数学必修 第一册5.2 三角函数的概念一等奖教案

这是一份数学必修 第一册5.2 三角函数的概念一等奖教案，共15页。







1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．


2．理解同角三角函数的基本关系式．


3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．





同角三角函数的基本关系式


(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.


(2)商数关系：tanα＝eq \f(sinα,csα)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).


这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)．


温馨提示：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cs23α＝1成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．


(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦．


(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cs2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝eq \f(sinα,csα)仅对α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．





判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)对任意角α，sin2eq \f(α,3)＋cs2eq \f(α,3)＝1都成立．( )


(2)对任意角α，eq \f(sin2α,cs2α)＝tan2α都成立．( )


(3)若csα＝0，则sinα＝1.( )


(4)若sinα＝eq \f(3,5)，则csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4,5).( )


[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×





题型一 利用同角三角函数的基本关系式求值


【典例1】 (1)已知csα＝－eq \f(4,5)，求sinα和tanα.


(2)已知tanα＝3，求eq \f(sin2α－2sinα·csα－cs2α,4cs2α－3sin2α)的值．


[思路导引] 利用同角三角函数的基本关系式求解．


[解] (1)sin2α＝1－cs2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2，


因为csα＝－eq \f(4,5)<0，所以α是第二或第三象限角，


当α是第二象限角时，sinα＝eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(3,4)；


当α是第三象限角时，sinα＝－eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(3,4).


(2)原式＝eq \f(tan2α－2tanα－1,4－3tan2α)＝eq \f(9－2×3－1,4－3×32)＝－eq \f(2,23).


[变式] (1)由本例(2)条件变为：“eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝2”，求eq \f(4sinα－csα,3sinα＋5csα)的值．


(2)若本例(2)条件不变，求eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α的值．


[解] (1)由eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝2得tanα＝3，


所以原式＝eq \f(4tanα－1,3tanα＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14).


(2)原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cs2α,sin2α＋cs2α)


＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq \f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq \f(29,40).











已知三角函数值求其他三角函数值的方法


(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式csα＝±eq \r(1－sin2α)求得csα的值，再由公式tanα＝eq \f(sinα,csα)求得tanα的值．


(2)若已知csα＝m，可以先应用公式sinα＝±eq \r(1－cs2α)求得sinα的值，再由公式tanα＝eq \f(sinα,csα)求得tanα的值．


(3)已知tanα＝m，可以求eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)或eq \f(asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α,dsin2α＋esinαcsα＋fcs2α)的值，将分子分母同除以csα或cs2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．


(4)对于asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．





[针对训练]


1．已知sinα＝eq \f(12,13)，并且α是第二象限角，求csα和tanα.


[解] cs2α＝1－sin2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)))2，又α是第二象限角，所以csα<0，csα＝－eq \f(5,13)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(12,5).


2．已知sinα＋2csα＝0，求2sinαcsα－cs2α的值．


[解] 由sinα＋2csα＝0，得tanα＝－2.


所以2sinαcsα－cs2α＝eq \f(2sinαcsα－cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tanα－1,tan2α＋1)


＝eq \f(－4－1,4＋1)＝－1.


题型二 三角函数式的化简


【典例2】 化简：(1)eq \f(sinα,1＋sinα)－eq \f(sinα,1－sinα)；


(2)eq \f(\r(1＋2sin10°cs10°),cs10°＋\r(1－cs210°)).


[思路导引] 结合题目特点，利用平方关系求解．


[解] (1)eq \f(sinα,1＋sinα)－eq \f(sinα,1－sinα)


＝eq \f(sinα1－sinα－sinα1＋sinα,1＋sinα1－sinα)


＝eq \f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq \f(－2sin2α,cs2α)＝－2tan2α.


(2)eq \f(\r(1＋2sin10°cs10°),cs10°＋\r(1－cs210°))＝eq \f(\r(cs10°＋sin10°2),cs10°＋sin10°)


＝eq \f(|cs10°＋sin10°|,cs10°＋sin10°)＝1.











三角函数式的化简技巧


(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．


(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．


(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．





[针对训练]


3．化简：tanαeq \r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角．


[解] 因为α是第二象限角，所以sinα>0，csα<0.


原式＝tanαeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq \r(\f(cs2α,sin2α))


＝eq \f(sinα,csα)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(csα,sinα)))＝eq \f(sinα,csα)·eq \f(－csα,sinα)＝－1.


4．化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cs2αcs2β.


[解] 原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cs2αcs2β


＝sin2αcs2β＋cs2αcs2β＋sin2β


＝(sin2α＋cs2α)cs2β＋sin2β＝1.


题型三 证明简单的三角恒等式


【典例3】 求证：eq \f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq \f(tanα＋sinα,tanαsinα).


[思路导引] 从一边证明，使它等于另一边．


[证明] ∵右边＝eq \f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)


＝eq \f(tan2α－tan2αcs2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq \f(tan2α1－cs2α,tanα－sinαtanαsinα)


＝eq \f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq \f(tanαsinα,tanα－sinα)


＝左边，


∴原等式成立．








证明三角恒等式常用的方法


(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．


(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．


(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．


(4)比较法：即证左边－右边＝0或证eq \f(左边,右边)＝1.





[针对训练]


5．求证：eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csαtanα,1＋csα)＝1.


[证明] eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csαtanα,1＋csα)＝eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csα· \f(sinα,csα),1＋csα)


＝eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(sin2α,1－cs2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1.


课堂归纳小结


1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其它三角函数值．


2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：


(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量


不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．


3．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.








1．下列等式中恒成立的个数为( )


①sin21＝1－cs21；


②sin2α＋cs2α＝sin23＋cs23；


③sinα＝tanαcsαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).


A．1 B．2


C．3 D．0


[解析] ①②③都正确，故选C.


[答案] C


2．已知α是第四象限角，csα＝eq \f(12,13)，则sinα等于( )


A.eq \f(5,13) B．－eq \f(5,13)


C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12)


[解析] ∵sin2θ＋cs2θ＝1，∴sin2θ＝1－cs2θ＝1－eq \f(144,169)＝eq \f(25,169)，又∵α是第四象限角，∴sinα<0，即sinθ＝－eq \f(5,13).


[答案] B


3．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sinα)＋\f(1,tanα)))(1－csα)的结果是( )


A．sinα B．csα


C．1＋sinα D．1＋csα


[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sinα)＋\f(1,tanα)))(1－csα)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sinα)＋\f(csα,sinα)))(1－csα)＝eq \f(1－cs2α,sinα)＝eq \f(sin2α,sinα)＝sinα.


[答案] A


4．已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，则sin4α－cs4α的值为( )


A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5)


C.eq \f(1,5) D.eq \f(3,5)


[解析] sin4α－cs4α＝sin2α－cs2α＝2sin2α－1


＝eq \f(2,5)－1＝－eq \f(3,5).


[答案] B


5．若tanθ＝－2，求sinθcsθ.


[解] ∵sinθcsθ＝eq \f(sinθcsθ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(\f(sinθcsθ,cs2θ),\f(sin2θ＋cs2θ,cs2θ))


＝eq \f(tanθ,tan2θ＋1)，而tanθ＝－2，


∴原式＝eq \f(－2,－22＋1)＝－eq \f(2,5).


课内拓展 课外探究


sinα±csα与sinαcsα关系的应用


sinα＋csα，sinα－csα，sinαcsα三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα.


【典例】 已知sinα＋csα＝eq \f(1,5)，α∈(0，π)，求：


(1)sinαcsα；(2)sinα－csα；(3)sin3α＋cs3α.


[解] (1)由sinα＋csα＝eq \f(1,5)，


平方得2sinαcsα＝－eq \f(24,25)，∴sinαcsα＝－eq \f(12,25).


(2)∵(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)，


∴sinα－csα＝±eq \f(7,5).


又由(1)知sinαcsα<0，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴sinα>0，csα<0，∴sinα－csα＝eq \f(7,5).


(3)∵sin3α＋cs3α


＝(sinα＋csα)(sin2α－sinαcsα＋cs2α)


＝(sinα＋csα)(1－sinαcsα)，


由(1)知sinαcsα＝－eq \f(12,25)，且sinα＋csα＝eq \f(1,5)，


∴sin3α＋cs3α＝eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(12,25)))


＝eq \f(1,5)×eq \f(37,25)＝eq \f(37,125).


[点评] (1)已知sinα±csα，sinαcsα中的一个，求其它两个的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：


①(sinα＋csα)2＝1＋2sinαcsα；


②(sinα－csα)2＝1－2sinαcsα；


③(sinα＋csα)2＋(sinα－csα)2＝2；


④(sinα－csα)2＝(sinα＋csα)2－4sinαcsα.


(2)求sinα＋csα或sinα－csα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．


课后作业(四十)


复习巩固


一、选择题


1．若α是第四象限角，tanα＝－eq \f(5,12)，则sinα等于( )


A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)


C.eq \f(5,13) D．－eq \f(5,13)


[解析] 因为α是第四象限角，tanα＝－eq \f(5,12)，所以eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(5,12).


又sin2α＋cs2α＝1.所以sinα＝－eq \f(5,13).故选D.


[答案] D


2．若csα＝eq \f(2,3)，则tanαsinα＝( )


A.eq \f(5,6) B.eq \f(2,3)


C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)


[解析] 由csα＝eq \f(2,3)得|sinα|＝eq \f(\r(5),3)，所以tanαsinα＝eq \f(sin2α,csα)＝eq \f(5,9)×eq \f(3,2)＝eq \f(5,6).


[答案] A


3．若sinα＋sin2α＝1，则cs2α＋cs4α等于( )


A．0 B．1


C．2 D．3


[解析] ∵cs2α＋cs4α＝cs2α(1＋cs2α)


＝(1－sin2α)(1－sin2α＋1)


∵sinα＋sin2α＝1，∴1－sin2α＝sinα


∴原式＝sinα·(sinα＋1)＝sin2α＋sinα＝1.


[答案] B


4．化简eq \r(1－2sin1cs1)的结果为( )


A．sin1－cs1 B．cs1－sin1


C．sin1＋cs1 D．－sin1－cs1


[解析] 易知sin1>cs1，所以eq \r(1－2sin1cs1)＝eq \r(sin1－cs12)＝sin1－cs1.故选A.


[答案] A


5．已知sinα·csα＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α

A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3,4)


C．－eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),2)


[解析] (csα－sinα)2＝1－2sinαcsα＝eq \f(3,4)，因为eq \f(π,4)<αcsα，所以csα－sinα＝－eq \f(\r(3),2).故选C.


[答案] C


二、填空题


6．若eq \f(2sinα＋csα,3sinα－2csα)＝1，则tanα的值为________．


[解析] eq \f(2sinα＋csα,3sinα－2csα)＝1化为eq \f(2tanα＋1,3tanα－2)＝1，


所以2tanα＋1＝3tanα－2，所以tanα＝3.


[答案] 3


7．已知sinθ＝eq \f(12,13)，且sinθ－csθ>1，则tanθ等于________．


[解析] 因为sinθ－csθ>1，所以csθ<0，所以csθ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(5,13)，所以tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)＝－eq \f(12,5).


[答案] －eq \f(12,5)


三、解答题


8．化简：eq \f(1,cs2α\r(1＋tan2α))－eq \r(\f(1＋sinα,1－sinα))(α为第二象限角)．


[解] ∵α是第二象限角，∴csα<0.


则原式＝eq \f(1,cs2α·\r(1＋\f(sin2α,cs2α)))－eq \r(\f(1＋sinα2,1－sin2α))


＝eq \f(1,cs2α)·eq \r(\f(cs2α,cs2α＋sin2α))－eq \f(1＋sinα,|csα|)


＝eq \f(－csα,cs2α)＋eq \f(1＋sinα,csα)＝eq \f(－1＋1＋sinα,csα)＝eq \f(sinα,csα)＝tanα.


9．已知eq \f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：


(1)eq \f(sinα－3csα,sinα＋csα)；


(2)sin2α＋sinαcsα＋2.


[解] 因为eq \f(tanα,tanα－1)＝－1，所以tanα＝eq \f(1,2).


(1)原式＝eq \f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq \f(5,3).


(2)原式＝eq \f(sin2α＋sinαcsα,sin2α＋cs2α)＋2


＝eq \f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq \f(\f(1,4)＋\f(1,2),\f(1,4)＋1)＋2＝eq \f(13,5).


10．求证：eq \f(2sinxcsx－1,cs2x－sin2x)＝eq \f(tanx－1,tanx＋1).


[证明] 证法一：∵左边


＝eq \f(2sinxcsx－sin2x＋cs2x,cs2x－sin2x)


＝eq \f(－sin2x－2sinxcsx＋cs2x,cs2x－sin2x)＝eq \f(sinx－csx2,sin2x－cs2x)


＝eq \f(sinx－csx2,sinx－csxsinx＋csx)


＝eq \f(sinx－csx,sinx＋csx)＝eq \f(tanx－1,tanx＋1)＝右边．


∴原式成立．


证法二：∵右边＝eq \f(\f(sinx,csx)－1,\f(sinx,csx)＋1)＝eq \f(sinx－csx,sinx＋csx)；


左边＝eq \f(1－2sinxcsx,sin2x－cs2x)＝eq \f(sinx－csx2,sin2x－cs2x)


＝eq \f(sinx－csx2,sinx－csx·sinx＋csx)＝eq \f(sinx－csx,sinx＋csx).


∴左边＝右边，原式成立．


综合运用


11．若1＋sinθ·eq \r(sin2θ)＋csθ·eq \r(cs2θ)＝0成立，则角θ不可能是 ( )


A．第二、三、四象限角 B．第一、二、三象限角


C．第一、二、四象限角 D．第一、三、四象限角


[解析] 由于1＋sinθ·eq \r(sin2θ)＋csθeq \r(cs2θ)＝0，且1－sin2θ－cs2θ＝0，所以sinθ≤0，csθ≤0，故选C.


[答案] C


12．若eq \f(1＋csα,sinα)＝3，则csα－2sinα等于( )


A．－1 B．1


C．－eq \f(2,5) D．－1或－eq \f(2,5)


[解析] 若eq \f(1＋csα,sinα)＝3，则1＋csα＝3sinα，又sin2α＋cs2α＝1，所以sinα＝eq \f(3,5)，csα＝3sinα－1＝eq \f(4,5)，


所以csα－2sinα＝－eq \f(2,5).故选C.


[答案] C


13．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，0<α

[解析] ∵0<α

∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))>0，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3).


[答案] eq \f(2\r(2),3)


14．已知f(tanx)＝eq \f(1,cs2x)，则f(－eq \r(3))＝________.


[解析] 因为f(tanx)＝eq \f(1,cs2x)＝eq \f(sin2x＋cs2x,cs2x)＝tan2x＋1，所以f(x)＝x2＋1，所以f(－eq \r(3))＝4.


[答案] 4


15．已知在△ABC中，sinA＋csA＝eq \f(1,5).


(1)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；


(2)求tanA的值．


[解] (1)由sinA＋csA＝eq \f(1,5)两边平方，得1＋2sinA·csA＝eq \f(1,25)，所以sinA·csA＝－eq \f(12,25)<0.


因为00,csA<0，))所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．


(2)因为sinA·csA＝－eq \f(12,25)，


所以(sinA－csA)2＝1－2sinA·csA＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25).


又因为sinA>0，csA<0，所以sinA－csA>0，


所以sinA－csA＝eq \f(7,5).


又因为sinA＋csA＝eq \f(1,5)，所以sinA＝eq \f(4,5)，csA＝－eq \f(3,5)，所以tanA＝－eq \f(4,3).