容易计算，观察已知的式子和所求式子的特点可知：a-b＝-1，b-c＝-1，c-a＝2，于是可将所求式子进行变形，即a2+b2+c2-ab-bc-ca＝(2a2+ 2b2+ 2c2-2ab-2bc-2ca)＝[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)]＝[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]＝
[(-1)2 +(-1)2+22]＝3.
答案：3
点拨：解决本题的关键是观察已知条件和待求式子的特点及其之间的联系，从而得到解题的思路.
题型八 运用因式分解求值
例19 (山东菏泽中考)若a+b＝2，ab＝-3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 .
解析：将所求式子提取公因式ab进行因式分解.a3b+ 2a2b2+ab3＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2＝-3×22＝-12.
答案：-12
例20 已知x-y＝1，xy＝2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
分析：将所求式子先提公因式，再用完全平方公式分解因式.
解：x3y-2x2y2+xy3
＝xy(x2-2xy+y2)
＝xy(x-y)2＝2×12＝2.
点拨：解决此类题目的关键是将待求值的多项式分解因式，然后将已知式子的值整体代入.
题型九 因式分解在解方程中的应用
例21 解方程：(55x+35)(53x+26)-(55x+35)(53x+ 27)＝0.
分析：本题如果直接去做，将会很麻烦，甚至出现错误，通过细心观察不难发现，可以用提公因式法进行简便运算.
解：(55x+35)(53x+26)-(55x+35)(53x+27)＝0，
(55x+35)[53x+26-(53x+27)]＝0，
(55x+35)(53x+26-53x-27)＝0，
(55x+35)(-1)＝0，
∴ -5(11x+7)＝0，11x+7＝0，∴ x＝-.
例22 某养殖专业户现计划投资建仔猪场和成猪场，两个养猪场均为正方形，已知成猪场的面积比仔猪场的面积大40 m2，两个养猪场的围墙总长为80 m.请你帮助他算出这两个养猪场的面积分别是多少.(两个养猪场没有公共围墙)
分析：由题意可知：成猪场的面积-仔猪场的面积＝40 m2，成猪场的周长+仔猪场的周长＝80 m，因此，可列方程组求解.
解：设成猪场的边长为x m，仔猪场的边长为y m，
由题意得
将方程组变形为
把②代入①，得x-y＝2， ③
由③+②，得x＝11，由②-③，得y＝9.
所以仔猪场的面积为y2＝92＝81(m2)，成猪场的面积为x2＝112＝121(m2).
点拨：此方程组是二元二次方程组，若用代入法求解非常烦琐，但利用平方差公式将x2-y2＝40的左边进行因式分解可得(x+y)(x-y)＝40，再将x+y＝20整体代入可得x-y＝2，从而解方程组即可.
题型十 因式分解与几何知识的联系
例23 已知三角形三边长为a，b，c，且满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac.试判断三角形的形状.
分析：欲判断三角形的形状，需找出a，b，c三者间的关系，可把条件a2+b2+c2＝ab+bc+ac变形，化成几个非负数的和，方法是把a2+b2+c2＝ab+bc+ac两边同时乘2.
解：∵ a2+b2+c2＝ab+bc+ac，
∴ 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac＝0，
即(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)＝0，
即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2＝0，
∴ a-b＝0，且a-c＝0，且b-c＝0，
∴ a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，
∴ 三角形为等边三角形.
点拨：通过配方和非负数的性质得出a＝b＝c是解决此题的关键.
题型十一 因式分解的创新题
例24 若248-1能被60与70之间的两个整数整除，求这两个数.
分析：本题的关键是将248-1分解因式.
解：248-1＝(224+1)(224-1)
＝(224+1)(212+1)(212-1)
＝(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).
因为26+1＝65，26-1＝63，
所以248-1能被65和63整除.
点拨：本题的关键在于将248-1连续用平方差公式分解因式，直到出现含有60与70之间的两个整数因式为止.
例25 课堂上，学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例.
分析：运用平方差公式将(n+7)2-(n-3)2分解因式.
解：能.理由如下：
∵ (n+7)2-(n-3)2
＝[(n+7)+(n-3)][(n+7)-(n-3)]
＝(2n+4)×10＝2(n+2)×10
＝20(n+2)，
∴ (n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.
点拨：通过因式分解直到这个多项式中含有因式20为止.
题型十二 用分组法分解因式
例26 分解因式：
(1)2ax-10ay+5by-bx；
(2)x2-y2+ax+ay；
(3)x2+2xy+y2-4z2.
分析：(1)把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组中的项按x的降幂排列.然后从两组中分别提取公因式2a与-b，这时另一个因式是x-5y，继续提取公因式.也可以把第一项、第四项分为一组，第二项、第三项分为一组.
(2)把第一、二项归为一组，这两项虽然没有公因式，但可以用平方差公式分解因式，其中一个因式是x+y.把第三、四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是x+y.
(3)把前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项组成平方差公式可继续分解因式.
解：(1)2ax-10ay+5by-bx＝2a(x-5y)-b(x-5y)
＝(x-5y)(2a-b).
或：2ax-10ay+5by-bx
＝(2ax-bx)-(10ay-5by)
＝x(2a-b)-5y(2a-b)
＝(2a-b)(x-5y).
(2)x2-y2+ax+ay＝(x2-y2)+(ax+ay)
＝(x+y)(x-y)+a(x+y)＝(x+y)(x-y+a).
(3)x2+2xy+y2-4z2＝(x2+2xy+y2)-4z2
＝(x+y)2-4z2＝(x+y)2-(2z)2
＝(x+y+2z)(x+y-2z).
方法归纳
分组分解法主要应用于四项及四项以上的多项式.如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式法或提取公因式法进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能适用公式法或有公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.
拓展资料
例析“十字相乘法分解因式”
同学们都知道，x2+(p+q)x+pq型的二次三项式是因式分解中的常见类型，那么此类多项式该如何分解呢？
观察(x+p)(x+q)＝x2+(p+q)x+pq，可知x2+(p+q) x+pq＝(x+p)(x+q).
这就是说，对于二次三项式x2+ax+b，如果常数项b可以分解为p，q的积，并且有p+q＝a，那么x2+ax+b＝(x+p)(x+q).这就是因式分解的十字相乘法.
下面举例具体说明怎样进行因式分解.
例1 因式分解：x2-x-56.
分析：
7x+(-8x) ＝-x.
解：原式＝(x+7)(x-8).
例2 因式分解：x2-10x+16.
分析：
-2x+(-8x)＝-10x.
解：原式＝(x-2)(x-8).
例3 因式分解：6y2+19y+15.
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解.
9y+10y＝19y.
解：原式＝(2y+3)(3y+5).
例4 因式分解：14x2+3x-27.
分析：
21x+(-18x)＝3x.
解：原式＝(2x+3)(7x-9).
例5 因式分解：10(x+2)2-29(x+2)+10.
分析：该题可以将x+2看作一个整体来进行因式分解.
-25(x+2)+[-4(x+2)]＝-29(x+2).
解：原式＝[2(x+2)-5][5(x+2)-2]＝(2x-1)(5x+8).
例6 因式分解：(a2-a)2-14(a2-a)+24.
分析：该题可以先将a2-a看作一个整体用十字相乘法分解因式，接着再套用一次十字相乘法.
-2(a2-a)+[-12(a2-a)]＝-14(a2-a)，
a+(-2a)＝-a，3a+(-4a)＝-a.
解：原式＝[(a2-a)-2][(a2-a)-12]
＝(a+1)(a-2)(a+3)(a-4).
从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握.但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如x2-2x+5在实数范围内就不能利用十字相乘法进行因式分解.
杨辉三角
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图14-3-1所示为杨辉三角的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如：在三角形中第三行的三个数1，2，1恰好对应着(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中的各项系数；第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数.
图14-3-1
(1)根据上面的规律，写出(a+b)5的展开式；
(2)利用上面的规律计算25-5×24+10×23-10×22+ 5×2-1.
分析：根据规律可以推出第五行的数字为1，5，10，10，5，1.
解：(1)(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)25-5×24+10×23-10×22+5×2-1
＝25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+ 5×2×(-1)4+(-1)5
＝(2-1)5＝1.
用拼图验证平方差公式
我们都玩过拼图游戏，比如拼中国地图，利用七巧板拼各种图案等等.拼图在数学学习中也有着广泛的应用，我们可以将一些图形按照一定的要求拼凑在一起，以达到一定的目的，如验证定理、验证公式、培养审美能力等.在拼图的过程中，不但能更好地促进对知识的理解，还可以培养我们的动手能力和创新意识.拼图(无重叠)的核心是新图形的面积等于各部分的面积之和.下面我们就以平方差公式为例来体会拼图在数学中的应用.
方法1：拼成长方形
如图14-3-2所示，在边长为a的正方形一个顶点处剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，然后将阴影部分剪拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，可验证平方差公式.
① ②
图14-3-2
验证：从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，则图①的面积可以表示为a2-b2；将阴影部分拼成一个长方形，则图②的面积可以表示为(a+b)(a-b).
因为这两个阴影部分的面积相等，
所以a2-b2＝(a+b)(a-b).
方法2：拼成平行四边形.
如图14-3-3所示，从边长为a的大正方形中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形.那么通过计算阴影部分的面积也可以验证平方差公式.
① ②
图14-3-3
验证：从边长为a的大正方形中挖去一个边长为b的小正方形，则图①阴影部分的面积为a2-b2.
∵ 每个小等腰梯形的高为，
∴ 平行四边形的高等于一个等腰梯形高的2倍，
即h＝a-b.
∵ 图①中阴影部分的面积与图②中平行四边形的面积相等，
∴ a2-b2＝(a+b)(a-b).
方法3：拼成等腰梯形
如图14-3-4所示，在边长为a的正方形一个顶点处剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形中阴影部分的面积，验证平方差公式.
① ②
图14-3-4
验证：在边长为a的正方形一个顶点处剪去一个边长为b的小正方形，则剩下部分的面积为a2-b2，
把剩下的部分拼成一个梯形，则梯形的面积为
(2b+2a)×＝(a+b)(a-b)，
∴ a2-b2＝(a+b)(a-b).
利用因式分解编制密码
“二战”期间，英美两国研发计算机的初衷，是破解轴心国的密码.量子计算机开始引起科技界的兴趣，也是因为它能不费吹灰之力破解世界上最可靠的密码，而这种加密算法已经历30多年的考验.如果有一天量子计算机投入使用，它会是一根锐利的矛，能刺透最坚固的盾.而更加坚固的盾牌则是正在研发的量子密钥，它也是银行和网站运营者期望的理论上不可攻破的终极方案.
北京时间2012年8月20日，据物理学家组织网报道，美国加州大学圣巴巴拉分校的研究人员设计制造了一个量子处理器，可成功地将合数15分解成3和5的乘积.虽然这只是一个最基本的质因数分解运算，但这项突破是研制可进行更复杂因式分解运算的量子计算机道路上的一座里程碑，对于数字加密和网络安全具有重要意义.
在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有种用因式分解法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式x4-y4，因式分解的结果是(x+y)(x-y)(x2+y2)，若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是x-y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2或者4x-xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法你们能设计出一个密码吗？
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